集合的分划与子集族.docx

集合的分划与子集族.docx

《集合的分划与子集族.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《集合的分划与子集族.docx（6页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

集合的分划与子集族

集合的划分与子集族（即奥林匹克小丛书《集合》一册的第4、5讲）

一、集合的划分

例1、将集合分为个互不相交的子集使得：

（1）每个都含有个元素；

（2）每个中各元素之和都相同。

例2、对一个由非负整数组成的集合，定义是满足下述条件的有序对的对数：

且，问能否将非负整数集分划为两个集合和,使得对任意均有

例3、设集合，求最小的正整数，使得对的任意一个分划，一定存在某个集合，在中由两个元素，满足

例4、证明：

可以把自然数集分划为个非空子集，使得对任何个满足关系式的自然数，都可以从中找出两个数属于同一子集

例5、设集合和是集合的两个分划，已知对任意两个交集为空集的集合，均有，求证：

例6、设自然数分划成个互不相交的子集：

，求证其中必有某个子集，它具有如下性质：

存在使对任何正整数，都能找到，满足

例7、将正整数集拆分成两个不相交的子集，满足条件：

（1）；

（2）中没有两个不同的元素，使它们的和形如；（3）中也没有两个不同的元素，其和具有上述形式。

证明：

这种拆分可以以惟一的方式实现，并确定所属的子集

例8、平面上横纵坐标均为有理数的点叫有理点，求证：

平面上的全部有理点可以分成个两两互不相交的集合，满足条件：

（1）在以每个有理点为圆心的任一圆内一定包含个点分属这个集合；

（2）下任何一条直线上都不可能有个点分属这个集合

例9、设,对的任一非空子集，当中任意两数之和不属于时，称为自由集，如果且均为自由集，那么称有序对为为的一个划分，试求的所有划分的个数

二、族

例10、试证：

任一有限集的全部子集可以排定次序，使得任何相邻的两个子集都相差一个元素

例11、在某次竞选中各政党作出种不同的诺言，有些政党可以作某些相同的诺言，现知其中每两个政党都至少作了一个相同的诺言，但没有两个政党的诺言完全相同，求证：

政党个数

例12、设正整数，各不同的正整数有下列性质：

对集合的任何两个不同的非空子集和，中所有数的和与中所有数的和都不会相等，在上述条件下，

求的最大值

三、求解子集族

例13、已知集合，求集合的具有下列性质的子集个数：

每个子集至少含有各元素，且每个子集中的任何两个元素的差的绝对值大于

例14、对于正整数，如果存在集合的子集族满足

（1）；

（2）若，则；（3）任意，，则称是“和谐数”证明：

（1）是和谐数；

（2）除外，其余的都是和谐数

例15、集合，试作出的三元子集族，满足：

（1）的任一二元子集至少被族中的一个三元子集包含；

（2）

四、有关子集族的最值问题

例16、集合，是的一族非空子集，当时，至多有两个元素，求的最大值

例17、设满足：

对任何整数及中的任意数（可以相同），均不是两个相邻整数之积，试确定所含元素个数最多的

例18、设，对的任意一个元子集，若存在，使得且，则称为好集，求最大自然数，使得任一含有的元子集都为好集

集合的分划与子集族

1、已知集合，可以分为个互不相交的三元组，其中，则满足上述要求的两个最小的正整数

2、设是一个有个元素的集合，选取的两个子集（可以相同），使得它们的并集是，选取的顺序无关紧要，如与表示同一种取法，这样的取法有种

3、设集合，求证：

在或中含有三个元素，使得

4、已知集合是的子集，且中任一两个元素之和均不能被整除，求集合中元素个数的最大值

5、试证：

对于每个整数，都能找到一个最小的整数，使在集合分成组的任何分划中，都存在整数，使数含于分划的同一组中

6、已知这个空间被分成互不相交的个非空集合，求证：

必有一个平面，它至少与其中的四个集合有公共点

