浅谈Rouche定理.docx

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浅谈Rouche定理

浅谈Rouche定理

摘要：

第一部分给出了Rouche定理的有关内容，第二部分探讨了推广的和改进的Rouche定理，最后一部分探讨了Rouche定理的应用以及推广的Rouche定理在其他数学分支领域中的应用.

关键词：

Rouche定理；多项式的根；零点；极点；解析函数

1Rouche定理及等价形式

定理1[1]Rouche定理实际上是辐角原理的推广，在此简单引述辐角原理：

设是复平面上的一个有界区域，其边界是，又设函数是在内亚纯的函数，它在上每一点解析，且在上没有零点，则，

，

这里以及分别表示在内的零点及极点的总数，且每个阶零点或极点分别算作个零点或极点，表示沿之正方向绕行一周后的改变量，它一定是的整数倍.

注：

题目中条件“在上每一点解析且不为零”可减弱为“连续到边界且沿有0”.

定理2[1]（Rouche定理）设是一条周线，函数及满足以下条件：

（1）它们在的内部均解析，且连续到；

（2）在上，，

则函数和+在的内部有同样多（几阶算几个）的零点，即.

证明由已知和在内部解析，且连续到，在上有，

，即和+在上都没有零点，由辐角原理，只须证明

.

由于，故，

.

由

（2）当沿变动时，函数将沿平面上围线变成平面上的闭曲线，由

（2），当时，1，于是全在圆内.而平面内，部在此圆周的内部，即点不会围绕着原点绕行，故=0，即得证.

定理3[2]（Rouche定理的等价形式）设是一条周线，函数和满足以下条件：

（1）它们在的内部均解析，且连续到；

（2）在上，，

则函数和在内部有样多（几阶算几个）的零点，即

.

2推广的Rouche定理

为了得到广义Rouche定理，先给出如下定义：

定义1对于扩充的复平面上的两点,曲线属于扩充复平面，称不分割,点，是指存在联结,的曲线，使.

定理4[3]设是复平面上的一个有界区域，其边界是，函数，在内亚纯，且连续到边界，在上没有零点，记，如果不分割0与点，则与在内的零点个数与极点个数之差相等，即

（*）

证明由不分割0与点及在上没有零点可知，在上，，于是及都满足辐角原理及其注的条件，故有

，，

于是，要证（*）式只须证

=，

又

=,

而由不分割0与点可得=0，所以，=，证毕.

此定理的条件与经典Rouche定理的条件相比是非常弱的，可将它的条件适当加强，从而得到以下几个定理：

定理5[3]设D是复平面上的一个有界区域，其边界是，函数，在内亚纯且连续到边界，沿，则与在内的零点个数与极点个数之差相等，即

.

定理6[3]设是复平面上的一个有界区域，边界是，函数，在内解析且连续到边界，在上没有零点，记

如果不分割0与点，则与在内零点个数相等.

定理7[3]设是复平面上的一个有界区域，其边界是，函数，在内解析且连续到边界，在上没有零点，如果在边界上，以下条件之一成立

（1）

（2）

（3）（4）

则与在内零点个数相等.

定理8[3][10]设是复平面上的一个有界区域，其边界是，函数和在内解析且连续到，与在上没有零点，如果存在，

，，则与在内零点个数相等.

定理9[3]设是复平面上包含点的无界域且0，是一闭曲线，的外部属于，函数，在内亚纯，在上满足，则与在外部零点个数与极点个数之差相等.

定理10[4]假设

（i）和在区域内解析，是的一条围线；

（ii）在上满足：

则和在内零点个数相等.

定理11[4]假设

（i）和在区域内亚纯，是的一条围线;

（ii）在上，无极点，并且满足：

则有：

这里，分别表示在内的零点数和极点数.

定理12[4]假设

（i）,在区域内亚纯，是的一条围线；

（ii）除之外，在上，无极点，并且满足：

（iii）存在点的外半邻域，满足：

，在

中无极点且（ii）中不等式在成立.则有：

这里，分别表示在内和上的零点数和极点数.，表示的外部区域，表示点的邻域.

3Rouche定理及广义的Rouche定理的应用

3.1Rouche定理在代数基本定理证明中的应用

定理13[5]代数基本定理设，则在复平面上恰有个零点.

证明令，并且令

则

，

并且在圆周上成立

且这说明在上.由Rouche定理，则函数与在内有同样多的零点个数，而后者有个零点（实际上是有一个阶零点），故恰有个零点，定理证毕.

例1[6]设次多项式满足条件则在单位圆1内有个零点.

证明取，，则在单位圆1上，，由Rouche定理知，在单位圆1内的零点一样多，即个.

因此，方程在单位圆内有5个根；

方程在单位圆内有4个根；

方程在单位圆内有1个根；

方程在单位圆内无根.

定理14[2]记，假设存在和自然数满足：

（1）

则的零点均位于之内.

