高中数学北师大版选修44同步配套教学案第二章 章末复习课.docx

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高中数学北师大版选修44同步配套教学案第二章章末复习课

章末复习课

[对应学生用书P37]

[对应学生用书P38]

将参数方程化为普通方程

将参数方程化为普通方程的考查有三个热点考向，其一给出参数方程，直接化为普通方程；其二给出参数方程研究其形状、几何性质，则需化为普通方程定形状，研究其几何性质，其三，在用参数法求出曲线的参数方程后，通常利用消参法得出普通方程．一般地，消参数经常采用的是代入法和三角公式法．但将曲线的参数方程化为普通方程，不只是把其中的参数消去，还要注意x，y的取值范围在消参前后应该是一致的，也就是说，要使得参数方程与普通方程等价，即它们二者要表示同一曲线．

[例1]　在平面直角坐标系xOy中，曲线C1和C2的参数方程分别为（t为参数）和（θ为参数），则曲线C1与C2的交点坐标为________．

[解析]　由得y＝，又由

得x2＋y2＝2.

由得

即曲线C1与C2的交点坐标为（1,1）．

[答案]　（1,1）

[例2]　已知曲线C的参数方程为

（t为参数，t>0），求曲线C的普通方程．

[解]　因为x2＝t＋－2，所以x2＋2＝t＋＝，故曲线C的普通方程为3x2－y＋6＝0.

[例3]　已知参数方程（t≠0）．

（1）若t为常数，θ为参数，方程所表示的曲线是什么？

（2）若θ为常数，t为参数，方程所表示的曲线是什么？

[解]　

（1）当t≠±1时，由①得sinθ＝，

由②得cosθ＝.

∴＋＝1.

它表示中心在原点，长轴长为2|t＋|，

短轴长为2，焦点在x轴上的椭圆．

当t＝±1时，y＝0，x＝±2sinθ，x∈[－2,2]，

它表示在x轴上[－2,2]的一段线段．

（2）当θ≠（k∈Z）时，由①得＝t＋.

由②得＝t－.

平方相减得－＝4，即－＝1，

它表示中心在原点，实轴长为4|sinθ|，虚轴长为4|cosθ|，

焦点在x轴上的双曲线．

当θ＝kπ（k∈Z）时，x＝0，它表示y轴；

当θ＝kπ＋（k∈Z）时，y＝0，x＝±（t＋）．

∵t＋≥2（t＞0时）或t＋≤－2（t＜0时），

∴|x|≥2.∴方程为y＝0（|x|≥2），它表示x轴上以（－2,0）和（2,0）为端点的向左、向右的两条射线．

[例4]　已知线段|BB′|＝4，直线l垂直平分BB′交BB′于点O，并且在l上O点的同侧取两点P，P′，使|OP|·|OP′|＝9，求直线B′P′与直线BP的交点M的轨迹．

[解]　如图，以O为原点，l为x轴，BB′为y轴，建立直角坐标系xOy.

依题意，可知B（0,2），B′（0，－2），又可设P（a,0），P′，其中a为参数，可取任意非零的实数．

直线BP的方程为＋＝1，

直线B′P′的方程为＋＝1.

两直线方程化简为

解得直线BP与B′P′的交点坐标为

（a为参数），

消去参数a，得＋＝1（x≠0）．

∴所求点M的轨迹是长轴为6，短轴为4的椭圆（除去B，B′点）.

直线参数方程的应用

直线参数方程的应用非常广泛，因此是高考重点考查的一个考点，主要考查直线参数方程在解决直线与圆锥曲线的位置关系问题中的应用，在解决这类问题时，应用直线的参数方程，利用直线参数方程中参数t的几何意义，可以避免通过解方程组求交点等繁琐运算，使问题得到简化，由于直线的参数方程有多种形式，只有标准形式中的参数才具有明显的几何意义．

[例5]　如图，已知直线l过点P（2,0），斜率为，直线l和抛物线y2＝2x相交于A，B两点，设线段AB的中点为M，求：

（1）P，M两点间的距离|PM|；

（2）线段AB的长|AB|.

