离散数学冯栾石陈编习题答案解析Word文件下载.docx

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（P∨（～P∧Q））→Q

可满足式

1

（2）~（4）略

4、利用真值表方法验证下列各式为永真式

（1）~（8）略

5、证明下列各等价式

（1）～（（～P∧Q）∨（～P∧～Q））∨（P∧Q）P

证明：

左式（（P∨～Q）∧（P∨Q））∨（P∧Q）

P∨（P∧Q）∨（P∧～Q）∨T∨（P∧Q）

P右式

（2）（P→Q）∧（R→Q）（P∨R）→Q

左式（～P∨Q）∧（～R∨Q）

⇔（～P∧～R）∨Q

⇔～（P∨R）∨Q

⇔（P∨R）→Q右式

（3）P→（Q∨R）（P→Q）∨（P→R）

左式～P∨Q∨R

⇔～P∨Q∨～P∨R

⇔（～P∨Q）∨（～P∨R）

⇔（P→Q）∨（P→R）右式

（4）（P∧Q）∨（R∧Q）∨（R∧P）（P∨Q）∧（R∨Q）∧（R∨P）

左式（（P∨R）∧Q）∨（R∧P）

⇔（（P∨R）∨R））∧（（P∨R）∨P））∧（Q∨R）∧（Q∨P）

⇔（P∨Q）∧（R∨Q）∧（R∨P）右式

6、如果P∨QQ∨R,能否断定PR？

如果P∧QQ∧R，能否断定PR？

如果～P～R，能否断定PR？

（1）如果P∨QQ∨R，不能判断PR，因为如果Q=P∨R,那么P∨QP∨P∨RQ∨R，但P可以不等价于R.

（2）如果P∧QQ∧R，不能判断PR，因为如果Q=P∧R,那么P∧QP∧P∧RQ∧R，但P可以不等价于R.

（3）如果～P～R，那么有PR，因为～P～R，则～P<

->

～R为永真式，及有P<

R为永真式，所以PR.

7、检查↑和↓是否满足结合率

用真值表方式检查

R

P↑Q

Q↑R

（P↑Q）↑R

P↑（Q↑R）

由上表可知，↑不满住结合率

P↓Q

Q↓R

（P↓Q）↓R

P↓（Q↓R）

由上表可知，↓不满住结合率

8、把下列各式用↑等价表示出来

（1）（P∧Q）∨～P

原式（（P↑Q）↑（P↑Q））∨（P↑P）

（（（P↑Q）↑（P↑Q））↑（（P↑Q）↑（P↑Q）））↑（（P↑P）↑（P↑P））

（2）P→（～P→Q）

原式～P∨P∨Q

Q

（Q↑Q）↑（Q↑Q）

（3）（P→（Q∨～R））∧～P

原式（～P∨～Q∨R）∧～P

～P∨（～Q∧～P）∨（R∧～P）

（P↑P）∨（（Q↑Q）∧（P↑P））∨（R∧（P↑P））

（P↑P）∨（（（Q↑Q）↑（P↑P））↑（（Q↑Q）↑（P↑P）））∨（（R↑（P↑P））↑（R↑（P↑P）））

设：

（P↑P）=N

（（（Q↑Q）↑（P↑P））↑（（Q↑Q）↑（P↑P）））=L

（（R↑（P↑P））↑（R↑（P↑P）））=M

则上式（（（N↑N）↑（L↑L））↑（（N↑N）↑（L↑L）））↑（M↑M）

（4）～P∧～Q∧（～R→P）

原式～P∧～Q∧（R∨P）

（P↑P）∧（Q↑Q）∧（（P↑P）↑（R↑R））

（（（P↑P）↑（Q↑Q））↑（（P↑P）↑（Q↑Q）））∧（（P↑P）↑（R↑R））

（（（P↑P）↑（Q↑Q））↑（（P↑P）↑（Q↑Q）））=N

（（P↑P）↑（R↑R））=M

则上式（N↑M）↑（N↑M）

9、证明：

{～→}是最小功能完备集合

证明:

因为{～,∨}是最小功能完备集合,所以,如果{～→}能表示出∨,则其是功能完备集合。

由于P∨Q（～P）→Q,所以{～→}是功能完备集合。

因为～→不能相互表示，所以{～→}是最小功能完备集合；

同理可证：

{非，条件非}也能将或表示出来：

P∨Q～（～P!

