高中数学新学案同步 必修3北师大版 第二章 算法初步1Word文件下载.docx
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答案 ①②③
解析 由于算法要求必须在有限步骤内求解某类问题,所以并不是任何问题都可以用算法解决,例如求1+
+
+…+
+…,故④不正确.
(2)给出下列叙述:
①发电子邮件:
先打开电子信箱,点击写邮件,输入发送地址,输入信件内容,然后点击发送;
②解一元二次方程的步骤是去分母、去括号、移项、合并同类项,求解;
③方程x2-1=0有两个根;
④求1+2+3+4的值,先算1+2=3,再计算3+3=6,6+4=10,最终结果为10.
其中是算法的是________.(写出所有是算法的序号)
答案 ①②④
解析 算法强调的是解决一类问题的方法和步骤,③只陈述了有两个根的事实,没有解决如何求两个根的问题,所以不能看成算法.
反思与感悟 判断算法的关注点
(1)明确算法的含义及算法的特征.
(2)判断一个问题是否有算法,关键看是否有解决某一类问题的程序或步骤,这些程序或步骤必须是明确和有效的,而且能够在有限步骤之内完成.
(3)算法实际上是一种程序方法,在利用算法解决问题时,体现了特殊与一般的数学思想.
跟踪训练1 给出以下叙述:
①过河要走桥;
②老师提问说不会;
③做米饭需刷锅、淘米、添水、加热这些步骤;
④学习要预习、听讲、质疑、练习巩固等步骤.
其中能称为算法的是( )
A.①②B.②③C.③④D.①④
答案 C
解析 ①②不能称为算法,根据算法的含义知③④正确.
类型二 算法设计
例2 设计一个算法,求840与1764的最大公因数.
解 算法步骤如下:
1.先将840进行素因数分解:
840=23×
3×
5×
7;
2.然后将1764进行素因数分解:
1764=22×
32×
72;
3.确定它们的公共素因数:
2,3,7;
4.确定公共素因数的指数:
公共素因数2,3,7的指数分别为2,1,1;
5.最大公因数为22×
31×
71=84.
反思与感悟 设计一个具体问题的算法,通常按以下步骤:
(1)认真分析问题,找出解决此题的一般数学方法.
(2)借助有关变量或参数对算法加以表述.
(3)将解决问题的过程划分为若干步骤.
(4)用简练的语言将这个步骤表示出来.
跟踪训练2 设计一个算法,求98与63的最大公因数.
1.先将98进行素因数分解:
98=2×
2.然后将63进行素因数分解:
63=32×
公共素因数的指数是1;
5.最大公因数为7.
类型三 选择性执行问题的算法
例3 某铁路部门规定甲、乙两地之间旅客托运行李的费用c=
其中ω(单位:
kg)为行李的质量,
如何设计计算托运费用c(单位:
元)的算法.
1.输入行李的质量ω;
2.如果ω≤50,则令c=0.53×
ω后执行第4步,否则执行第3步;
3.c=50×
0.53+(ω-50)×
0.85;
4.输出托运费用c.
反思与感悟 解决选择性问题的算法的步骤
(1)输入自变量的值;
(2)对自变量的范围进行判断,选择对应的解析式,求函数值;
(3)输出函数值.
跟踪训练3 已知函数y=
写出给定自变量x求函数值的一个算法.
1.输入x;
2.若x>
0,则令y=-x+1后执行第5步,否则执行第3步;
3.若x=0,则令y=0后执行第5步,否则执行第4步;
4.令y=x+1;
5.输出y的值.
1.下列关于算法的说法,正确的个数为( )
①求解某一类问题的算法是唯一的;
②算法必须在有限步操作之后停止;
③算法的每一步操作必须是明确的,不能有歧义或模糊;
④算法执行后一定产生确定的结果.
A.1B.2C.3D.4
解析 由于算法具有有穷性、确定性、输出性等特点,所以②③④正确,而解决某类问题的算法不一定唯一,所以①错误.
2.下列四种自然语言叙述中,能称为算法的是( )
A.在家里一般是妈妈做饭
B.买衣服需要选衣服、试衣服、试衣服、付款这些步骤
C.在野外做饭叫野炊
D.做饭必须要有米
答案 B
解析 算法是做一件事情或解决一个问题等的程序或步骤,故选B.
