高三数学总复习 圆的方程教案 理Word文档下载推荐.docx

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解析：

要求圆的方程，只要确定圆心的位置和半径的大小．

第一步：

以圆拱对的弦所在的直线为ｘ轴、弦的垂直平分线为y轴建立直角坐标系．根据平面几何知识可知，圆拱所在圆的圆心O必在y轴上，故可设O1（0，b）．

第二步：

设圆拱所在圆的半径为r，则圆上任意一点P（x，y）应满足O1P＝r，即

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　①

因此，只须确定b和r的值，就能写出圆的方程．

第三步：

将点B（18.51，0），C（0，7.2）分别代入①，

得

解得

故赵州桥圆拱所在的圆的方程为x2＋（y＋20.19）2＝750.21．

二、建立模型

（1）一般地，设点P（x，y）是以C（a，b）为圆心、r为半径的圆上的任意一点，则CP＝r．

由两点间的距离公式，得

，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　①

即（x－a）2＋（y－b）2＝r2．

反过来，若点P1的坐标（x1，y1）是方程①的解，

则（x1－a）2＋（y1－b）2＝r2，即

这说明点P1（x1，y1）在以C（a，b）为圆心、r为半径的圆上．

结论：

方程（x－a）2＋（y－b）2＝r2叫作以（a，b）为圆心、r为半径的圆的标准方程．

特别地，当圆心为原点O（0，0）时，圆的方程为x2＋y2＝r2．

三、解释应用

（1）

［例　题］

1.已知两点M（4，9），N（2，6），求以MN为直径的圆的方程．

分析：

先利用两点间距离公式求出半径r，然后分别将两点的坐标代入圆的标准方程，解方程组求出a，b．

2.已知动点M（x，y）与两个定点O（0，0），A（3，0）的距离之比为1∶2，那么点M的坐标应满足什么关系？

请你根据这个关系，猜想动点M的轨迹方程．

解：

根据题意，得

即x2－2x＋y2－3＝0，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　①

变形，得（x－1）2＋y2＝4．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　②

由方程①通过配方化为②，可知动点M的轨迹是以（1，0）为圆心、2为半径的圆．

思考：

方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0是否都表示圆呢？

［练　习］

写出满足下列条件的圆的方程．

（1）圆心在原点，半径为５．

（2）圆心在C（6，－2），经过点P（5，1）．

点P（x0，y0）与（x－a）2＋（y－b）2＝r2位置关系的判断方法是什么？

四、建立模型

（2）

将方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0配方，得

，与圆的标准方程比较，可知

（1）当D2＋E2－4F＞0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示以（－，－）为圆心、以为半径的圆．

（2）当D2＋E2－4F＝0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0只有一个解，表示一个点（－，－）.

（3）当D2＋E2－4F＜0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0无实数解，不表示任何图形．

