2332 高等数学数学基础文档格式.docx
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xxye-=='
=-=-,0
0001xye===时,
1（0
1yxyx-=--⇒-=-,
6.函数ln（31
xyx+=
+的连续区间为（（3,1,1,---+∞。
初等函数在其定义区间连续。
ln（31
+⇒3010xx+>
⎧⎨+≠⎩
⇒3x>
-且1x≠-⇒
（（3,1,1,---+∞
7.曲线lnyx=在点（1,0处的切线方程为1yx=-。
（（
1ln1,
0111
xxxyxx
yxyx==='
'
==
=∴-=-⇒=-解:
8.设函数（ln2yfx=可导,则=dy1'
（ln2fxdxx
dyydx==[]（ln2'
fxdx=（'
（ln2ln2'
fxxdx=（1'
（ln2
2'
2fxxdxx
=（1'
=
1'
（ln2fxdxx
9.（判断单调性、凹凸性曲线3
1233
yxxx=
-+在区间（2,3内是单调递减且凹。
（（2
4331,230yxxxxxy'
=-+=--<
⇒当时,曲线下降
20yxy'
=⇒
⇒-4曲线是凹的
10.设2
（1fxx=+,则='
（（xff2
（1'
2fxxx=+=,（（
（（22141ffxf
xxx'
==+=+,
11.
13
（1cosxxdx--=⎰
3
x是奇函数;
1cosx和是偶函数,由于偶+偶=偶,则1cosx-是偶函数,因为奇⨯偶=奇,所以3
（1cosx-是奇函数,[]1,1-是对称区间
奇函数在对称区间上的积分为零12
.
11
（xxdx--=⎰23
。
（xxdx--=
⎰
12
（xdx--=
112
xdx---
⨯偶=奇
故1
0-=⎰;
而2
x是偶函数,故
2223
xdxxdxx
-==
13.设（（Fxfx'
=,则（ln3
fxx
=⎰
（ln3FxC+。
（（11ln3ln3ln3xdxxdxdxxx
=∴
（（1
（ln3ln3ln3ln3fxdxfxdxFxCx
=+⎰⎰
14.已知（（Fxfx'
=,则
（1xfxdx-=⎰
（2
F
C-+。
解:
（（（（（2
1（1121112
xfxdxf
xxdxf
xdxFxC-=
-=
--=
-+⎰
⎰⎰
15.设（Fx为（fx的原函数,那么（sincosfxxdx=⎰
（sinFxC+
分析:
（Fx为（fx的原函数⇒（（fuduFuC=+⎰,cossinxdxdx=
（（（sincossinsinsinfxxdxfxdxFxC=
=+⎰
16.设（fx的一个原函数是sinx,则（fx'
（fx的一个原函数为（Fx⇒（fx='
（Fx⇒（fx'
=（sin'
x=（cos'
x=sinx-17.0（cos2x
Fxttdt=
那么（Fx'
=解:
（xa
ftdt
fx'
（cos2cos2x
Fxttdt
xx
⇒=-=-⎰
18.
02
t
d
te
dtdx
-=⎰_______2x
xe
--__________。
02t
-=⎰（
20
xt
--
=⎰2x
19.设sin0
（xt
Fxe
dt-=
则（
Fπ
=1
（（sinsinsin12
2xt
dt
e
Feeπ
π----'
⎛⎫'
==⎪⎝⎭
20.02cosxd
tdtdx
⎰2
cosx
dtdtdx
=-
cosxd
=2
cosx-
二.选择题
1.下列函数中（B的图像关于坐标原点对称。
A.xlnB.cosxxC.sinxxD.x
a规律:
（11.奇偶函数定义:
（（（（（（,;
fxfxfxfxfxfx-=--=是奇函数,是偶函数;
.常见的偶函数:
24
3,,...,,cos,,xxxxx常数
常见的奇函数:
5
311,,,...,,sin,ln,ln
ln
11xxxxxxxxx
+-+
-+
常见的非奇非偶函数:
,,,lnxxx
aeae
x--;
（3.奇偶函数运算性质:
奇±
奇=奇;
偶=非;
偶±
偶=偶;
奇×
奇=偶;
偶=奇;
偶×
（4.奇函数图像关于原点对称;
偶函数图像关于y轴对称。
A.非奇非偶;
B.奇×
偶=奇（原点;
C.奇×
奇=偶（y轴;
D.非奇非偶2.下列函数中（B不是奇函数。
A.x
ee
--;
B.sin（1
x+;
C.xxcossin;
D.（
lnx+
A.奇函数（定义;
B.非奇非偶（定义;
C.奇函数（奇×
偶;
D.奇函数（定义
3.下列函数中,其图像关于y轴对称的是（A。
A.2
sin（1x-B.cosx
exC.x
x+-11ln
D.cos（1x-
A.偶函数（y轴;
C.奇函数（常见;
D.非奇非偶（定义4.下列极限正确的是（B。
A.0
1lim
xex
→-=B.3
11lim
31
xxx→∞
+
C.sinlim
1xxx
→∞
=D.0
1lim（1x
→+
A错。
∵0x→,1x
e-~x∴0
→-=0
lim
→=;
B正确。
分子分母最高次幂前的系数之比;
C错。
∵x→∞,
10x
→即
是无穷小,sin1x≤即sinx是有界变量,∴sinlim
0xxx
=;
D错。
第二个重要极限应为1lim（1x
=或1
lim（1xxxe→+=,其类型为1∞。
5.当1x→-时,（D为无穷小量。
A.