→Q）

10、证明:

{～，▽}不是功能完备集

P∨Q没有办法通过～，▽的公式表达出来，因为

P∨Q

P▽P

～（P▽P）

P▽Q

所以，通过～，▽不能表达出真值为三个1或1个1的情况，因此，不能表达出P∨Q，所以不是功能完备集。

11、用～和∧把公式P▽Q▽R和（P▽Q）→R表示出来

（P▽Q）▽R（（P∧～Q）∨（～P∧Q））▽R

（（（P∧～Q）∨（～P∧Q））∧～R）∨（～（（P∧～Q）∨（～P∧Q））∧R）

（～（～（P∧～Q）∧～（～P∧Q））∧～R）∨（（～（P∧～Q）∧～（～P∧Q））∧～R）

～（～（（～（～（P∧～Q）∧～（～P∧Q））∧～R））∧～（（（～（P∧～Q）∧～（～P∧Q））∧～R）））

（P▽Q）→R～（～（～（～（P∧～Q）∧～（～P∧Q））∧～R）

12、分别利用真值表法和等价变换法求下列公式的主合取范式及主析取范式:

（1）P→（（R∧Q）→S）

真值表法

S

R∧Q

（R∧Q）→S

P→（（R∧Q）→S）

所以：

主合取范式为=～P∨～Q∨～R∨S=M14

主析取范式为=m1∨m2∨m3∨m4∨m5∨m6∨m7∨m8∨m9∨m10∨m11∨m12∨m13∨m14∨m16

等价变换法（略）

（2）（～P∨～Q）→（P<

～Q）

～P∨～Q

P<

～Q

（～P∨～Q）→（P<

主合取范式为=P∨Q=M0

主析取范式为=（～P∧Q）∨（P∧～Q）∨（P∧Q）=m1∨m2∨m3

（3）P→（R∧（Q→P））

Q→P

R∧（Q→P）

P→（R∧（Q→P））

主合取范式为=（～P∨Q∨R）∧（～P∨～Q∨R）=M4∧M6

主析取范式为=（～P∧～Q∧～R）∨（～P∧～Q∧R）∨（～P∧Q∧～R）∨（～P∧Q∧R）∨（P∧～Q∧R）∨（P∧Q∧R）=m0∨m1∨m2∨m3∨m5∨m7

（4）（P→（Q∧R））∧（～P→（～Q∧～R））

Q∧R

～Q∧～R

P→（Q∧R）

～P→（～Q∧～R）

（P→（Q∧R））∧（～P→（～Q∧～R））

主合取范式为=（P∨Q∨～R）∧（P∨～Q∨R）∧（P∨～Q∨～R）∧（～P∨Q∨R）∧（～P∨Q∨～R）∧（～P∨～Q∨R）=M1∧M2∧M3∧M4∧M5∧M6

