高中数学不等式知识点总结教师版.docx
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高中数学不等式知识点总结教师版
高中数学不等式专题教师版
一、高考动态
考试内容：
不等式．不等式的基本性质．不等式的证明．不等式的解法．含绝对值的不等式．
©版权所有考试要求：
数学探索©版权所有
（1）理解不等式的性质及其证明．
数学探索©版权所有
（2）掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的应用．
数学探索©版权所有（3）掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式．
数学探索©版权所有（4）掌握简单不等式的解法．
数学探索©版权所有（5）理解不等式│a│-│b│≤│a+b│≤│a│+│b│
二、不等式知识要点
1.不等式的基本概念
（1）不等（等）号的定义：
（2）不等式的分类：
绝对不等式；条件不等式；矛盾不等式.
（3）同向不等式与异向不等式.
（4）同解不等式与不等式的同解变形.
2.不等式的基本性质
（1）（对称性）
（2）（传递性）
（3）（加法单调性）
（4）（同向不等式相加）
（5）（异向不等式相减）
（6）
（7）（乘法单调性）
（8）（同向不等式相乘）
（异向不等式相除）
（倒数关系）
（11）（平方法则）
（12）（开方法则）
3.几个重要不等式
（1）
（2）（当仅当a=b时取等号）
（3）如果a,b都是正数，那么（当仅当a=b时取等号）
极值定理：
若则：
如果P是定值,那么当x=y时，S的值最小；
如果S是定值,那么当x=y时，P的值最大.
利用极值定理求最值的必要条件：
一正、二定、三相等.
（当仅当a=b=c时取等号）
（当仅当a=b时取等号）
（7）
4.几个著名不等式
（1）平均不等式：
如果a,b都是正数，那么（当仅当a=b时取等号）即：
平方平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均（a、b为正数）：
特别地，（当a=b时，）
幂平均不等式：
注：
例如：
.
常用不等式的放缩法：
①
②
（2）柯西不等式：
（3）琴生不等式（特例）与凸函数、凹函数
若定义在某区间上的函数f（x）,对于定义域中任意两点有
则称f（x）为凸（或凹）函数.
5.不等式证明的几种常用方法
比较法、综合法、分析法、换元法、反证法、放缩法、构造法.
6.不等式的解法
（1）整式不等式的解法（根轴法）.
步骤：
正化，求根，标轴，穿线（偶重根打结），定解.
特例①一元一次不等式ax>b解的讨论；
②一元二次不等式ax2+bx+c>0（a≠0）解的讨论.
（2）分式不等式的解法：
先移项通分标准化，则
（3）无理不等式：
转化为有理不等式求解
（4）.指数不等式：
转化为代数不等式
（5）对数不等式：
转化为代数不等式
（6）含绝对值不等式
应用分类讨论思想去绝对值；应用数形思想；
应用化归思想等价转化
注：
常用不等式的解法举例（x为正数）：
①
②
类似于，③
三、利用均值不等式求最值的方法
均值不等式当且仅当a＝b时等号成立）是一个重要的不等式，利用它可以求解函数最值问题。
对于有些题目，可以直接利用公式求解。
但是有些题目必须进行必要的变形才能利用均值不等式求解。
下面是一些常用的变形方法。
一、配凑
1.凑系数
例1.当时，求的最大值。
解析：
由知，，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。
注意到为定值，故只需将凑上一个系数即可。
当且仅当，即x＝2时取等号。
所以当x＝2时，的最大值为8。
评注：
本题无法直接运用均值不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用均值不等式求最大值。
2.凑项
例2.已知，求函数的最大值。
解析：
由题意知，首先要调整符号，又不是定值，故需对进行凑项才能得到定值。
∵
∴
当且仅当，即时等号成立。
评注：
本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。
3.分离
例3.求的值域。
解析：
本题看似无法运用均值不等式，不妨将分子配方凑出含有（x＋1）的项，再将其分离。
当，即时
（当且仅当x＝1时取“＝”号）。
当，即时
（当且仅当x＝－3时取“＝”号）。
∴的值域为。
评注：
分式函数求最值，通常化成，g（x）恒正或恒负的形式，然后运用均值不等式来求最值。
二、整体代换
例4.已知，求的最小值。
解法1：
不妨将乘以1，而1用a＋2b代换。
当且仅当时取等号，由
即时，的最小值为。
解法2：
将分子中的1用代换。
评注：
本题巧妙运用“1”的代换，得到，而与的积为定值，即可用均值不等式求得的最小值。
三、换元
例5.求函数的最大值。
解析：
变量代换，令，则
当t＝0时，y＝0
当时，
当且仅当，即时取等号。
故。
评注：
本题通过换元法使问题得到了简化，而且将问题转化为熟悉的分式型函数的求最值问题，从而为构造积为定值创造有利条件。
四、取平方
例6.求函数的最大值。
解析：
注意到的和为定值。
又，所以
当且仅当，即时取等号。
故。
评注：
本题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用均值不等式创造了条件。
总之，我们利用均值不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时还要注意一些变形技巧，积极创造条件利用均值不等式。
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基本不等式
一、选择题
1．若a＞0，b＞0，且ln（a＋b）＝0，则＋的最小值是（ ）
A. B．1 C．4 D．8
解析：
由a＞0，b＞0，ln（a＋b）＝0，得
故＋＝＝≥＝＝4.
当且仅当a＝b＝时，上式取等号.
答案：
C
2．已知不等式（x＋y）≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为（ ）
A．2B．4
C．9D．16
解析：
（x＋y）＝1＋·a＋＋a.