证明取为圆周，分两种情况：

（1）在上无零点，此时，在上，由式

（1）可得

由定理12知，的零点均位于之内.

（2）在上有零点，不妨设是在上的唯一零点.

因为，对任意，都有

（2）

由

（2）可知，一定有满足

由定理12知，的零点均位于之内.

例2[7]设某离散动力系统的特征方程为

则有=8,记

若取，，则有

.

，由定理14知，的零点均在之中，由此可知，以为特征多项式的离散动力系统的零解是稳定的.但是由于，由定理14知的零点均在之中，也无法得到离散动力系统零解稳定的结论.

3.2Rouche定理在多项式的零点关于其系数的连续性的证明

设是多项式的零点，由设是的重数，

定理15[5]对每个，，存在，使得任何多项式

在每个圆内，恰有个零点，只要它的系数满足.

证明令，，表示圆周，由于

因而，在上，我们有

，，.

因此，若

，

则在每个圆周上，.根据Rouche定理，函数与在每个内有相同的零点个数，极为.定理证毕.

3.3反馈放大器的尼奎特准则

反馈放大器的尼奎特（Nyquist）准则[5]设多项式

在虚轴上没有零点，表示虚轴上从到的线段，若

则多项式的零点全部位于左半平面内.

证明设表示位于右半平面上的半圆周，.令，其方向关于右半圆是正的，根据辐角原理，设在内的零点个数为，则

但是，由于

，

.

所以

因此

这说明多项式在右半平面上没有零点，又因在虚轴上也没有零点，故多项式的根（零点）全部位于左半平面内.

例3[8]阐明多项式

的根全部位于左半平面内.

解事实上，在的映照下，虚轴（从到）的像为

因此

，

.

当充分大时，，，并且

.

由数的零点是

我们计算对应的值是

.

再考虑到是的偶函数，而是的奇函数，则可以绘出虚轴的的尼奎斯特图，这虽然是很粗糙的图形，但对于计算来说是足够的了.虚轴的像按负方向环绕坐标原点三圈，所以.

根据反馈放大器的尼奎特准则，可见上述多项式的根全部位于左半平面上.

3.4Rouche定理在解析函数中的应用

设函数在区域内是解析的，又设序列在内的每一个闭子集上一致收敛.由魏尔斯特拉斯定理，我们已经知道其极限函数在内是解析的，关于它的零点，我们有下属定理：

定理16[9][11]设是内任何一条若当闭曲线，它的内部也位于内，又设对于，，则对一切充分大的，函数在的内部与有相同的零点个数.

证明由于在上是连续的且不等于零，则

由于在上一致收敛，则存在N，使的，，有

.

令，由Rouche定理得到定理的结论.

参考文献：

[1]钟玉泉.复变函数论[M]北京：

高等教育出版社，1988

[2]陶印心.Rouche定理的等价形时与应用[J]益阳师专学报，2000,17（6）:

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（2）:

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[4]张子芳.付英贵.Rouche定理和多项式零点[J]西南科技大学学报，2002,17（4）:

71-73[5]任福尧.应用复分析[M]上海:

复旦大学出版社，1993

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科学出版社，2004

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科学出版社，2000

[8]马立新.复变函数学习指导[M]山东：

山东大学出版社，2004

[9]廖晓昕.动力系统的稳定性及应用[M]北京：

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186-187

[11]JamesWardBrown.RuelV.Churchill.ComplexVariableandApplications（SeventheEdition）[M]ChinaMachinePress,2004

AshallowdiscussionofRouchetheorem

Abstract:

ThefirstpartgivessomerelatedcontentsofRouchetheorem.Then,thediscussionofthepromotedandimprovedRouchetheoremisgiveninthesecondpart.Finally,thelastpartdiscussestheapplicationofRouchetheoremaswellastheapplicationofthepromotedRouchetheoreminothermathematicalbranches.

Keyword:

Rouchetheorem;Multinomialroot;Zero;Extreme;Analyticfunction

谢辞

经过2个月的查资料、整理材料、写作论文，今天终于可以顺利的完成论文的最后的谢辞了.论文得以完成，要感谢的人实在太多了，首先要感谢马立新教授，因为论文是在马老师的悉心指导下完成的。

马老师渊博的专业知识，严谨的治学态度，精益求精的工作作风，诲人不倦的高尚师德，平易近人的人格魅力对我影响深远。

通过此次的论文，我学到了很多知识，跨越了传统方式下的教与学的体制束缚，在论文的写作过程中，通过查资料和搜集有关的文献，培养了自学能力和动手能力。

并且由原先的被动的接受知识转换为主动的寻求知识，这可以说是学习方法上的一个很大的突破。

通过毕业论文，我们学会了如何将学到的知识转化为自己的东西，学会了怎么更好的处理知识和实践相结合的问题。

再次感谢我的大学和所有帮助过我并给我鼓励的老师，同学，谢谢你们!