xx+-B.1sin
1x+C.cos（1x+D.ln（2x+
xxx→-+-0
01
2xx
→-=102
≠;
B.1x→-,10x+→,
x→∞+,1
1limsin
xx→-+不存在;
C.1x→-,cos（1cos01x+→=;
D.1x→-,ln（2ln10x+→=。
6.下列等式中,成立的是（B。
A.222x
dxde
--=-B.3313x
--=-
C
d=D.
ln33dxdxx
A.错,正确的应为222x
---=B。
正确,333x
dxde---=即3313
d=D.错,正确的应为13ln33dxdxx
7.设（xf在点0xx=可微,且0（0fx'
=,则下列结论成立的是（C。
A.0xx=是（xf的极小值点B.0xx=是（xf的极大值点;
C.0xx=是（xf的驻点;
D.0xx=是（xf的最大值点;
驻点定义:
设（fx在点0xx=可微,且0（0fx'
=,则0xx=是（fx的驻点。
驻点为可能的极值点。
8..函数（lnfxx=,则3
（（3
xfxfx→-=-（D。
A.3;
B.ln3;
C.
;
D.
解一:
xfxfx→-=-（（
（3
3'
l1n3
xxxffxxx
======
解二:
3
xfxfx→-=-3
lnln3lim
xxx→--0
031
limxx→=9.设（sinfxx=,则0
（lim
xfxx
→=（B
A.0;
B.1;
C.2;
D.不存在
（0
sin:
1xxfxxxx
→→==解一
sin0:
sincos10
xxxxfxxxxx
x==→→-'
====-解二
10.曲线3
391yxxx=--+在区间（1,3内是（A。
A.下降且凹B.上升且凹C.下降且凸D.上升且凸解:
（（（2
369323331,
13,06613,0yxxxxxxxyyxxy'
=--=--=-+'
='
在任取一点x带入可知,曲线下降-,
在中任取一点x带入可知,曲线是凹的
11.曲线x
yex=-在（0,+∞内是（B。
A.下降且凹;
B.上升且凹;
C.下降且凸;
D.上升且凸解:
（'
'
1
0'
0'
0x
yexexyye
xy=-=->
=>
曲线当时上升,,当时,,曲线是凹的
.曲线y=（1,2M处的法线方程为（B。
A.2（1yx-=-;
B.2（1yx-=--;
C.22（1yx-=--D.11（22
yx-=
规律:
曲线（yf
x=在x=0x处的法线方程为（（
（0001yfxxxfx-=-
-'
yf
x==（
fx==
（
11f==
故法线方程为B.2（1yx-=--;
13.下列结论中正确的是（C。
A.函数的驻点一定是极值点B.函数的极值点一定是驻点C.函数一阶导数为0的点一定是驻点D.函数的极值点处导数必为0
14
.设函数（cos
fx==（xdf（A
A
B
C
.-
D
（coscos
si'
n
dfxddxdx===-
15.当函数（fx不恒为0,,ab为常数时,下列等式不成立的是（B。
A.（（（xfdxxf='
⎰B.
（（xfdxxfdxd
b
a
C.cxfdxxf+='
⎰（（D.（（（afbfxfdba
-=⎰解:
A.成立,（
（（fxdxfx'
为不定积分的性质;
B.不成立,（ba
fxdx=⎰
常数,而常数的导数为零;
C.成立,
（（fxdxfxc'
D.成立,
（（（ba
dfxfbfa=-⎰
为牛顿-莱布尼兹公式。
16.设函数（xf的原函数为（Fx,则2
（fdxx
=⎰（A。
A.1
FCx-+;
B.（FxC+;
C.1
（FCx
+;
D.1
（fCx+解:
函数（fx的原函数为（Fx⇒（（fuduFuC=+⎰,21
1dxd
1（fdxx
x=⎰2111（11fdxfdxxxxFCx⎛⎫⎛⎫--=-=⎪⎪⎝⎛⎫
-+⎪⎝⎭⎝⎭
⎭⎰⎰17.下列无穷积分为收敛的是（B。
sinxdx+∞⎰
B.