[解]　

（1）∵直线l过点P（2,0），斜率为，设直线的倾斜角为α，

tanα＝，sinα＝，cosα＝，

∴直线l的参数方程为（t为参数）．

∵直线l和抛物线相交，将直线的参数方程代入抛物线方程y2＝2x中，整理得

8t2－15t－50＝0，

Δ＝（－15）2－4×8×（－50）>0.

设这个二次方程的两个根分别为t1，t2，

由根与系数的关系，得t1＋t2＝，t1t2＝－，

由M为线段AB的中点，根据t的几何意义，得

|PM|＝＝.

（2）|AB|＝|t2－t1|

＝＝.

[例6]　在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程ρ＝2sinθ.

（1）求圆C的直角坐标方程；

（2）设圆C与直线l交于A，B.若点P的坐标为（3，），求|PA|＋|PB|.

[解]　

（1）由ρ＝2sinθ，得x2＋y2－2y＝0，即x2＋（y－）2＝5.

（2）将l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得

2＋2＝5，

即t2－3t＋4＝0.

由于Δ＝（3）2－4×4＝2>0，故可设t1，t2是上述方程的两实根，

所以

又直线l过点P（，），

故由上式及t的几何意义得|PA|＋|PB|＝|t1|＋|t2|＝t1＋t2＝3.

圆锥曲线参数方程的应用

由于圆、椭圆、双曲线的参数方程均以一个角为参数，这给我们解决与其上动点有关的距离的最值、定值、轨迹等问题带来很大的方便，因此高考中主要考查圆锥曲线参数方程在这些方面的应用，当圆锥曲线由普通方程给出时，需先化为参数方程再应用，最终转化为三角的运算问题，求解．

[例7]　点P在圆x2＋（y－2）2＝上移动，点Q在椭圆x2＋4y2＝4上移动，求|PQ|的最大值及相应的点Q的坐标．

[解]　设圆的圆心为O′，在△PO′Q中，

|PQ|≤|PO′|＋|O′Q|＝＋|O′Q|，

设Q点的坐标为（2cosα，sinα），

而O′（0,2），则|O′Q|2＝4cos2α＋（sinα－2）2

＝－32＋≤.

∴|O′Q|≤，

此时sinα＝－，cosα＝±.

∴|PQ|的最大值为＋，相应点Q的坐标为

.

[例8]　设P是椭圆4x2＋9y2＝36上的一个动点，求x＋2y的最大值和最小值．

[解]　法一：

令x＋2y＝t，且x，y满足4x2＋9y2＝36，

故点（x，y）是方程组的公共解．

消去x得25y2－16ty＋4t2－36＝0，

由Δ＝（－16t）2－4×25×（4t2－36）≥0，

即t2≤25，

解得－5≤t≤5，

∴x＋2y的最大值为5，最小值为－5.

法二：

由椭圆方程4x2＋9y2＝36，得＋＝1，

设x＝3cosθ，y＝2sinθ，代入x＋2y得

x＋2y＝3cosθ＋4sinθ＝5sin（θ＋φ），

由于－1≤sin（θ＋φ）≤1，

所以－5≤5sin（θ＋φ）≤5.

∴x＋2y的最大值为5，最小值为－5.

一、选择题

1．直线（t为参数）上与点P（4,5）的距离等于的点的坐标是（　　）

A．（－4,5）　　　　　　　　　B．（3,6）

C．（3,6）或（5,4）D．（－4,5）或（0,1）

解析：

选C　由题意，可得|t|＝⇒t＝±，将t代入原方程，得或所以所求点的坐标为（3,6）或（5,4）．

2．椭圆上的点到直线4x＋3y－20＝0的最小距离为（　　）

A.B.

C.D．2

解析：

选A　点P（3cosθ，4sinθ）到直线4x＋3y－20＝0的距离d＝

＝.当sin＝1时，

d取最小值为＝

3．设r＞0，那么直线xcosθ＋ysinθ＝r与圆（φ是参数）的位置关系是（　　）

A．相交B．相切

C．相离D．视r的大小而定

解析：

选B　易知圆的圆心在原点，半径是r，则圆心（0,0）到直线的距离为

d＝＝r，恰好等于圆的半径，所以，直线和圆相切．

4．直线y＝x＋与圆心为D的圆（θ∈[0,2π））交于A，B两点，则直线AD与BD的倾斜角之和为（　　）

A.B.

