高考数学一轮复习 210 函数的最值教案文档格式.docx

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在数轴上，设1、3、x对应的点分别是A、B、P，∴y=|x－1|+|x－3|=|PA|+|PB|≥|AB|=2.

2

●典例剖析

【例1】（xx年上海，18）某单位用木料制作如图所示的框架，框架的下部是边长分别为x、y（单位：

m）的矩形，上部是等腰直角三角形，要求框架围成的总面积为8m2，问x、y分别为多少时用料最省？

（精确到0.001m）

解：

由题意得x·

y+·

x·

=8，∴y==－（0＜x＜4）.

于是，框架用料长度为

L=2x+2y+2（）=（+）x+≥2=4.

当且仅当（+）x=，即x=

=8－4时，等号成立.

此时，x≈2.343，y=2≈2.828.故当x为2.343m，y为2.828m时，用料最省.

【例2】设f（t）=

g（t）=－t+（0≤t≤40，t∈N*）.求S=f（t）g（t）的最大值.

当0≤t＜20时，S=（t+11）·

（－t+）=－（t+22）（t－43）.∵=10.5，又t∈N，∴t=10或11时，Smax=176.

当20≤t≤40时，S=（－t+41）（－t+）=（t－41）（t－43）.∴t=20时，Smax=161.

综上所述，S的最大值是176.

【例3】设0＜a＜1，x和y满足logax＋3logxa－logxy＝3，如果y有最大值，求这时a和x的值.

原式可化为logax＋－＝3，即logay＝loga2x－3logax＋3＝（logax－）2＋，知当logax＝时，logay有最小值.

∵0＜a＜1，∴此时y有最大值a.

根据题意有a＝a＝.这时x＝a＝（）＝.

评述：

本题是已知函数的最值，求函数式中的字母参数的值.这类问题，也是常见题型之一.

深化拓展

已知f（x）=2+log3x（1≤x≤9），求函数g（x）=［f（x）］2+f（x2）的最大值与最小值.

由f（x）的定义域为［1，9］可得g（x）的定义域为［1，3］.

又g（x）=（2+log3x）2+（2+log3x2）=（log3x+3）2－3，

∵1≤x≤3，∴0≤log3x≤1.

∴当x=1时，g（x）有最小值6；

当x=3时，g（x）有最大值13.

当x=1时，g（x）有最小值6；

●闯关训练

夯实基础

1.若奇函数f（x）在［a，b］上是增函数，且最小值是1，则f（x）在［－b，－a］上是

A.增函数且最小值是－1B.增函数且最大值是－1

C.减函数且最小值是－1D.减函数且最大值是－1

f（a）=1，∴f（－a）=－1.

B

2.（xx年北京）将长度为1的铁丝分成两段，分别围成一个正方形和一个圆形.要使正方形与圆的面积之和最小，正方形的周长应为______________.

设正方形周长为x，则圆的周长为1－x，半径r=.

∴S正=（）2=，S圆=π·

.∴S正+S圆=（0＜x＜1）.

∴当x=时有最小值.

3.（xx年北京海淀模拟题）设函数f（x）的定义域为R，若存在常数M＞0，使|f（x）|≤M|x|对一切实数x均成立，则称f（x）为F函数.给出下列函数：

①f（x）=0；

②f（x）=x2；

③f（x）=（sinx+cosx）；

④f（x）=；

⑤f（x）是定义在R上的奇函数，且满足对一切实数x1、x2，均有|f（x1）－f（x2）|≤2|x1－x2|.

其中是F函数的序号为___________________.

①④⑤

4.函数y=（x≥0）的值域是______________.

由y=（x≥0），得x=≥0.∴－＜y≤3.

（－，3］

5.求函数y=|x|的最值.

三角代换.设x=cosθ，θ∈［0，］，

（f（x）是偶函数，不必取θ∈［0，π］）则y=sin2θ.∴ymax=，ymin=0.

培养能力

6.设函数f（x）=x2+x+的定义域是［n，n+1］（n∈N），问f（x）的值域中有多少个整数？

∵f（x）=（x+）2+的图象是以（－，）为顶点，开口向上的抛物线，而自然数n＞－，∴f（x）的值域是［f（n），f（n+1）］，即［n2+n+，n2+3n+］.其中最小的整数是n2+n+1，最大的整数是n2+3n+2，共有（n2+3n+2）－（n2+n+1）+1=2n+2个整数.