3.已知一个算法:
(1)给出三个数x,y,z;
(2)计算M=x+y+z;
(3)计算N=
M;
(4)得出每次计算的结果.
则上述算法是( )
A.求和B.求余数
C.求平均数D.先求和再求平均数
答案 D
解析 由算法过程可知,M为三数之和,N为这三数的平均数,故选D.
4.看下面的四段话,其中不是解决问题的算法是________.
(1)从济南到北京旅游,先坐火车,再坐飞机抵达;
(2)解一元一次方程的步骤是去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1;
(3)方程x2-1=0有两个实根;
(4)求1+2+3+4+5的值,先计算1+2=3,再计算3+3=6,6+4=10,10+5=15,最终结果为15.
答案 (3)
解析 由于(3)不是解决某一类问题的步骤,故(3)不是解决问题的算法.
5.已知直角三角形两直角边长为a,b,求斜边长c的一个算法分下列三步:
(1)计算c=
;
(2)输入直角三角形两直角边长a,b的值;
(3)输出斜边长c的值.
其中正确的顺序是________.
答案
(2)
(1)(3)
解析 算法的步骤是有先后顺序的,第一步是输入,最后一步是输出,中间的步骤是赋值、计算.
算法是建立在解法基础上的操作过程,算法不一定要有运算结果,答案可以由计算机解决,算法没有一个固定的模式,但有以下几个基本要求:
(1)符合运算规则,计算机能操作;
(2)每个步骤都有一个明确的计算任务;
(3)对重复操作步骤返回处理;
(4)步骤个数尽可能少;
(5)每个步骤的语言描述要准确、简明.
一、选择题
1.下列可以看成算法的是( )
A.学习数学时,课前预习,课上认真听讲并记好笔记,课下先复习再做作业,之后做适当的练习题
B.今天餐厅的饭真好吃
C.这道数学题难做
D.方程2x2-x+1=0无实数根
答案 A
解析 A是学习数学的一个步骤,所以是算法.
2.下列关于算法的描述正确的是( )
A.算法与求解一个问题的方法相同
B.算法只能解决一个问题,不能重复使用
C.算法过程要一步一步执行,每步执行的操作必须确切
D.有的算法执行完后,可能无结果
解析 算法与求解一个问题的方法既有区别又有联系,故A不对;
算法能重复使用,故B不对;
每个算法执行后必须有结果,故D不对;
由算法的有序性和确定性可知C正确.
3.我们已学过的算法有求解一元二次方程的求根公式,加减消元法求二元一次方程组的解,二分法求出函数的零点等,对算法的描述有①对一类问题都有效;
②算法可执行的步骤必须是有限的;
③算法可以一步一步地进行,每一步都有确切的含义;
④是一种通法,只要按部就班地做,总能得到结果.以上算法的描述正确的有( )
A.1个B.2个
C.3个D.4个
解析 由算法的概念可知①②③④都正确,故选D.
4.计算下列各式中S的值,能设计算法求解的是( )
①S=
②S=
+…;
③S=
(n≥1且n∈N+).
A.①②B.①③C.②③D.①②③
解析 因为算法的步骤是有限的,所以②不能设计算法求解.
5.关于一元二次方程x2-5x+6=0的求根问题,下列说法正确的是( )
A.只能设计一种算法
B.可以设计两种算法
C.不能设计算法
D.不能根据解题过程设计算法
解析 算法具有不唯一性,对于一个问题,我们可以设计不同的算法.
6.对于算法:
(1)输入n;
(2)判断n是否等于2,若n=2,则n满足条件;
若n>
2,则执行第(3)步;
(3)依次从2到(n-1)检验能不能整除n,若不能整除n,则执行第(4)步;
若能整除n,则执行第
(1)步;
(4)输出n.
满足条件的n是( )
A.质数B.奇数
C.偶数D.约数
解析 此题首先要理解质数,只能被1和自身整除的大于1的整数叫质数.2是最小的质数,这个算法通过对2到(n-1)一一验证,看是否有其他约数,来判断其是否为质数.
