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②圆形符号，它表示底事件，或称基本事件，是元器件、零部件在设计的运行条件下所发生的故障事件。
一般说它的故障分布是已知的，只能作为逻辑门的输入而不能作为输出。
为进一步区分故障性质，又分为实线圆表示部件本身故障；
虚线圆表示由人为错误引起的故障。
③菱形符号，它表示省略事件。
一般用以表示那些可能发生，但概率值较小，或者对此系统而言不需要再进一步分析的故障事件。
这些故障事件在定性、定量分析中一般都可以忽略不计。
④三角形符号，它表示故障事件的转移。
在FT中经常出现条件完全相同或者同一个故障事件在不同位置出现，为了减少重复工作量并简化树，用转移符号，加上相应标志的标号，分别表示从某处转入，和转到某处，也用于树的移页。
图3-2
（2）逻辑门符号（图3-3）
①逻辑“与门”，设Bi（i=1,2,.，n）为门的输入事件，A为门的输出事件。
Bi同时发生时，A必然发生，这种逻辑关系称为事件交。
②逻辑“或门”，当输入事件Bi中至少有一个发生时，则输出事件A发生，这种关系称为事件并。
相应的逻辑代数表达式为
③逻辑“禁门”，当给定条件满足时，则输入事件直接引起输出事件的发生，否则输出事件不发生。
图中长椭圆形是修正符号，其内注明限制条件。
④逻辑“异或门”，输入事件B1，B2中任何一个发生都可引起输出事件A发生，但B1，B2不能同时发生。
图3-3
3.1.5结构函数—故障树的数学描述
首先假设所研究的元部件和系统只有正常或故障两种状态，且各元器件、零部件的故障是相互独立的。
现在研究一个由n个相互独立的底事件构成的故障树。
设xi表示底事件i的状态变量，xi仅取1或0，表示只存在正常和故障两种状态。
Φ表示顶事件的状态变量，Φ也仅取1或0两种状态。
则Φ必然是底事件xi的函数Φ=Φ（x1,x2,...xn）.
例如故障树
T
.
123
其结构函数为
3.1.6故障树定性分析
定性分析的主要目的是为了找出导致顶事件发生的所有可能的故障模型，即弄清机械系统出现某种最不希望的故障事件有多少种可能性。
1、割集合最小割集
割集：
故障树中一些底事件的集合。
当这些底事件同时发生时，顶事件必然发生。
最小割集：
若某割集中所含的底事件任意去掉一个就不再成为割集了，这个割集就是最小割集。
如图3-4所示，共有三个底事件：
x1，x2，x3，它的五个割集是：
{x1}，{x2,x3}，{x1,x2,x3}，{x1,x2}，{x1,x3}。
当各割集中底事件同时发生时，顶事件必然发生。
它的两个最小割集是：
{x1}，{x2,x3}。
因为在这两个割集中任意去掉一个底事件就不再成为割集了。
图3-4
2、最小割集的定性比较
复杂系统的故障树经过化简后，存在不止一个最小割集，首先根据每个底事件最小割集所含底事件数目（称为阶数）排序，在各个底事件发生概率比较小，其差别相对地不大的条件下：
①阶数越小的最小割集越重要。
②在低阶最小割集中出现的底事件比高阶最小割集中的底事件重要。
③在同一最小割集阶数的条件下，在不同最小割集中重复出现的次数越多的底事件越重要。
3最小割集的算法
（1）上行法
原理：
对给定的故障树，从最下级底事件开始，若底事件用与门同中间事件相连，采用逻辑乘运算，若底事件用或门同中间事件相连，用逻辑加运算。
然后顺次向上，直至顶事件，并运用逻辑代数运算规则，进行化简。
求得最小割集。
（2）下行法
原理：
根据故障树中的逻辑或门会增加割集的数目，逻辑与门会增大割集的容量。
从顶事件开始，由上而下，遇到与门将输入事件横向并列写出，遇到或门，将输入事件竖向串列写出，直到完全变成底事件的集合所组成的列。
若得到的割集不是最小，还需用逻辑代数规则进行简化，求得最小割集。
如图3-5所示。
图3-5
3.1.7故障树定量分析
定量分析的主要任务是根据其结构函数和底事件的发生概率，应用逻辑与、逻辑或的概率计算公式，定量的评定故障顶事件出现的概率。