∵x＞0，y＞0，a＞0，
∴1＋＋＋a≥1＋a＋2.
由9≤1＋a＋2，得a＋2－8≥0，
∴（＋4）（－2）≥0.
∵a＞0，∴≥2，∴a≥4，∴a的最小值为4.
答案：
B
3．已知函数f（x）＝lg的值域为R，则m的取值范围是（ ）
A．（－4，＋∞）B．[－4，＋∞）
C．（－∞，－4）D．（－∞，－4]
解析：
设g（x）＝5x＋＋m，由题意g（x）的图像与x轴有交点，而5x＋≥4，故m≤－4，故选D.
答案：
D
4．当点（x，y）在直线x＋3y－2＝0上移动时，表达式3x＋27y＋1的最小值为（ ）
A．3B．5
C．1D．7
解析：
方法一：
由x＋3y－2＝0，得3y＝－x＋2.
∴3x＋27y＋1＝3x＋33y＋1＝3x＋3－x＋2＋1
＝3x＋＋1
≥2＋1＝7.
当且仅当3x＝，即3x＝3，即x＝1时取得等号．
方法二：
3x＋27y＋1＝3x＋33y＋1≥2＋1＝2＋1＝7.
答案：
D
5．已知x＞0，y＞0，x＋2y＋2xy＝8，则x＋2y的最小值是（ ）
A．3B．4
C.D.
解析：
∵2xy＝x·（2y）≤2，
∴原式可化为（x＋2y）2＋4（x＋2y）－32≥0.
又∵x＞0，y＞0，∴x＋2y≥4.当x＝2，y＝1时取等号．
答案：
B
6．（2013·苍山调研）已知x＞0，y＞0，lg2x＋lg8y＝lg2，则＋的最小值是（ ）
A．2B．2
C．4D．2
解析：
由lg2x＋lg8y＝lg2，得lg2x＋3y＝lg2.
∴x＋3y＝1，＋＝（x＋3y）＝2＋＋≥4.
答案：
C
二、填空题
7．设x、y∈R，且xy≠0，则的最小值为__________．
解析：
＝1＋4＋4x2y2＋≥1＋4＋2＝9.
当且仅当4x2y2＝时等号成立，即|xy|＝时等号成立.
答案：
9
8．（2013·台州调研）若实数a，b满足ab－4a－b＋1＝0（a＞1），则（a＋1）（b＋2）的最小值为__________．
解析：
∵ab－4a－b＋1＝0，
∴b＝，ab＝4a＋b－1.
∴（a＋1）（b＋2）＝ab＋2a＋b＋2＝6a＋2b＋1
＝6a＋·2＋1
＝6a＋＋1
＝6a＋8＋＋1
＝6（a－1）＋＋15.
∵a＞1，∴a－1＞0.
∴原式＝6（a－1）＋＋15≥2＋15＝27.
当且仅当（a－1）2＝1，即a＝2时等号成立．
∴最小值为27.
答案：
27
9．（2013·聊城质检）经观测，某公路段在某时段内的车流量y（千辆/小时）与汽车的平均速度v（千米/小时）之间有函数关系：
y＝（v＞0），在该时段内，当车流量y最大时，汽车的平均速度v＝__________千米/小时．
解析：
∵v＞0，
∴y＝≤＝≈11.08，
当且仅当v＝，即v＝40千米/小时时取等号.
答案：
40
三、解答题
10．已知x＞0，y＞0，z＞0，且x＋y＋z＝1.
求证：
＋＋≥36.
解析：
∵x＞0，y＞0，z＞0，且x＋y＋z＝1，
∴＋＋＝（x＋y＋z）＝14＋＋＋≥14＋2＋2＋2·＝14＋4＋6＋12＝36.
当且仅当x2＝y2＝z2，
即x＝，y＝，z＝时等号成立．
∴＋＋≥36.
11．某学校拟建一块周长为400m的操场如图所示，操场的两头是半圆形，中间区域是矩形，学生做操一般安排在矩形区域，为了能让学生的做操区域尽可能大，试问如何设计矩形的长和宽．
解析：
设中间矩形区域的长，宽分别为xm，ym，
中间的矩形区域面积为Sm2，
则半圆的周长为m.
∵操场周长为400m，所以2x＋2×＝400，
即2x＋πy＝400（0＜x＜200,0＜y＜）．
∴S＝xy＝·（2x）·（πy）≤·2＝.
由解得
∴当且仅当时等号成立．
即把矩形的长和宽分别设计为100m和m时，矩形区域面积最大．
12．已知x，y都是正实数，且x＋y－3xy＋5＝0.
（1）求xy的最小值；
（2）求x＋y的最小值．
解析：
（1）由x＋y－3xy＋5＝0，得x＋y＋5＝3xy.
∴2＋5≤x＋y＋5＝3xy.
∴3xy－2－5≥0.
∴（＋1）（3－5）≥0.
∴≥，即xy≥，等号成立的条件是x＝y.
此时x＝y＝，故xy的最小值是.
（2）方法一：
∵x＋y＋5＝3xy≤3·2＝（x＋y）2，
∴（x＋y）2－（x＋y）－5≥0.
即3（x＋y）2－4（x＋y）－20≥0.
即[（x＋y）＋2][3（x＋y）－10]≥0.
∴x＋y≥.
等号成立的条件是x＝y，即x＝y＝时取得．
故x＋y的最小值为.
方法二：
由
（1）知，x＋y＋5＝3xy，且（xy）min＝，
∴3（xy）min＝.
∴（x＋y）min＝－5＝，此时x＝y＝.
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