7、，是的分划，即，并且两两的交集都是空集，如果中各取一个元素，那么每两个的和都不等于第三个，求

8、

（1）证明：

正整数集可以表示为三个彼此互不相交的集合的并集，使得：

若，且或，则属于不同的集合

（2）证明：

正整数集可以表示为四个彼此互不相交的集合的并集，使得：

若，且或，则属于不同的集合，并说明此时将表示为三个彼此互不相交的集合的并集时，命题不成立

9、确定所有的正整数使得集合可以分成个互不相交的子集，每个子集中元素之和相等

10、设为正整数，是与之间（包括这两个数在内）的所有整数组成的集合，能否将拆分为两个不相交的子集，使得

11、给定正整数，求具有下列性质的正整数的最小值：

把集合任意分成两个互不相交的非空子集的并集，其中必有一个子集内含有个数（不要求它们互不相同）：

，使得

12、正整数具有下列性质：

把集合任意分成两个互不相交的子集，总有某个子集，它含有三个数（允许），使得，求这样的的最小值

13、设为个正实数组成的集合，对的每个非空子集，令为中所有元素之和，求证：

集合可以拆分成个互不相交的子集，每个子集中的最大数与最小数之差为

14、试求所有正整数，使集合可以分解为两个互不相交的子集，且使两个集合中的元素之和相等

15、给定集合，其中为非零复数（可视为平面上非零向量）．

求证：

可以把中元素分成若干子集，使得

（1）中每个元素属于且仅属于一个子集；

（2）每一子集中任一复数与该子集所有复数之和的夹角不超过90°；（3）将任二子集中复数分别作和，所得和数之间夹角大于90°．

1

16、设都是正整数，并且，求证：

集合，

构成的分划的充要条件是和都与互质

17、设集合，求一个包含元素最多的集合的子集使得中任意三个元素，，都有

18、集合的所有子集中，有这样一族不同的子集，它们两两的交集都不是空集，那么这族子集最多有个

19、设集合，现对的任一非空子集，令表示中最大数与最小数之和，则所有这样的的算术平均数为

20、集合的所有子集中全部元素之和的总和是

21、如果一个正整数集合中没有个数是两两互质的，则称之为“和谐”的，问从到的整数集中“和谐”的子集的元素的最大数目是多少

22、设是集合的子集，且中任意两个不同的数作和，所得的数两两不同，求

23、设，求最小正整数使得中的每个元子集中都有个数能作为直角三角形的三边长

24、设为质数，考虑集合满足以下两个条件的子集：

（1）恰有个元素；

（2）中所有元素之和可被整除

25、设是一个固定的正整数，是一个无限集族，且每个集合中含有个元素，若中的任意两个集合的交集非空，求证：

存在一个具有个元素的集合与中的每一个集合的交集非空

26、设，是一个元集合，求最小的正整数，使得存在的子集具有如下性质：

对的任意两个不同元，存在，使得为的一元子集

27、，求最小的正整数，使的每个元子集中都有两个数使得

28、是一个元集合，中最多有多少个这样的三元子集，使得其中任意两个三元子集都恰好有一个公共元

29、集合，从中取出个子集满足下列条件：

（1）；

（2）；（3）对的任意三元子集，都存在某个使得，求这样一组子集的个数的最小值

30、设，对任意（可以相同）总有，求的最大值

31、称子集为好的，如果它具有下述性质：

“如果则且”（空集和都是好的），有多少个好子集

32、为给定的正整数，为的所有正因数组成的集合，，且中任一数都不能整除中另一数，求的最大值

33、，且具有如下性质：

中任两个不同元素之和不被整除，求的最大值

34、的子集，且，证明：

存在，

35、，且中任意两数的差不等于也不等于，求的最大值

36、已知满足：

（1）；

（2）；（3），求使这样一组集合存在的最大的正整数

37、设是的一族子集且满足条件：

（1）；

（2）；（3）中每个元素至少属于两个子集，试问：

对怎样的,可以将中每个元素贴上一张写有或的标签，使得每个中恰有个元素贴有标签

38、设，，，则存在中的元素，使得中任意两个的交集为空集