7.已知函数g（x）=lg［a（a+1）x2－（3a+1）x+3］的值域是R，求实数a的取值范围.

由题意知，应使h（x）=a（a+1）x2－（3a+1）x+3能取到一切正实数.

①a=0时，h（x）=－x+3，显然能取到一切正实数；

②a=－1时，h（x）=2x+3，也能取到一切正实数；

③a≠0且a≠－1时，∵h（x）=a（a+1）x2－（3a+1）x+3是二次函数，

∴必须有

解得≤a＜－1或0＜a≤.

综上所述，a的取值范围是［，－1］∪［0，］.

探究创新

8.已知函数f（x）=x（1－x2），x∈R.

（1）当x＞0时，求f（x）的最大值；

（2）当x＞0时，指出f（x）的单调性，并用定义证明；

（3）试作出函数f（x）（x∈R）的简图.

（1）∵x＞0，欲求f（x）的最大值，必有1－x2＞0，

y2=x2（1－x2）2=·

2x2（1－x2）（1－x2）≤·

［］3=，

∴y≤=.

当且仅当2x2=1－x2，即x=时，取“=”，即f（x）max=f（）=.

（2）由

（1）知，当x∈（0，］时，f（x）单调递增，x∈［，+∞）时，f（x）单调递减.

设x2＞x1＞0，则f（x2）－f（x1）=－x23+x2－（－x13+x1）

=（x2－x1）－（x2－x1）（x22+x1x2+x12）=（x2－x1）［1－（x22+x1x2+x12）］.

当0＜x1＜x2≤时，x2－x1＞0，1－（x22+x1x2+x12）＞0.∴f（x2）＞f（x1）.∴f（x）在（0，］上递增.

当≤x1＜x2时，x2－x1＞0，1－（x22+x1x2+x12）＜0，∴f（x2）＜f（x1）.∴f（x）在［，+∞）上递减.

（3）注：

图象过点（－1，0）、（0，0）、（1，0），关于原点对称.

第

（1）题也可用导数解决.∵（x）=1－3x2，

令（x）=0，∴x=±

.又x＞0，∴x=.

通过检验单调性知，当x=时，f（x）取得最大值，其最大值为，以下解法同上.

●思悟小结

1.求函数的最值与求函数的值域是同一类问题，都必须熟练掌握本文开头列出的六种方法.

2.利用判别式法及不等式法求最值时，都需检验等号能否取到.另外，利用判别式法解决问题时，一定要考虑二次项系数可否为零.当二次项系数为零时，不能用判别式法解决问题.

●教师下载中心

教学点睛

利用导数先求极大值和极小值，然后确定最值，也是求函数最值的常用方法.复习本节时应适当渗透导数的有关知识.

拓展题例

【例1】已知二次函数y=f（x）的最大值等于13，且f（3）=f（－1）=5，求f（x）的解析式.

∵f（3）=f（－1），

∴抛物线y=f（x）有对称轴x=1.故可设f（x）=a（x－1）2+13，将点（3，5）代入，求得a=－2.

∴f（x）=－2（x－1）2+13=－2x2+4x+11.

【例2】已知函数f（x）的定义域为R，且对一切x∈R，都有f（x+2）=f（2－x），f（x+7）=f（7－x）.

（1）若f（5）=9，求f（－5）的值；

（2）已知x∈［2，7］时，f（x）=（x－2）2，求当x∈［16，20］时，函数g（x）=2x－f（x）的表达式，并求出g（x）的最大值和最小值.

（1）由f（x+2）=f（2－x），f（x+7）=f（7－x）可以发现函数f（x）的图象关于直线x=2，x=7对称，且f（x）=f［（x－2）+2］=f［2－（x－2）］=f（4－x）=f［7－（3+x）］=f［7+（3+x）］=f（10+x）.

∴f（x）是以10为周期的周期函数.

∴f（－5）=f（－5+10）=f（5）=9.