定量分析另一任务是事件的重要度计算，一个故障树包含多个底事件，各个底事件在故障树中的重要性，即对顶事件发生的影响大小必然因它们代表的元件在系统中作用而不同。
1、顶事件发生概率的求取
如果已经求得机械故障系统故障树的所有最小割集：
K1K2...Kn，并且已知组成系统的各机械零件基本故障事件所发生的概率，则顶事件发生的概率为：
2、事件重要度
通常分及结构重要度、概率重要度、关键性重要度三种。
3.2逻辑诊断法
逻辑诊断是根据机械的特征推断机械的状态的一种方法。
在逻辑诊断中机械的特征只用两个简单语言变量“有”或“无”来表示，机械的状态也用“好”或“坏”来描述。
在数学上可以用“1”和“0”来表示。
假设K1、K2、...、Kn表示机械具有特征1、特征2、...、特征n，D1、D2、...Dm表示机械具有状态1、状态2、...状态m。
则机械全部特征的集合为G（K1、K2、...、Kn）,全部状态的集合为F（D1、D2、...Dm）。
逻辑诊断是根据特征G和诊断准则E来确定状态F。
（G、E、F都是逻辑函数）用逻辑语言来表示就是E=GF,即若机械具有某种特征，就可得到机械处于相应的状态。
例：
某机器在运行时具有特征K1、K2,状态D1、D2,假定其决策规则为
E1=D1K1
E2=K2D2
E1=D2K1K2
现在机械有特征：
（1）G=K1K2;
（2）G=K1K2，求机械所处的状态。
机械总的决策规则E=E1E2E3=（D1K1）（K2D2）（D2K1K2）
=D1D2+D1K1K2+D2K1K2
（1）已知机械特征G=K1K2,即K1=K2=1,则机械的状态：
F=D1D2+D1=D1
说明该机械一定不会发生状态D1的故障。
（2）已知机械特征G=K1K2,即K1=1，K2=0,则机械的状态：
F=D1D2+D2=D2
说明该机械一定不会发生状态D2的故障。
3.3模糊诊断法
模糊诊断是运用模糊数学的原理进行设备诊断或故障识别的技术。
模糊数学是针对现实生活中存在的某些边界限不清的概念，如‘温度高”、“振动大”等无量纲的信息，和“绝缘不良”、“金属腐蚀严重”等不够准确的定语，通过分析算以取得准确的结论。
3.3.1模糊集与隶属函数
定义：
给定一个论域U，那么从U到单位区间[0,1]的一个映射称为U的一个模糊子集，记为A。
映射（函数）μA（·
）叫做模糊集A的隶属函数。
对于每个x∈U,μA（x）叫做元素x对模糊集A的隶属度。
隶属函数是用于表征模糊集合的数学工具。
模糊集合A，可以理解论域U上的一个子集。
为了描述论域U中任一元素u是否属于集合A，通常可以用0或1标志。
用0表示u不属于A，而用1表示属于A，为了描述元素u对U上的一个模糊集合的隶属关系，将用从区间[0，1］中所取的数值代替0，1这两值来描述，记为μA（u），数值表示元素隶属于模糊集的程度，论域U上的函数μ即为模糊集的隶属函数。
在诊断问题中，隶属函数的选择是十分重要的,直接影响诊断的精度。
常用的隶属函数可分为3大类：
上升型、下降型、中间对称型。
这3类可以通过广义的隶属函数进行表示：
在选择隶属函数的时候，可以结合具体问题的研究，根据历史统计数据、专家经验和现场信息合理选取。
其中
为[a,b]上严格单调增函数，
为（c,d）上的严格单调减函数，
称为模糊隶属函数的高度，通常取为1
3.3.2模糊向量
对于一台机械，可能发生的故障可以用一个集合来定义，通常用状态论域来表示：
为故障的种数。
同理对于与故障有关的特征也用一个集合来定义，用特征论域来表示：
为特征的种数。
这两个论域中的元素都是模糊变量，均有各自的隶属函数，即故障或特征发生的可能度。
如
的隶属函数为
。
则A=
，称为特征模糊向量，是故障在特征域K上的表现。
B=
，称为故障模糊向量，是故障在状态域
上的表现。
3.3.3模糊关系方程
模糊诊断过程，可认为是状态论域和特征论域之间的模糊矩阵运算。
模糊关系方程为：
B=R*A,其中R为模糊关系矩阵，是m*n型矩阵。
它表示故障原因与特征的因果关系。
模糊关系矩阵R的确定是诊断中十分重要的环节，需参考总结大量的故障诊断经验、试验测试和统计分析的结果。
