数列求和7种方法方法全例子多Word格式.docx
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x（1xn）
1x
2d
丄）
缠=1_丄
1-2n
2
（n32）Sn1
的最大值.
2n（n
1），
-（n1）（n
2）
~2
n34n64
（、n8）2
丄
50
，即n=8时，f（n）max
题2.若12+22+…+（n-1）2=an3+bn2+cn,贝Ha=,b=,c=
二、错位相减法求和
这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列
项和，其中｛an｝、
｛bn｝分别是等差数列和等比数列
［例3］求和：
23
13x5x27x3
（2n1）xn1
由题可知,
｛（2n1）xn1｝的通项是等差数列
｛2n—1｝的通项与等比数列
设xSn
1x3x25x37x4
（2n
1）xn
①一②得
（1x）Sn12x2x2
2x3
2x4
2xn1（2n
1）x
｛an•bn｝的前n
｝的通项之积
（设制错位）
（错位相减）
再利用等比数列的求和公式得：
（1
1xn1
12x（2n
（2n1）xn1（2n1）xn（1x）
（1x）2
解:
设Sn
2Sn
21231
曰
{2n
4
22
①一②得（1
练习题1已知
答案:
2n
2^
前n项的和.
｝的通项是等差数列｛2n｝的通项与等比数列｛厶｝的通项之积2n
1）Sn
_6_
23
尹
歹
2n1
n2
孑
盯………
22
T3T4
2*1
22n
nn1
，求数列｛an｝的前
n项和S.
答案：
、反序相加法求和
这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原
数列相加，就可以得到n
个（a1
an）.
[例5]求证：
Cn03Cn1
5Cn2
1）Cnn
（n1）2n
证明：
设SnCn0
3C1n
i）cn
……..①
把①式右边倒转过来得
Sn（2n1）Cnn（2n1）Cnn1
3Cn1Cn0
（反序）
又由CnmCnnm可得
1）Cn0
1）Cn1
3Cnn1
Cn
Cn
..……..②
①+②得
2）（Cn0
C1
n1
Cnn）2（n
1）2n
（n
[例6]求sin21sin
sin2
3
sin288
sin289
的值
设Ssin2
sin22
sin2
sin289•…
①
将①式右边反序得
Ssin2
89
88
sin23
sin1•…
……..②
反序相加）
反序）
QQ
又因为sinxcos（90x）,sin2xcos2x1
①+②得
222222
2S（sin1cos1）（sin2cos2）（sin89cos89）=89
S=44.5
题1已知函数
1）证明：
的值.
=右边
（2）求
（1）先利用指数的相关性质对函数化简，后证明左边
（2）利用第
（1）小题已经证明的结论可知，
两式相加得：
所以
练习、求值:
四、分组法求和
有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、
等比或
常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.
11
［例7］求数列的前n项和：
11,4,-y7,
aa
设Sn（11）（—4）（p7）
将其每一项拆开再重新组合得
Sn（1-
a
当a=1时,
Jr）（1
（3n1）n
当a1时,
［例8］求数列{n（n+1）（2n+1）}
a_
11
设akk（k1）（2k1）
Snk（k1）（2k
n1
（丄
2k3
3n2）
（分组）
（分组求和）
3k2
（2k3
nn
2k33k2
k1k1
=2（1323
n3）3（1222
1aa
k）
n2）（12
n）
n（n1）n（n1）（2n1）n（n1）
222
n（n1）（n2）
五、
裂项法求和
这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用
.裂项法的实质是将数列中的每项（通项）
分解，然后
重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的
.通项分解
（裂项）如:
（1）
an
f（n1）
f（n）
（2）
sin1
cosncos（n1）
tan（n1）tann
（3）
n（n1）
（4）
（2n）2
（2n1）（2n
2n1）
（5）
n（n1）（n2）
i[n（n1）
n21
n（n1）2n
2（n1）n
（7）
（8）
[例9]
n1n
n2（n1）2
则Sn
（AnB）（AnC）CB（AnB
An
C）
求数列
.22”3.n
的前
n项和.