（2）根据周期性、图象的对称性，结合图象可得到f（x）=

∴g（x）=

∵x∈［16，17］时，g（x）的最大值为16，最小值为9；

x∈（17，20］时，g（x）＞g（17）=9，g（x）的最大值为g（20）=36，

∴［g（x）］max=36，［g（x）］min=9.

2019-2020年高考数学一轮复习2.11函数的应用教案

解函数应用问题的基本步骤：

第一步：

阅读理解，审清题意.

读题要做到逐字逐句，读懂题中的文字叙述，理解叙述所反映的实际背景，在此基础上，分析出已知什么，求什么，从中提炼出相应的数学问题.

第二步：

引进数学符号，建立数学模型.

一般地，设自变量为x，函数为y，必要时引入其他相关辅助变量，并用x、y和辅助变量表示各相关量，然后根据问题已知条件，运用已掌握的数学知识、物理知识及其他相关知识建立关系式，在此基础上将实际问题转化为一个函数问题，实现问题的数学化，即所谓建立数学模型.

第三步：

利用数学的方法将得到的常规函数问题（即数学模型）予以解答，求得结果.

第四步：

将所得结果再转译成具体问题的解答.

1.某一种商品降价10%后，欲恢复原价，则应提价

A.10%B.9%C.11%D.11%

设提价x%，则a（1－10%）（1+x%）=a，∴x=11.

2.今有一组实验数据如下：

t

1.99

3.0

4.0

5.1

6.12

v

1.5

4.04

7.5

12

18.01

现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是

A.v=log2tB.v=logtC.v=D.v=2t－2

特值检验，如：

当t=4时，v==7.5.

3.用长度为24的材料围一矩形场地，中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为

A.3B.4C.6D.12

设隔墙的长为x（0＜x＜6），矩形面积为y，y=x×

=2x（6－x），∴当x=3时，y最大.

A

4.已知镭经过100年剩留原来质量的95.76%，设质量为1的镭经过x年后剩量为y，则x、y之间的函数关系式为______________.

y=0.9576

5.建筑一个容积为8000m3、深6m的长方体蓄水池（无盖），池壁造价为a元／米2，池底造价为2a元／米2，把总造价y元表示为底的一边长xm的函数，其解析式为___________，定义域为___________.底边长为___________m时总造价最低是___________元.

设池底一边长x（m），则其邻边长为（m），池壁面积为2·

6·

x＋2·

＝12（x＋）（m2），池底面积为x·

＝（m2），根据题意可知蓄水池的总造价y（元）与池底一边长x（m）之间的函数关系式为

y＝12a（x＋）＋a.定义域为（0，＋∞）.

x＋≥2＝（当且仅当x=即x=时取“=”）.

∴当底边长为m时造价最低，最低造价为（160a＋a）元.

y=12a（x+）+a（0，+∞）160a+a

【例1】

（1）一种产品的年产量原来是a件，在今后m年内，计划使年产量平均每年比上一年增加p%，写出年产量随经过年数变化的函数关系式.

（2）一种产品的成本原来是a元，在今后m年内，计划使成本平均每年比上一年降低p%，写出成本随经过年数变化的函数关系式.

（1）设年产量经过x年增加到y件，则y＝a（1＋p%）x（x∈Ｎ*且x≤m）.

（2）设成本经过x年降低到y元，则y＝a（1－p%）x（x∈Ｎ*且x≤m）.

特别提示

增长率问题是一重要的模型.

【例2】“依法纳税是每个公民应尽的义务”.国家征收个人所得税是分段计算的，总收入不超过800元，免征个人所得税，超过800元部分需征税，设全月纳税所得额为x，x=全月总收入－800元，税率见下表：

级数

全月纳税所得额

税率

1

不超过500元部分

5%

超过500元至xx元部分

10%

3

超过xx元至5000元部分

15%

…

9

超过10000元部分

45%

（1）若应纳税额为f（x），试用分段函数表示1~3级纳税额f（x）的计算公式；

（2）某人xx年10月份总收入3000元，试计算该人此月份应缴纳个人所得税多少元；

（3）某人一月份应缴纳此项税款26.78元，则他当月工资总收入介于

A.800~900元B.900~1200元

C.1200~1500元D.1500~2800元

（1）解：

依税率表，有

第一段：

5%，0＜x≤500，

第二段：

（x－500）×

10%+500×

5%，500＜x≤xx，

第三段：

（x－xx）×

15%+1500×

5%，xx＜x≤5000，

即f（x）=

（2）解：

这个人10月份应纳税所得额x=3000－800=2200，f（2200）=0.15×

（2200－xx）+175=205，即这个人10月份应缴纳个人所得税205元.