7.早上从起床到出门需要洗脸刷牙(5min)、刷水壶(2min)、烧水(8min)、泡面(3min)、吃饭(10min)、听广播(8min)几个过程.下列选项中最好的一种算法是( )
A.第一步,洗脸刷牙.第二步,刷水壶.第三步,烧水.第四步,泡面.第五步,吃饭.第六步,听广播
B.第一步,刷水壶.第二步,烧水同时洗脸刷牙.第三步,泡面.第四步,吃饭.第五步,听广播
C.第一步,刷水壶.第二步,烧水同时洗脸刷牙.第三步,泡面.第四步,吃饭同时听广播
D.第一步,吃饭同时听广播.第二步,泡面.第三步,烧水同时洗脸刷牙.第四步,刷水壶
考点 算法的设计与应用
题点 应用问题的算法设计
解析 最好算法的标准是方便、省时、省力.
A中共需5+2+8+3+10+8=36(min),
B中共需2+8+3+10+8=31(min),
C中共需2+8+3+10=23(min),
D中共需10+3+8+2=23(min),但算法步骤不合理,最好的算法为C.
8.一个算法步骤如下:
(1)S取值0,i取值1.
(2)若i≤9,则执行第(3)步;
否则,执行第(6)步.
(3)计算S+i并用结果代替S.
(4)用i+2的值代替i.
(5)转去执行第
(2)步.
(6)输出S.
运行以上算法,则输出的结果S等于( )
A.16B.25
C.36D.以上均不对
题点 循环型算法设计
解析 解本题关键是读懂算法,本题中的算法功能是求S=1+3+5+7+9=25.
9.结合下面的算法:
(1)输入x.
(2)判断x是否小于0,若是,则输出x+2,否则执行第(3)步.
(3)输出x-1.
当输入的x的值为-1,0,1时,输出的结果分别为( )
A.-1,0,1B.-1,1,0
C.1,-1,0D.0,-1,1
考点 算法的概念
题点 算法功能的判断与结果的求解
解析 依据算法可知,当x=-1时,满足x<
0,则输出x+2=-1+2=1;
当x=0时,不满足x<
0,则输出x-1=0-1=-1;
当x=1时,不满足x<
0,则输出x-1=1-1=0.故选C.
二、填空题
10.已知直角三角形两条直角边长分别为a,b(a>
b).写出求最大锐角θ的余弦值的算法如下:
(1)输入两直角边长a,b的值;
(2)计算c=
的值;
(3)________________;
(4)输出cosθ.
将算法补充完整,横线处应填____________.
答案 计算cosθ=
11.下面给出了解决问题的算法:
(1)输入x;
(2)若x≤1,则y=2x-1,否则y=x2+3;
(3)输出y.
则这个算法解决的问题是________;
当输入的x值为________时,输入值与输出值相等.
答案 求分段函数y=
的函数值 1
12.给出下列算法:
(1)输入x的值;
(2)当x>4时,计算y=x+2;
否则执行下一步;
(3)计算y=
(4)输出y.
当输入x=0时,输出y=________.
答案 2
解析 0<4,执行第三步,y=
=2.
三、解答题
13.某商场举办优惠促销活动.若购物金额在800元以上(不含800元),打7折;
若购物金额在400元以上(不含400元),800元以下(含800元),打8折;
否则,不打折.请为商场收银员设计一个算法,要求输入购物金额x,输出实际交款额y.
1.输入购物金额x(x>
0).
2.判断“x>
800”是否成立,若成立,则y=0.7x,转第4步;
否则,执行第3步.
3.判断“x>
400”是否成立,若成立,则y=0.8x,转第4步;
否则,y=x.
4.输出y,结束算法.
四、探究与拓展
14.如图所示,汉诺塔问题是指有3根杆子A,B,C,杆子上有若干碟子,把所有的碟子从B杆移动到A杆上,每次只能移动一个碟子,大的碟子不能叠在小的碟子上面.把B杆上的3个碟子全部移动到A杆上,最少需要移动的次数是________.
答案 7
解析 直接进行分析,将最小的碟子命名为①,中间的碟子命名为②,最大的碟子命名为③,进行如下移动:
①→A,②→C,①→C,③→A,①→B,②→A,①→A,此时按要求全部放好,移动7次.
15.鸡兔同笼问题:
鸡和兔各若干只,数腿共100条,数头共30个,试设计一个算法,求出鸡和兔各有多少只.
1.设有x只鸡,y只兔,列方程组
2.②÷
2+①×
(-1),得y=20.
3.把y=20代入x=30-y,得x=10.
4.得到方程组的解
5.输出结果,鸡10只,兔20只.