02x
edx-∞
C.012
dx--∞
D
.1
+∞⎰
⑴
1,1（0
1,a
dxx
α
ααα+∞≤>
发散收敛
⑵
00,,
0,px
pe
dxp--∞
≤>
收敛发散
⑶
sina
xdx+∞⎰、cosa
xdx+∞⎰
发散
⑷0
0,,N
0,npx
pxe
dxnp+∞-≤∈>
A.
B.20p=-<
收敛;
C.10p=>
发散;
D.112
α=
≤,发散
18.下列无穷积分为收敛的是（C。
A.
xdx+∞⎰
B
C.
xdx+∞-⎰
D.
edx+∞⎰
A.发散;
B.发散;
C.收敛;
D.发散;
三.计算题
1、求极限1241lim41x
xxx-→∞
-⎛⎫⎪+⎝⎭
2、求极限24lim43x
⎛⎫
⎪+⎝⎭
∵
414122141
41
xxxxx-+--=
=+
+++解:
44333143
4343
xxxxx+--=
+++
（212lim
xxx→∞--+=132lim
43
-⋅+3=-2
∴原题=e∴原题=32
e-
3、求极限0
ln（1
xexxx→--+解:
∵0x→,（ln1x+~x,1x
e-~x
∴原题=0
xexxx
→--⋅（
xx→'
--'
=0
2x
→-0
→=
、求极限0
x→解:
∵0x→,sin3x~3x
1~2x-
3lim
2xxx
→-=32
5、求极限2
ln（13lim
sin2xxxx
→-解:
∵0x→,2ln（13x-~2
3x-,sin2x~2x
∴原题=2
→-⋅=32
6、求极限sin20
tan4x
→-
∵0x→,sin21x
-~sin2x~2x,tan4x~4x∴原题=0
2lim
4xxx
7、设函数3
ln（2yxx=-,求dy解:
ln（2ln2'
yx
xxx=-+-⎡⎤⎣⎦（2313ln（22'
2xxxxx
=-+⋅--3
3ln（22x
xxx
=--
dy3
23ln（22xxxdxx⎡⎤-⎢⎥-⎣
⎦=-
8
、设函数（
yxe
=-,求dy。
cos22x
yxe
x=-
cos2
2'
x
x⎛⎫=-⎪⎝
⎭
（1
coscos2'
3xx
xex=+-（1coscos2cos'
3xxexexx=+-1
coscos2sin3x
xxe
x=--
dy1
exxexdx⎛⎫--⎪⎝
=9、设函数2
cos（ln2xyxee-=++,求dy。
cosln2xyxe
=++
cosln2xxe
e-'
sinln2ln210xxxe
=-+-+
1sinln2222x
xxexx
=-+⋅
sinln2xxxe
21sinln22xxxyxdedx-⎛⎫
+⎪⎝⎭
10、设函数32x
yx
-,求dy。
（（（（（（（（3333322
22321222xxxxxexexexxeeyxxx'
------⎛⎫
===⎪---⎝⎭
332
322x
xex-+=
xdeydxx-+-=
11、设函数sin3cos1
xyx=+,求dy。
（（（（
sin31cossin31cossin31cos1cosxxxxx
x'
+-+⎛⎫
⎪+⎝⎭+（（（
cos331cossin3sin1cosxxxxxx'
+--=
3cos31cossin3sin1cosxxxx
x++=
23cos31cossin3sin1cosdxxxx
dxxy+++=
12、计算不定积分
sin
xxdx⎰
:
x解2x20
+si2x2co2x-4-si2
8co2
si2
xxdx⎰
=22cos8sin16cos222xxxxxC-+++
13、计算不定积分
3x
xe
dx-⎰解:
x10
+—
-313
319x
dx-⎰
=313
319
C--
四、应用题
1、要做一个有底无盖的圆柱体容器,已知容器的容积为4立方米,试问如何选取底半径和高的尺寸,才能
使所用材料最省。
设圆柱体底半径为r,高为h,
则体积2
4Vrhπ==2
hr
π⇒=
材料最省即表面积最小
表面积S=
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