最好结合实际检测机械的运行记录，在机器长期运行过程中，反复修改矩阵中的各元素。
3.3.4模糊诊断准则
模糊诊断的实质是根据模糊关系矩阵R及特征模糊矩阵，求得状态模糊向量B，从而根据判断准则大致确定有无故障。
1、最大隶属准则
B中隶属度最大的元素，所属的模糊子集。
即发生故障可能性最大的一种。
2、择近准则
若被识别的对象是模糊的，即状态论域上的一个模糊子集S，需识别S与特征论域中K个子集的关系进行判断。
3、模糊聚类准则
确定模糊关系矩阵后，根据截距定理，在适当的限定值上进行截取，按不同的水平对矩阵进行分割和分类，从而获得相应的故障类别。
3.4人工神经网络
人工神经网络是用大量简单处理单元广泛连接而成的网络，是模仿人的大脑神经元结构特性而建立的一种非线性动力学网络系统。
它反映了人类大脑的基本
特征：
学习、记忆和归纳。
人工神经网络在故障诊断领域的研究主要集中在三个方面：
一是模式识别角度应用神经网络作为分类器进行故障诊断；
二是从预测角度应用神经网络作为动态预测模型进行故障诊断；
三是从知识处理角度建立基于神经网络的专家系统。
3.4.1生物神经元和人工神经元模型
1、生物神经元模型
图3-6
2、人工神经元模型
如图3-7为人工神经元模型，有3个基本要素：
（1）一组连接（对应于生物神经元的突触，连接强度由各连接上的权值表示，权值为正表示激活，为负表示抑制。
（2）一个求和单元，用于求取各输入信号的加权和。
（3）一个非线性激活函数，起非线性映射作用。
并将神经元输出幅度限制在一定的范围内。
还有一个阈值
图3-7
以上作用可用数学表达式表示为：
，
式中
——输入信号；
——输入数目；
——神经元的权值，可为正和负，分别表示兴奋和抑制；
——线性组合结果；
——阈值；
——激活函数；
——神经元
的输出；
；
3、神经元激活函数
（1）线性函数：
（2）阶跃型；
（3）符号型；
（4）斜坡型；
（5）阈值型函数（用于M-P模型及Hopfield模型等）
为神经元阈值。
（6）最为常用的为Sigmoid函数（用于B-P模型等）
还有双曲正切和高斯函数型，这里不再赘述。
3.4.2神经元网络拓扑结构
按照神经元的连接方式不同，分为以下两种结构形式。
1、不含反馈的前向网络
神经元分层排列，组成输入层、隐层、和输出层。
每一层的神经元只接受前一层的神经元输出作为输入。
经过各层的顺次处理后得到输出层输出。
如图3-8a所示。
2、反馈网络
每个节点都表示一个计算单元，接受外部的输入和其它节点的反馈输入，并都直接向外输出。
有的反馈网络，还包括神经元自身的反馈。
这种网络具有丰富的动态特性。
前向网络可以视为反馈网络的特例。
如图3-8b,c,d所示。
图3-8
3.4.3神经网络学习规则
从学习过程的组织与管理而言分：
（1）有导师学习（监督学习）：
该算法必须预先知道学习的期望输出—教师信息，即给定一定的输入，经学习后得到网络的实际输出，然后网络根据实际输出与期望输出的差来进行调整，使网络做出正确的反应。
B-P算法是其中最著名的一种。
其特点：
具有分类精细、准确的优点，但学习过程慢。
（2）无导师学习（无监督学习）：
该算法不需要教师信息或强化信息，只要给定输入信息，网络通过自组织调整，自学习并给出一定意义下的输出响应。
竞争学习就是一个典型无导师学习。
分类灵活、算法简练，但学习过程较慢。
（3）死记式学习：
网络的连接权值是根据某种特殊的记忆模式设计而成的，其值不变。
在网络输入相关信息时．这种记忆模式就会被回忆起来。
（4）混合学习：
一般事先用无监督学习对输人数据进行了预处理即抽取输入数据的特征，然后将这种内部表示提供给有监督学习进行处理，以达到输入输出的某种映射。
由于对输入数据进行了预处理，将会使有监督学习以及整个学习过程加快。
3.4.5B-P网络模型
1、结构原理
B-P网络即多层前向网络，由一个输入层和一个输出层、若干隐层构成。
网络的输入、输出神经元的激发函数一般取为线性函数,而隐单元则为非线性函数。
