平面向量经典习题汇总.docx

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平面向量经典习题汇总

平面向量经典习题汇总

1.（北京理.2）已知向量a、b不共线，cabR）,dab,如果cd，那么（）

A．且c与d同向B．且c与d反向

C．且c与d同向D．且c与d反向

【解析】本题主要考查向量的共线（平行）、向量的加减法.属于基础知识、基本运算的考查.

取a，b，若，则cab，dab，

显然，a与b不平行，排除A、B.

若，则cab，dab，

即cd且c与d反向，排除C，故选D.

2.（北京文.2）已知向量，如果，那么

A．且与同向B．且与反向

C．且与同向D．且与反向

【解析】本题主要考查向量的共线（平行）、向量的加减法.属于基础知识、基本运算的考查.

∵a，b，若，则cab，dab，

显然，a与b不平行，排除A、B.

若，则cab，dab，

即cd且c与d反向，排除C，故选D.

3.（福建理.9;文.12）设a，b，c为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量，且满足a与b不共线，ac∣a∣=∣c∣,则∣b•c∣的值一定等于

A．以a，b为两边的三角形面积B以b，c为两边的三角形面积

C．以a，b为邻边的平行四边形的面积D以b，c为邻边的平行四边形的面积

【解析】依题意可得故选C.

4.（广东理.6）一质点受到平面上的三个力（单位：

牛顿）的作用而处于平衡状态．已知，成角，且，的大小分别为2和4，则的大小为A.6B.2C.D.

【解析】，所以，选D.

5.（广东文.3）已知平面向量a=，b=，则向量

A平行于轴B.平行于第一、三象限的角平分线

C.平行于轴D.平行于第二、四象限的角平分线

【解析】,由及向量的性质可知,选C

6.（湖北理.4,文7）函数的图象按向量平移到,的函数解析式为当为奇函数时，向量可以等于

【解析】由平面向量平行规律可知，仅当时，

：

=为奇函数，故选D.

7.（湖北文.1）若向量a=（1，1），b=（-1,1），c=（4，2），则c=

A.3a+bB.3a-bC.-a+3bD.a+3b

【解析】由计算可得故选B

8.（湖南文.4）如图1，D，E，F分别是ABC的边AB，BC，CA的中点，则（）

A．

B．

C．

D．

图1

【解析】得，

或.故选A.

9.（辽宁理,文.3）平面向量与的夹角为，，则

　（Ａ）　　　　　（Ｂ）　　　　（Ｃ）4　　　　　（Ｄ）12

【解析】，，，

，。

选B

10.（宁夏海南理.9）

已知O，N，P在所在平面内，且，且，则点O，N，P依次是的

（A）重心外心垂心（B）重心外心内心

（C）外心重心垂心（D）外心重心内心

（注：

三角形的三条高线交于一点，此点为三角型的垂心）

【解析】

;

选C

11.（全国理.6）设、、是单位向量，且·＝0，则的最小值为（）

（A）（B）（C）（D）

【解析】是单位向量

故选D.

12.（全国理,文.6）已知向量，,,则

（A）（B）（C）5（D）25

【解析】将平方即可,故选C

13.（山东理.7;文.8）设P是△ABC所在平面内的一点，，则（　　　）

A.B.C.D.

【解析】本题考查了向量的加法运算和平行四边形法则，

可以借助图形解答因为，所以点P

为线段AC的中点，所以应该选B。

14.（陕西理.8）在中,M是BC的中点，AM=1,点P在AM上且满足,则等于

（A）（B）（C）（D）

【解析】故选A

15.（浙江文.5）已知向量，．若向量满足，，则（）

A．B．C．D．

【解析】不妨设，则，对于，则有；又，则有，则有故D

16.（重庆理.4）已知，则向量与向量的夹角是（）

A．B．C．D．

【解析】故选C

17.（重庆文.4）已知向量若与平行，则实数的值是

A．-2B．0C．1D．2

【解析】法1:

因为，所以由于与平行，得，解得。

法2因为与平行，则存在常数，使，，根据向量共线的条件知，向量与共线，故故选D

二.填空题:

1.（安徽理.14）给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为.

如图所示，点C在以O为圆心的圆弧上变动.

若其中,则

的最大值是________.

【解析】设

，即

∴

2.（安徽文.14）在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC

的中点，若=+,其中,R,则＋_____.

【解析】

，∴，∴

3.（广东理.10）若平面向量，满足，平行于轴，，则.

【解析】

或，则或.

4.（湖南文.15）如图2，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起，若，则

___________，________.

【解析】

作,设，,

由解得故

5.（江苏文理.2）.已知向量和向量的夹角为，，则向量和向量的数量积=___________。

【解析】考查数量积的运算。

6.（江西理.13）已知向量，，，若∥，则=．

【解析】

7..（江西文.13）已知向量，，，若则=．

【解析】因为所以

8.（天津理.15）在四边形ABCD中，==（1，1），，则四边形ABCD的面积是

【解析】因为==（1，1）,所以四边形ABCD为平行四边形,所以

则四边形ABCD的面积为

9.（天津文.15）若等边的边长为，平面内一点M满足,则________.

【解析】合理建立直角坐标系，因为三角形是正三角形，故设

这样利用向量关系式，求得M，然后求得，运用数量积公式解得为-2.

三.解答题:

1.（广东理.16）已知向量与互相垂直，其中．

（1）求和的值；

（2）若，求的值．

【解析】

（1）∵与互相垂直，则，即，代入得，又，∴.

（2）∵，，∴，则，∴.

2.（广东文.16）已知向量与互相垂直，其中

（1）求和的值

（2）若，,求的值

【解析】（１）,,即

又∵,∴,即,∴

又　,

（2）∵

,即

又,∴

3.（湖北理科17.）已知向量

（Ⅰ）求向量的长度的最大值；

（Ⅱ）设，且，求的值。

【解析】

（1）解法1：

则

，即

当时，有所以向量的长度的最大值为2.

解法2：

，，

当时，有，即，

的长度的最大值为2.

（2）解法1：

由已知可得

。

，，即。

由，得，即。

于是。

解法2：

若，则，又由，得

，，即

，平方后化简得

解得或，经检验，即为所求

4.（湖南理.16）在中，已知，求角A，B，C的大小.

【解析】设.

由得，所以.

又因此.

由得，于是.

所以，，因此

，既.

由知，所以，从而

或，既或故

或。

5.（湖南文16.）已知向量

（Ⅰ）若，求的值；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

（Ⅱ）若求的值。

【解析】（Ⅰ）因为，所以

于是，故

（Ⅱ）由知，

所以

从而，即，

于是.又由知，，

所以，或.

因此，或

6.（江苏文理.15）设向量

（1）若与垂直，求的值；

（2）求的最大值;

（3）若，求证：

∥.

【解析】本小题主要考查向量的基本概念，同时考查同角三角函数的基本关系式、二倍角的正弦、两角和的正弦与余弦公式，考查运算和证明得基本能力。

7.（浙江理.18）在中，角所对的边分别为，且满足，．

（I）求的面积；（II）若，求的值．

【解析】（I）因为，，又由，得，

（II）对于，又，或，由余弦定理得，

20090423

8.（浙江文.18）在中，角所对的边分别为，且满足，．

（I）求的面积；（II）若，求的值．

【解析】（Ⅰ）

又，，而，所以，所以的面积为：

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，而，所以

所以