设an
（裂项）
则Sn
（裂项求和）
=（.2..1）
（.3
［例10］在数列｛an｝中，an
—，又bn
求数列｛bn｝的前n项的和.
anan1
n1n1
数列｛bn｝的前n项和
Sn8[（1
=8（1
8n
[例11]
cos1
cosOCOS1
cos1cos2
cos88cos89
cosOcos1
cos1cos2
sin1
sncos（n1）
cos0cos1
{（tan1
tan0）（tan2
tan1）（tan3
tan2）
丄c、1
（tan89
tan0）=—
cot1—2
设S
二S
求证
[tan89
原等式成立
tan88]}
练习题1.
练习题2。
六、分段求和法（合并法求和）
针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这
些项放在一起先求和，然后再求Sn.
[例12]求cosl°
+cos2°
+cos3°
+•…+cos178°
+cos179°
的值.
设S=cosl°
+•••+cos178°
•••cosncos（180n）（找特殊性质项）
•••S=（cos1°
+cos179）+（cos2°
+cos178）+（cos3°
+cos177）+•••
+（cos89°
+cos91°
）+cos90°
（合并求和）
=0
[例13]数列{an}:
a11,a23,a32,an2an1an，求S2002.
设S2002=a1a2a3a2002
由a11,a23,a32,an2an1an可得
a41,a53,a62,
a71,a83,
a92,
a10
1,a113,a12
2,
a6k11,a6k2
3,a6k
32,
a6k41,a6k5
3,
a6k6
a6k1a6k2
a6k3
a6k4
a6k5a6k60
（找特殊性质项）
$002=a〔a2a3
a2002
（合并求和）
=（a1
a2a3
a6）
（a7a8a12）
（a6k1
a6k2a6k6）
（a1993
a1994
a1998）a1999
a2000
a2001
=a1999
=a6k1
a6k2
=5
在各项均为正数的等比数列中，
若
a5a69,求log3a1
log3
a2
log3a10的值.
设Snlog3a1
log3a2
log3a10
由等比数列的性质
mnp
q
amanapaq
[例14]
和对数的运算性质logaMlogaNlogaMN得
练习、求和：
=（log3aiaio）（log3a2a?
）（log3a5a6）
=log39log39呱9
=10
•n,则S7+S33+S50等于（）
2
练习题2.若S=1-2+3-4+…+（-1）
对前n项和要分奇偶分别解决，即：
S=
A
练习题31002-992+982-972+…+F-12的值是
A.5000B.5050C.10100D.20200
并项求和，每两项合并，原式=（100+99）+（98+97）+…+（2+1）=5050.答案：
B
七、利用数列的通项求和
先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规律来
求数列的前n项和，是一个重要的方法.
［例15］求1111111111之和.
n个1
由于1111
-999
9l（10k
（找通项及特征）
k个1
9k个1
9
•••111111
1111
n个1
=-（1011）
（1021）
13
（1031）
1（10n1）
112
=-（1010
103
10n）-（11
_110（10n1）n
91019
=—（10n1109n）
81
[例16]已知数列{an}:
an
（n寅求Jn1）（an时）的值.
•••（n1）（anan1）
8（n
1）[（n1）（n
（n1）（anan1）
3）
（n2）（n4）]
[（n2）（n
（—
（宀
4）
（设制分组）
8（—
n4）
）（分组、
裂项求和）
4（3
13
n,（n1,2,），求证：
数列
2.设二次方程anx2-an+1X+1=0（n€N）有两根a和B，且满足6a-2a3+63=3.
（1）试用an表示an1；
⑵求证；
数列他-亍｝是等比数列’
7
⑶当的=-吋,求数列｛%｝的通项公式.
3•数列an中，a18,a42且满足an22an1annN
⑴求数列an的通项公式;
章的学习。
说明：
本资料适用于高三总复习，也适用于高一“数列”
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