研究证明一个具有任意压缩型激活函数（如Sigmoid函数），只要有充分多的隐层单元，就能够以任意精度逼近一个有限维的波莱尔可测函数。
基于B-P网络的故障诊断模型正是应用了B-P网络的泛函逼近能力，逐渐逼近故障的分类边界，从而完成特征空间到故障空间的非线性映射。
2、B-P算法
BP算法的基本思想是，学习过程由信号的正向传播与误差的反向传播两个过程组成。
1）正向传播：
输入样本－输入层－各隐层（处理）－输出层。
若输出层实际输出与期望输出（教师信号）不符，则转入2（误差反向传播过程）。
2）误差反向传播：
输出误差－隐层（逐层）－输入层。
其主要目的是通过将输出误差反传，将误差分摊给各层所有单元，从而获得各层单元的误差信号，进而修正各单元的权值，其过程是一个权值调整的过程。
权值调整：
加权的修正量正比于误差对加权的一阶导数。
即
3、B-P网络的应用
1）模式识别、分类：
用于语言文字图像的识别，用于机械故障诊断、分类。
2）函数逼近：
用于非线性控制的函数建模，拟合非线性控制曲线、机器人的轨迹控制和其他工程控制。
3）数据压缩：
在通讯中的编码压缩和恢复，图像数据的压缩和存储，图像特征的提取等。
3.4.6径向基函数（RBF）网络模型
B-P算法有很多缺点如：
为了极小化总误差，学习速率应选得足够小，但导致收敛速度慢；
学习速率大的，加快学习速度，但导致学习过程的振荡，从而收敛不到期望解；
学习过程可能收敛于局部极小点或在误差函数的平稳段停止不前。
RBF网络具有BP网络不具备的最佳逼近特性。
RBF神经网络由三层组成，其结构如下图3-9所示：
图3-9
输入层节点：
只传递输入信号到隐含层。
权重固定为1。
隐层节点：
激活函数（基函数）具有局部接受域性质的非线性函数,仅当输入信号靠近基函数的中央范围时，隐层节点将产生较大的输出。
输出层节点:
通常是简单的线性函数。
仅输出层和隐层的权重可调。
径向基函数网络的局部接受特性使在进行决策时隐含了距离的概念，即只有当输入接近RBF网络的接受域时，网络才会做出响应。
这样避免了B-P网络超平面分割所带来的任意划分特性。
3.4.7模糊神经网络模型
模糊神经网络是模糊理论同神经网络相结合的产物，它汇集了神经网络与模糊理论的优点，集学习、联想、识别、息处理于一体。
人工神经网络是模拟人脑结构的思维功能，具有较强的自学习和联想功能，人工干预少，精度较高，对专家知识的利用也较少。
但缺点是它不能处理和描述模糊信息，不能很好利用已有的经验知识，特别是学习及问题的求解具有黑箱特性，其工作不具有可解释性，同时它对样本的要求较高;
模糊系统相对于神经网络而言，具有推理过程容易理解、专家知识利用较好、对样本的要求较低等优点，但它同时又存在人工干预多、推理速度慢、精度较低等缺点，很难实现自适应学习的功能，而且如何自动生成和调整隶属度函数和模糊规则，也是一个棘手的问题。
如果将二者有机地结合起来，可以起到互补的效果。
模糊神经网络就是具有模糊权系数或者输入信号是模糊量的神经网络。
模糊神经网络可用于模糊回归、模糊控制器、模糊专家系统、模糊谱系分析、模糊矩阵方程、通用逼近器。
3.5专家系统
专家系统是应用于某一专门领域，拥有该领域相当数量的专家级知识，能模拟专家的思维，能达到专家级水平，能像专家一样解决困难和复杂的实际问题的计算机（软件）系统。
专家系统应该具备的四个要素：
（1）应用于某专门领域；
（2）拥有专家级知识；
（3）能模拟专家的思维；
（4）能达到专家级水平。
3.5.1专家系统的分类
1、按用途分类：
诊断型、解释型、预测型、决策型、设计型、规划型、控制型、调度型等几种类型。
2、按输出结果分类：
分析型和设计型。
3、按知识表示分类：
产生式规则、一阶谓词逻辑、框架、语义网等。
4、按知识分类：
知识可分为确定性知识和不确定性知识，所以，按知识分类，专家系统又可分为精确推理型和不精确推理型（如模糊专家系统）。
5、按技术分类，按采用的技术分类，专家系统可分为符号推理专家系统和神经网络专家系统。
6、按规模分类：