主析取范式为=（～P∧～Q∧～R）∨（P∧Q∧R）=m0∨m7

13、用转化范式的方法判别下面各组公式是否等价

（1）（P→Q）→（P∧Q）和（～P→Q）∧（Q→P）

（P→Q）→（P∧Q）～（～P∨Q）∨（P∧Q）（P∧～Q）∨（P∧Q）--合取范式

（～P→Q）∧（Q→P）（P∨Q）∧（～Q∨P）P∨（Q∧～Q）P（P∧～Q）∨（P∧Q）--合取范式

两式的合取范式相同，所以等价

（2）（P→Q）∧（P→R）和P→（Q∧R）

（P→Q）∧（P→R）（～P∨Q）∧（～P∨R）--合取范式

P→（Q∧R）～P∨（Q∧R）（～P∨Q）∧（～P∨R）--合取范式

14、从A,B,C,D4个人中派2人出差，要求满足下列条件：

如果A去，则必须在C或D中选一人同去；

B和C不能同时去；

C和D不能同时去。

用构造范式的方法决定选派方案。

由题设A：

A去，B：

B去，C：

C去，D：

D去则满足条件的选派应满足如下范式：

（A→（CD））∧～（B∧C）∧～（C∧D）

构造和以上范式等价的主析取范式

（～A∧～B∧～C∧D）∨（～A∧～B∧～C∧～D）∨（～A∧～B∧C∧～D）∨（～A∧B∧～C∧～D）∨（A∧～B∧C∧～D）∨（A∧～B∧～C∧D）∨（～A∧B∧～C∧D）∨（A∧B∧～C∧D）

共有八个极小项，但根据题意，需派两人出差，所以，只有其中三项满足要求：

（A∧～B∧C∧～D），（A∧～B∧～C∧D），（～A∧B∧～C∧D）

即有三种方案：

A和C去或者A和D去或者B和D去。

15、证明下列蕴含试：

（1）P→Q=>

P→（P∧Q）

P→Q～P∨QT∧（～P∨Q）（～P∨P）∧（～P∨Q）～P∨（P∧Q）

P→（P∧Q）

所以，这是个等价式，因此也是个蕴含式

（2）（P→Q）→Q=>

（P∨Q）

（P→Q）→Q～（～P∨Q）∨Q（P∧～Q）∨Q（P∨Q）∧（Q∨～Q）（P∨Q）∧T（P∨Q）

（3）P∧～P∧R=>

P∧～P∧RF=>

S（F可蕴含任何命题公式）

（4）P=>

Q∨R∨～R

P=>

TQ∨R∨～R

16、证明蕴含关系的性质1、性质2和3

性质1A=>

A

因为在任意的解释下，公式A的真值显然和自己相同，当然在为真时也相同，所以蕴含成立。

性质2如果A=>

B且B=>

A,则AB

因为A=>

A及（A→B）∧（B→A）为永真式，则A<

B为永真式。

所以AB。

性质3如果A=>

B且A永真式，则B必为永真式

因为（A→B）为永真式，且A为永真式，那么只有B为永真式才能满足（A→B）为永真式成立。

所以结论为真。

17、证明定理1.12

A=>

B,当且仅当～B=>

～A

∵A=>

BA→B为永真式～B→～A为永真式～B=>

∴A=>

18、一个有钱人生前留下了一笔珍宝，藏在一个隐秘处。

在他留下的遗嘱中指出寻找珍宝的线索如下：

（1）如果藏宝的房子靠近池塘，那么珍宝不会藏在东厢房。

（2）如果房子的前院栽有大柏树，那么珍宝就藏在东厢房。

（3）藏宝房子靠近池塘。

（4）要么前院栽有大柏树，要么珍宝埋在花园正中地下。

（5）如果后院栽有香樟树，珍宝藏在附近。

请利用蕴含关系找出藏宝处。

根据给定的条件有下述命题：

P：

珍宝藏在东厢房

Q：

藏宝的房子靠近池塘

R：

房子的前院栽有大柏树

S：

珍宝藏在花园正中地下

T：

后院栽有香樟树

M：

珍宝藏在附近

根据题意，得出：

（Q→～P）∧（R→P）∧Q∧（R∨S）∧（T→M）？

（Q→～P）∧（R→P）∧Q∧（R∨S）∧（T→M）

～P∧（R→P）∧（R∨S）∧（T→M）

～R∧（R∨S）∧（T→M）

S∧（T→M）

S即珍宝藏在花园正中地下

19、判断下列蕴含关系式是否成立：

（1）Q∧（P→Q）P

当左端公式解释为1时，Q必须为1；

Q为1，P比为1；

所以，右端公式也为1；

因此，蕴含关系成立

（2）（P→（Q∨～R））∧（Q→（P∧R））P→R

左端公式Q<

（P∧R），当解释为1是，分两种情况，P∧R与Q同为1，那么P→R也为1；

P∧R与Q同为0，如果此时P=1,R=0,则P→R为0；

因此，此蕴含式不成立

（3）～P∧（P→Q）～Q

左端公式解释为1时，P必为0；

当P为0时，则Q可为0，也可为1；

因此，此蕴含式不成立

（4）（P∨Q）∧（P→～Q）∧（P→R）R

当左端公式按P=0,Q=1,R=0解释时，为1，但右端不为1；

（5）（（P∧～Q）→R）∧（P∨Q）∧（Q→P）R

当左端公式按P=1,Q=1,R=0解释时，真值为1，但右端为0；

20、演绎证明下面各蕴含式：

（1）～P∨Q,R→～QP→～R

运用cp法，将结论条件式的前件作为前提，证明步骤如下

[1]Pp（附加前提）

[2]～P∨Qp

[3]QT[1,2]I

[4]R→～Qp

[5]～RT[3,4]I

[6]P→～RCP[1,5]

（2）（P∨Q）→（R∧S）,（S∨E）→BP→B

[1]Pp（附加前提）

[2]（P∨Q）→（R∧S）p

[3]R∧ST[1,2]I

[4]（S∨E）→Bp

[5]BT[3,4]I

[6]P→BCP[1,5]