（3）解法一：

（估算法）由500×

5%=25元，100×

10%=10元，故某人当月工资应在1300~1400元之间，故选C.

解法二：

（逆推验证法）设某人当月工资为1200元或1500元，则其应纳税款分别为400×

5%=20（元），500×

5%+200×

10%=45（元）.可排除A、B、D，故选C.

本题也可以根据纳税额计算公式直接计算.

分段函数在新课标中占有重要地位.

【例3】某地区上年度电价为0.8元/（千瓦·

时），年用电量为a千瓦·

时.本年度计划将电价降到0.55元／（千瓦·

时）至0.75元／（千瓦·

时）之间，而用户期望电价为0.4元／（千瓦·

时）.经测算，下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比（比例系数为k）.该地区电力的成本价为0.3元／（千瓦·

时）.

（1）写出本年度电价下调后，电力部门的收益y与实际电价x的函数关系式；

（2）设k＝0.2a，当电价最低定为多少时仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%?

〔注：

收益＝实际用电量×

（实际电价－成本价）〕

（1）设下调后的电价为x元／（千瓦·

时），依题意知用电量增至＋a，电力部门的收益为y＝（＋a）（x－0.3）（0.55≤x≤0.75）.

（2）依题意有

整理得

解此不等式得0.60≤x≤0.75.

答：

当电价最低定为0.60元／（千瓦·

时）时，仍可保证电力部门的收益比去年至少增长20%.

某商场预计全年分批购入每台价值为xx元的电视机共3600台，每批都购入x台（x∈N*），且每批均需付运费400元，贮存购入的电视机全年所付的保管费与每批购入电视机的总价值（不含运费）成正比.若每批购入400台，则全年需用去运输和保管总费用43600元.现全年只有24000元资金可以用于支付这笔费用.试问：

能否恰当安排每批进货的数量，使资金够用？

写出你的结论，并说明理由.

提示：

设全年的运输和保管总费用为y元，

则y=×

400+k·

（xxx）.据题设，x=400时，y=43600，解得k=5%.

∴y=+100x≥2=2400（元）.

因此只需每批购入120台电视机就可以使预定资金够用.

每批购入120台可使资金够用.

【例4】（xx年春季上海）在一次人才招聘会上，有A、B两家公司分别开出它们的工资标准：

A公司允诺第一年月工资数为1500元，以后每年月工资比上一年月工资增加230元；

B公司允诺第一年月工资数为xx元，以后每年月工资在上一年的月工资基础上递增5%.设某人年初被A、B两家公司同时录取，试问：

（1）若该人分别在A公司或B公司连续工作n年，则他在第n年的月工资收入分别是多少？

（2）该人打算连续在一家公司工作10年，仅从工资收入总量较多作为应聘的标准（不计其他因素），该人应该选择哪家公司，为什么？

（3）在A公司工作比在B公司工作的月工资收入最多可以多多少元（精确到1元）？

并说明理由.

剖析：

第

（1）问可通过第2、3年月工资归纳出所求结果.第

（2）问应注意的是年工资总量.第（3）问难度较大，是求月工资之差的最大值，转化为cn=1270+230n－xx×

1.05n－1，需要转化为cn＞cn－1，cn＞cn+1，则cn最大.

（1）此人在A、B公司第n年的月工资数分别为an=1500+230×

（n－1）（n∈N*），bn=xx·

（1+5%）n－1（n∈N*）.

（2）若该人在A公司连续工作10年，则他的工资收入总量为12（a1+a2+…+a10）=304200（元）；

若该人在B公司连续工作10年，则他的工资收入总量为12（b1+b2+…+b10）≈301869（元）.

因为在A公司收入的总量高些，因此该人应该选择A公司.

（3）问题等价于求cn=an－bn=1270+230n－xx×

1.05n－1（n∈N*）的最大值.