大型协同式专家系统和微专家系统。
7、按结构分类：
集中式和分布式，单机型和网络型（即网上专家系统）。
解释专家系统（expertsystemforinterpretation）任务是通过对已知信息和数据的分析与解释，确定他们的涵义。
解释专家系统特点是处理的数据量特别大，而且往往不准确、有错误或不完全；
能够从不完全的信息中得出解释，并能对数据做出某些假设；
推理的过程可能很复杂和很长，要求系统具有对自身的推理过程做出解释的能力。
预测专家系统（expertsystemforprediction）的任务是通过对过去和现在已知情况的分析，推断未来可能发生的情况。
预测专家系统的特点是：
处理的数据随时间变化，而且可能不准确和不完全；
有适应时间变化的动态模型，能从不完全和不准确的信息中得出预报，快速响应。
诊断专家系统（expertsystemfordiagnosis）的任务是根据观察到的情况（数据）来推断出某个对象机能失常（即故障）的原因。
诊断专家系统的特点是能够了解被诊断对象或客体各组成部分的特性以及他们之间的联系；
能够区分一种现象及所掩盖的另一种现象；
能够向用户提出测量的数据，从不确切信息中得出尽可能正确的诊断。
设计专家系统（expertsystemfordesign）的任务是根据设计要求，求出满足设计问题约束的目标配置。
设计专家系统的特点是善于从多方面的约束中得到符合要求的设计结果；
系统需要检索较大可能解空间；
善于分析各种问题，并处理子问题间的相互关系；
能够实验性的构造可能设计，并易于对所的设计方案进行修改；
能够使用已被证明的设计来解释当前新的设计。
3.5.2专家系统的结构和功能
专家系统是一类包含知识和推理的智能计算机程序。
专家系统中求解问题的知识不再隐含在程序和数据结构中，而是单独构成一个知识库。
专家系统一般有6各部分组成：
知识库、推理机、数据库及解释程序、知识获取程序、及人机接口。
图3-10
1、知识库
知识库是以某种表示形式存储于计算机中的知识的集合。
知识库通常是以一个个文件的形式存放于外部介质上，专家系统运行时将被调入内存。
知识库中的知识一般包括专家知识、领域知识和元知识。
2、推理机
推理机是实现（机器）推理的程序。
这里的推理，是一个广义的概念，它既包括通常的逻辑推理，也包括基于产生式的操作。
3、数据库
包括全局数据库、综合数据库、工作存储器、黑板等，它是存放初始证据事实、推理结果和控制信息的场所，或者说它是上述各种数据构成的集合。
专家系统的数据库必须满足：
（1）可被所有的规则访问；
（2）没有局部的数据库是特别属于某些规则的；
（3）规则之间的联系只是通过数据库才能发生。
4、人机接口
人机接口负责把专家、知识工程师或一般用户输入的信息转换成系统内规范化的表示形式，然后把这些内部表示交给相应的模块处理。
5、解释程序
专门负责向用户解释专家系统的行为和结果。
6、知识库管理系统
是知识库的支撑软件。
知识库管理系统对知识库的作用，类似于数据库管理系统对数据库的作用，其功能包括知识库的建立、删除、重组；
知识的获取（主要指录入和编辑）、维护、查询、更新；
以及对知识的检查，包括一致性、冗余性和完整性检查等等。
3.5.3推理机制
推理机制是与知识库对应的专家系统的另一重要部件。
推理机的推理是基于知识库中的知识进行的。
所以，推理机就必须与知识库及其知识相适应、相配套。
具体来讲，就是推理机必须与知识库的结构、层次以及其中知识的具体表示形式等相协调、相匹配。
否则，推理机与知识库将无法接轨。
因此，设计推理机时，首先得对知识库有所了解。
对推理机本身而言，还要考虑推理的方式、方法和控制策略等。
对于一个基于规则的系统来说，其推理机也就相当于产生式系统中的执行控制部件，所以其运行过程也就是产生系统的运行过程，因此，前面产生式系统所采用的算法，或者图搜索中所用的算法也就是这里的推理机所用的算法。
算法确定后，就可进行程序设
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