C.D.

解析：

选C　由已知得圆D：

（x－）2＋（y－1）2＝3，

则圆心D到直线y＝x＋的距离等于d＝＝，

故cos∠ADB＝＝，

∠ADB＝，∠ADB＝；

又AD＝BD，因此有∠DBA＝.

而直线y＝x＋的倾斜角是，因此结合图形可知，在直线AD，BD中必有一条直线的倾斜角等于＋，

另一条直线的倾斜角等于＋＋，

因此直线AD，BD的倾斜角之和等于2＋＝.

二、填空题

5．设直线l1的参数方程为（t为参数），直线l2的方程为y＝3x＋4，则l1与l2间的距离为________．

解析：

将直线l1的参数方程化成普通方程为y＝3x－2，又l2：

y＝3x＋4，故l1∥l2，在l1上取一点（0，－2），其到l2：

3x－y＋4＝0的距离就是l1与l2的距离，

即d＝＝.

答案：

6．（湖北高考）已知曲线C1的参数方程是（t为参数）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ＝2.则C1与C2交点的直角坐标为________．

解析：

由题意，得⇒x2＝3y2（x≥0，y≥0），曲线C2的普通方程为x2＋y2＝4，联立，得即C1与C2的交点坐标为（，1）．

答案：

（，1）

7．直线（t为参数）与曲线（α为参数）的交点个数为________．

解析：

直线的普通方程为x＋y－1＝0，圆的普通方程为x2＋y2＝32，圆心到直线的距离d＝＜3，故直线与圆的交点个数是2.

答案：

2

8．已知圆C：

（θ为参数），则它的普通方程为________．设O为坐标原点，点M（x0，y0）在C上运动，点P（x，y）是线段OM的中点，则点P的轨迹方程为________．

解析：

由知

∴（x－1）2＋y2＝sin2θ＋cos2θ＝1.

由中点坐标公式得∴

又点M（x0，y0）在圆C上运动，

∴（x0－1）2＋y＝1.故（2x－1）2＋4y2＝1.

答案：

（x－1）2＋y2＝1　（2x－1）2＋4y2＝1

三、解答题

9．已知椭圆C1：

（φ为参数）及抛物线C2：

y2＝6.当C1∩C2≠∅时，求m的取值范围．

解：

将椭圆C1的参数方程代入C2：

y2＝6，

得3sin2φ＝6，

∴1－cos2φ＝2m＋4cosφ－3，

即（cosφ＋2）2＝8－2m，

∵1≤（cosφ＋2）2≤9，∴1≤8－2m≤9.

解之，得－≤m≤.

∴当C1∩C2≠∅时，m∈.

10．经过P（－2,3）作直线交抛物线y2＝－8x于A，B两点．

（1）若线段AB被P平分，求AB所在直线方程；

（2）当直线的倾斜角为时，求|AB|.

解：

设AB的参数方程是（t为参数），

代入抛物线方程，整理得

t2sin2α＋（6sinα＋8cosα）t－7＝0，

于是t1＋t2＝－，t1t2＝－.

（1）若P为AB的中点，则t1＋t2＝0.

即6sinα＋8cosα＝0⇒tanα＝－.

故AB所在的直线方程为y－3＝－（x＋2）．

即4x＋3y－1＝0.

（2）|AB|＝|t1－t2|＝

＝

＝.

又α＝，

∴|AB|＝

＝8.

[对应学生用书P43]

（时间：

90分钟，满分：

120分）

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中只有一个是正确的）

1．当参数θ变化时，动点P（2cosθ，3sinθ）所确定的曲线必过（　　）

A．点（2,3）　　　　　　　B．点（2,0）

C．点（1,3）D．点

解析：

选B　令x＝2cosθ，y＝3sinθ，则动点（x，y）的轨迹是椭圆：

＋＝1，∴曲线过点（2,0）．

2．以极坐标系中的点（1,1）为圆心，1为半径的圆的方程是（　　）

A．ρ＝2cosB．ρ＝2sin

C．ρ＝2cos（θ－1）D．ρ＝2sin（θ－1）

解析：

选C　由已知得圆心在相应的直角坐标系下的坐标为（cos1，