当n≥2时，cn－cn－1=230－100×

1.05n－2.

当cn－cn－1＞0，即230－100×

1.05n－2＞0时，1.05n－2＜2.3，得n＜19.1.

因此，当2≤n≤19时，cn－1＜cn；

当n≥20时，cn≤cn－1.

∴c19是数列{cn}的最大项，c19=a19－b19≈827（元），即在A公司工作比在B公司工作的月工资收入最多可以多827元.

1.某学生离家去学校，为了锻炼身体，一开始跑步前进，跑累了再走余下的路程.用纵轴表示离学校的距离，横轴表示出发后的时间，则下列四个图形中较符合该学生的走法的是

2.某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入客运，据市场分析，每辆客车营运的总利润y万元与营运年数x（x∈N）的关系为y=－x2+12x－25，则每辆客车营运______________年可使其营运年平均利润最大.

A.2B.4C.5D.6

设年平均利润为g（x），则g（x）==12－（x+）.∵x+≥2=10，∴当x=，即x=5时，g（x）max=2.

3.某县计划十年内产值翻两番，则产值平均每年增长的百分率为___________________.（lg2=0.3010，lg11.49=1.0602）

设产值平均年增长率为x，则（1+x）10=4.

两边同取以10为底的对数得10lg（1+x）=2lg2.

∴lg（1+x）==0.0602.∴1+x=100.0602.

又∵lg11.49=1.0602，∴11.49=101.0602=10·

100.0602.

∴100.0602=1.149.因此1+x=1.149，x=0.149=14.9%.

14.9%

4.某工厂生产某种产品的固定成本为200万元，并且生产量每增加一单位产品，成本增加1万元，又知总收入R是单位产量Q的函数：

R（Q）=4Q－Q2，则总利润L（Q）的最大值是___________万元，这时产品的生产数量为___________.（总利润=总收入－成本）

L（Q）=4Q－Q2－（200+Q）=－（Q－300）2+250.

250300

5.（xx年福州市质量检测题）沿海地区某农村在xx年底共有人口1480人，全年工农业生产总值为3180万元.从xx年起计划10年内该村的总产值每年增加60万元，人口每年净增a人，设从xx年起的第x年（xx年为第一年）该村人均产值为y万元.

（1）写出y与x之间的函数关系式；

（2）为使该村的人均产值年年都有增长，那么该村每年人口的净增不能超过多少人？

分析：

本小题主要考查函数知识、函数的单调性，考查数学建模，运用所学知识解决实际问题的能力.

依题意得第x年该村的工农业生产总值为（3180+60x）万元，

而该村第x年的人口总数为（1480+ax）人，∴y=（1≤x≤10）.

（2）解法一：

为使该村的人均产值年年都有增长，则在1≤x≤10内，y=f（x）为增函数.

设1≤x1＜x2≤10，则f（x1）－f（x2）=－

=

=.

∵1≤x1＜x2≤10，a＞0，∴由f（x1）＜f（x2），得88800－3180a＞0.

∴a＜≈27.9.又∵a∈N*，∴a=27.

∵y=（）=［1+

］，

依题意得53－＜0，∴a＜≈27.9.

∵a∈N*，∴a=27.

该村每年人口的净增不能超过27人.

6.（xx年春季北京，19）经过长期观测得到：

在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量y（千辆/时）与汽车的平均速度v（km/h）之间的函数关系为y=（v＞0）.

（1）在该时段内，当汽车的平均速度v为多少时，车流量最大？

最大车流量为多少？

（精确到0.1千辆/时）

（2）若要求在该时段内车流量超过10千辆/时，则汽车的平均速度应在什么范围内？

（1）依题意，y=≤=，

当且仅当v=，即v=40时，上式等号成立，所以ymax=≈11.1（千辆/时）.

（2）由条件得＞10，

整理得v2－89v+1600＜0，

即（v－25）（v－64）＜0.解得25＜v＜64.

∴当v=40km/h时，车流量最大，最大车流量约为11.1千辆/时.如果要求在该时段内车流量超过10千辆/时，则汽车的平均速度应大于25km/h且小于64km/h.

7.（xx年石家庄市一模题）某工厂有216名工人接受了生产