（3）P→（Q→R）,（R∧S）→E,～B→（S∧～E）P→（Q→B）

运用cp法，将结论条件式的前件作为前提，先将结论进行等价变换为（P∧Q）→B,因此P∧Q可作为附加前提，证明步骤如下

[1]P∧Qp（附加前提）

[2]P→（Q→R）p

[3]（P∧Q）→RT[2]E

[4]RT[1,3]I

[5]（R∧S）→Ep

[6]ET[4,6]I

[7]～B→（S∧～E）p

[8]BT[6,7]I

[9]（P∧Q）→Bcp[1,8]

（4）（R→Q）∧（R→S）,（Q→E）∧（S→B）,～（E∧B）,（P→R）～P

运用反证方法，将结论的非纳入前提，证明步骤如下

[2]P→Rp

[3]RT[1,2]I

[4]（R→Q）∧（R→S）p

[5]Q∧ST[3,4]I

[6]（Q→E）∧（S→B）p

[7]E∧BT[5,6]I

[8]～（E∧B）p

[9]F（矛盾式）T[7,8]E

（5）P→（Q→R）,Q→（R→S）P→（Q→S）

[3]Q→RT[1,2]I

[4]Q→（R→S）p

[5]R→（Q→S）T[4]E

[6]Q→ST[3,5]I

[7]P→（Q→S）CP[1,6]

21、把下列句子演绎成逻辑形式，并给出证明

（1）如果资方拒绝增加工资，那么罢工不会结束；

除非罢工超过一年，并且资方撤换了经理；

现在资方拒绝了增加工资，罢工刚开始。

判断罢工能否停止。

根据题意，有如下命题

P:

资方拒绝增加工资

Q:

罢工结束

R:

罢工超过一年

S:

资方撤换了经理

所以，前提条件符号化为

P→～Q；

Q→R∧S；

P∧～R

因此，推理过程如下：

[1]P∧～Rp

[2]P→～Qp

[3]～QT[1,2]I

所以，罢工不会结束

（2）某公司发生了一起盗窃案，经仔细侦察，掌握了如下一些事实：

●被盗现场没有留下任何痕迹

●失盗时，小花或则小英正在卡拉ok厅

●如果失窃时小胖正在附近，他就会习惯性地破门而入偷走东西后扬长而去

●如果失盗时小花正在卡拉ok厅唱歌，那么金刚是最大的嫌疑者

●如果失盗时小胖不在附近，那么他的女友小英会和他一起外出旅游

●如果失盗时小英正在卡拉ok厅唱歌，那么瘦子是最大的嫌疑者

根据以上事实，请通过演绎推理找出偷窃者

现场无任何痕迹

失窃时，小花在OK厅

失窃时，小英在OK厅

失窃时，小胖在附近

金刚是偷窃者

瘦子是偷窃者

则根据案情有如下命题公式：

{P，Q∨R，S→～P，Q→T，～S→～R，R→M}

1PP

2S→～PP

3～ST①②I

4～S→～RP

5～RT③④I

6Q∨RP

7QT⑤⑥I

8Q→TP

9TT⑦⑧I

即金刚是偷窃者

22、设A1,A2,…,An是一组命题公式，如果存在一个解释使A1∧A2∧…∧An取值真，就称这组公式是相容的，否则称为不相容的。

不相容意味着A1∧A2∧…∧An蕴含一个矛盾式，现在判别下列各命题组是否相容

（1）P→（Q→R）,S→（Q∧～R）,P∧S

根据题意

（P→（Q→R））∧（S→（Q∧～R））∧（P∧S）（Q→R）∧（Q∧～R）R∧～RF

所以，这组命题公式不相容

（2）P∨Q,～R∨S,～Q,～S

（P∨Q）∧（～R∨S）∧～Q∧～SP∧～R

所以,当P=1，Q=0，R=0，S=0时，合取式解释为1，因此这组命题公式相容

（3）P<

Q,Q→R,～R∨S,～P→S,～S

（P<

Q）∧（Q→R）∧（～R∨S）∧（～P→S）∧～S（P<

Q）∧（Q→R）∧～R∧P（P<

Q）∧～Q∧PF

（4）P→Q,P→R,Q→～R,P

（P→Q）∧（P→R）∧（Q→～R）∧PQ∧R∧（Q→～R）R∧～RF

23、利用消解法证明下列各蕴含式：

（1）R→～Q,R∨S,S→～Q,P→Q～P

R→～Q～R∨～Q

S→～Q～S∨～Q

P→Q～P∨Q

因此子句集合={～R∨～Q，～S∨～Q，R∨S，～P∨Q，P}

消解过程如下：

[1]～R∨～Qp

[2]～S∨～Qp

[3]R∨Sp

[4]～P∨Qp