方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，（D2＋E2－4F＞0）叫作圆的一般方程．

（1）圆的标准方程与一般方程的特点．

圆的标准方程的优点在于它明确地指出了圆心及半径，而一般方程突出了方程形式上的特点：

x2，y2的系数相同且不等于0，没有xy这样的项，是特殊的二元一次方程．

（2）探讨一般的二元一次方程：

Ax2＋Cy2＋Bxy＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件．

Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件为A＝C≠0，B＝0且D2＋E2－4F＞0．

五、解释应用

（2）

［例　题］

1.求过三点O（0，0），M1（1，1），M2（4，2）的圆的方程，并求这个圆的半径和圆心坐标．

确定圆的一般方程，只要确定方程中三个常数D，E，F，为此，用待定系数法．

设所求的圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0．

因为O，M1，M2在圆上，所以它们的坐标是方程的解．把它们的坐标依次代入上面的方程，得

于是，得到所求圆的方程：

x2＋y2－8x＋6y＝0．

由前面的讨论可知，所求的圆的半径

，圆心坐标是（4，－3）．

本题能否利用圆的标准方程求解？

有无其他方法？

2.已知隧道的截面是半径为4m的半圆，车辆只能在道路中心线一侧行驶．问：

一辆宽为2.7m、高为3m的货运车能不能驶入这个隧道？

以某一截面半圆的圆心为坐标原点，半圆的直径AB所在的直线为x轴，建立直角坐标系如图25.2，那么半圆的方程为x2＋y2＝16，（y≥0）．

将x＝2.7代入，得

即离中心线2.7m处，隧道的高度低于货车的高度．

因此，货车不能驶入这个隧道．

假设货车的最大宽度为am，那么货车要驶入该隧道，限高至少为多少米？

1.求经过三点A（－1，5），B（5，5），C（6，2）的圆的方程．

2.求过两点A（3，1），B（－1，3）且圆心在直线3x－y－2＝0上的圆的方程．

六、拓展延伸

1.自点A（－1，4）作圆（x－2）2＋（y－3）2＝1的切线，求切线l的方程．

（1）当点Ａ的坐标为（2，2）或（1，1）时，讨论该切线l与圆的位置关系分别有什么变化？

（2）如何判定直线与圆的位置关系的判定方法．

直线与圆的位置关系的判定常用两种方法：

几何法和代数法．若直线l的方程为Ax＋By＋C＝0，圆C的方程为（x－a）2＋（y－b）2＝r2．

①几何法

设圆心（a，b）到直线l的距离为d，则

d＞ｒl与c相离；

d＝rl与c相切；

d＜rl与c相交．

②代数法

Δ＞0方程有两个不同解方程组有两个不同解l与C有两个不同交点相交；

Δ＝0相切；

Δ＜０相离．

2.若圆x2＋y2＝m与圆x2＋y2＋6x－8y－11＝0有公共点，求ｍ的取值范围．

如何判定圆与圆的位置关系．

圆与圆的位置关系的判定主要就是几何法．

已知

，则

d＞r1＋r2C1与C2外离；

d＝r1＋r2C1与C2相外切；

d＝｜r1－r2｜C1与C2相内切；

｜r1－r2｜＜d＜r1＋r2C1与C2相交；

d＜｜r1－r2｜C1与C2内含．

3.画出方程：

｜x｜－1＝表示的曲线．

4.已知圆C：

x2＋y2＝r2，直线l：

ax＋by＝r2．当点P（a，b）在圆C上、圆C内和圆C外时，分别研究直线l与C具有怎样的位置关系．

5.已知：

圆满足：

①截y轴所得的弦长为2；

②被x轴分成两段弧，其弧长的比为3∶1；

③圆心到直线l：

x－2y＝0的距离为．求该圆的方程．

点　评

这节课重点研究了圆方程的两种表示形式，突出了利用待定系数法、几何法来确定圆的方程，及利用圆的方程解决简单的实际问题，对圆与直线、圆与圆位置关系稍作涉列．由于初中几何中研究这些知识较多，所以对这些内容的探究放手于学生，对学生能力的培养与锻炼大有好处．此外，例题和练习的选取配置较好，突出了与实际问题的联系，易激发学生的学习兴趣．这篇案例在继承中国传统的“双基”同时，着眼于在体现课程新理念上（尤其是体现新的探究、自主学习理念）有所突破．

2019-2020年高三数学总复习基本不等式教案理

“”的证明学生比较容易理解，学生难理解的是“当且仅当ａ＝ｂ时取‘＝’号”的真正数学内涵，所谓“当且仅当”就是“充分必要”．

教学重点是定理及其应用，难点是利用定理求函数的最值问题，进而解决一些实际问题．

1.理解两个实数的平方和不小于它们积的2倍这一重要不等式的证明，并能从几何意义的角度去解释，形成数形结合的完美统一．

2.理解两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数定理的证明，及其几何意义，会用这两个重要不等式解决简单的实际应用题．

3.通过定理的证明培养学生的逻辑推理能力，通过定理的应用揭示数学的应用价值．

这节内容从实际问题情境展开探讨，“如要围成面积为16ｍ2的一个矩形，所需绳子最短是多少？

即设长为ｘ，宽为，则周长为l＝2ｘ＋2×

，求当ｘ取何值时，l最小．”让学生去猜测，去思考，充分调动学生的积极性，激发学生的想象和猜想能力．当学生猜想它应为正方形这一结论时，教师适时引导如何去证明猜想的正确性，激发学生的求知欲望，从而达到由问题到结论的证明，开阔学生的思路，陶冶学生的情操．

教师出示问题，引导学生分析、思考：

某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积为4800ｍ3，深为3ｍ．如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，怎样设计水池能使总造价最低？

最低总造价是多少元？

1.通过比较ａ2＋ｂ2与2ａｂ的大小，引入重要不等式．

∵ａ2＋ｂ2－2ａｂ＝（ａ－ｂ）2，

∴当ａ≠ｂ时，（ａ－ｂ）2＞0；

当ａ＝ｂ时，（ａ－ｂ）2＝0．

即（ａ－ｂ）2≥0，从而有ａ2＋ｂ2≥2ａｂ．

2.结论明晰

定理1　如果ａ，ｂ∈Ｒ，那么ａ2＋ｂ2≥2ａｂ（当且仅当ａ＝ｂ时，取“＝”号）．

对于定理1和定理2，当且仅当ａ＝ｂ时取“＝”号的具体含义是什么？

三、解释应用

1.已知ｘ，ｙ都是正数，求证：

小结；

上述结论是我们用定理求最值的依据，可简述为和为定值积最大，积为定值和最小．

2.设法解决本节课开始提出的问题．

因此，当水池的底面是边长为40ｍ的正方形时，水池的总造价最低，最低总造价为297600元．

3.0求证：

在直径为ｄ的圆内接矩形中，面积最大的是正方形，并且这个正方形的面积等于ｄ2．

2.设计一幅宣传画，要求画面面积为4840ｃｍ2，画面的宽与高的比为λ（λ＜１），画面的上、下各留8ｃｍ的空白，左、右各留5ｃｍ的空白．问：

怎样确定画面的高与宽的尺寸，才能使宣传画所用纸张面积最小？

答：

当画面高为88ｃｍ、宽为55ｃｍ时，所用纸张面积最小．

3.用一段长为L（ｍ）的篱笆围成一个边靠墙的矩形菜园，问：

当这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？

上述两种解答的答案不同，哪一种方法是错误的，为什么？

四、拓展延伸

这篇案例由实际问题引入课题，既自然，又能引起学生的兴趣，激发起学生的求知欲望，为本节重点的突破打下良好的基础．由学生已有知识归纳和总结得到这节课的两个定理，使学生易于理解和接受．由典型例题的证明，归纳出一般结论，培养了学生的逻辑推理能力．由练习的变形培养了学生灵活处理问题的能力．对实际问题的解决体现了数学的应用价值．重要不等式灵活变形的使用不仅加深了对推理的理解，同时突破了对本节难点“等号成立的条件”的理解．“拓展延伸”给学生以发挥的空间，启发学生由已知到未知的探索能力．

总之，关注基本不等式与现实的联系是这篇案例的突出特点，“问题驱动式”的设计是这篇案例成功的关键，而“从问题出发构建模型，反过来，又利用建立的模型解决开始的问题”的设计又可以使学生领略到学习数学的成功和胜利喜悦．