立体几何复习专题.docx

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立体几何复习专题

专题:

空间角

一、基础梳理

1.两条异面直线所成的角

（1）异面直线所成的角的范围：

。

（2）异面直线垂直：

如果两条异面直线所成的角是直角，则叫两条异面直线垂直。

两条异面直线垂直，记作。

（3）求异面直线所成的角的方法：

（1）通过平移，在一条直线上（或空间）找一点，过该点作另一（或两条）直线的平行线；

（2）找出与一条直线平行且与另一条相交的直线，那么这两条相交直线所成的角即为所求。

平移技巧有：

平行四边形对边平移、三角形中位线平移、补形平移技巧等。

1：

三棱柱，平面⊥平面OAB，

，且

，求异面直线与所成角的余弦。

2．直线和平面所成的角（简称“线面角”）

（1）定义：

平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线和这个平面所成的角。

一直线垂直于平面，所成的角是直角；一直线平行于平面或在平面内，所成角为0角。

直线和平面所成角范围：

0，。

（2）最小角定理：

斜线和平面所成角是这条斜线和平面内

经过斜足的直线所成的一切角中最小的角。

（3）公式：

已知平面的斜线a与内一直线b相交成θ角，

且a与相交成1角，a在上的射影c与b相交成2角，

则有。

由（3）中的公式同样可以得到：

平面的斜线和它在平面

内的射影所成角，是这条斜线和这个平面内的任一条直

线所成角中最小的角。

考点二：

直线和平面所成的角

例2.如图，在三棱柱中，四

边形是菱形，四边形是矩形，

，

求与平面所成角的正切。

3：

（1）在的二面角的两个面与内分别有两点，已知点和点到棱的距离分别为，且线段。

求：

①直线和棱所成角的正弦值；②直线和平面所成角的正弦值。

（2）（08全国Ⅰ11）已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等，在底面内的射影为的中心，则与底面所成角的正弦值等于（）

A．B．C．D．

（3）如图，在矩形中，，沿对角线将折起，使点移到点，且点在平面上的射影恰在上。

求直线与平面所成角的大小。

（4）①为平面的斜线，则平面内过

点的直线与所成的最小角为_____________，

最大角为__________________。

平面内过点的

直线与所成角的范围为_______________。

②与平面内不过点的直线所成的角的范围

为_______________________。

③直线与平面所成的角为，直线与所成角为，则与平面所成角的取值范围是______________________。

④设直线平面，过平面外一点与都成角的直线有且只有

（）

（Ａ）１条　　（Ｂ）２条　　（Ｃ）３条　　（Ｄ）４条

⑤过正方体的顶点作截面，使正方体的12条棱所在直线与截面所成的角皆相等。

试写出满足条件的一个截面________________________（注：

只须任意写出一个），并证明。

3．二面角

（1）二面角的概念：

平面内的一条直线把平面分为两个部分，其中的每一部分叫做半平面；从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面。

若棱为，两个面分别为的二面角记为。

（2）二面角的平面角：

过二面角的棱上的一点分别在两个半平面内

作棱的两条垂线，则叫做二面角

的平面角。

说明：

①二面角的平面角范围是，因此二面

角有锐二面角、直二面角与钝二面角之分。

②二面角的平面角为直角时，则称为直二面角，

组成直二面角的两个平面互相垂直。

（3）二面角的求法：

（4）

（一）直接法：

作二面角的平面角的作法：

①定义法；②棱的垂面法；③三垂线定理或逆定理法；（注意一些常见模型的二面角的平面角的作法）

（二）间接法：

面积射影定理的方法。

（4）面积射影定理：

面积射影定理：

已知的边在平面内，顶点。

设的面积为，它在平面内的射影面积为，且平面与所在平面所成的二面角为，则

。

注：

①面积射影定理反映了斜面面积、射影面积

和这两个平面所成二面角的平面角间的关系；

可以推广到任意的多边形。

②在二面角的平面角不易作时，经常采用

“面积射影定理法”。

例3．如图，在四棱锥中，底面为

正方形，侧棱底面分别为的中点。

（1）证明平面；

（2）设，求二面角的大小。

如图所示，在直三棱柱中，

，为侧棱上一点，

。

（1）求证：

；

（2）求二面角的大小；

（3）求点到平面的距离。

C

D

E

A

B

四棱锥中，底面为矩形，侧面底面，，，。

①证明：

；

②设与平面所成的角为，求二面角的大小。

为直角梯形所在平面外一点

面，，求平面与平面

所成二面角的大小。

等边三角形与正方形有一公共边，二面角的余弦值为，分别是的中点，则所成角的余弦值等于。

例4．如图所示，已知平行六面体

的底面

是矩形，且侧面底面

，

、分别是、的中点，

是的中点，，

侧棱与底面成的角。

（1）求证：

底面；

（2）求二面角的大小；

（3）求与平面所成角的大小。

1．

（1）已知正三棱柱ABC—A1B1C1中，A1B⊥CB1，则

A1B与AC1所成的角为（　　　）

（A）450（B）600

（C）900（D）1200

（2）（08全国Ⅱ10）已知正四棱锥的侧棱长与底面边长都相等，是的中点，则所成的角的余弦值为（）

A．B．C．D．

（3）的斜边在平面内，顶点在外，在平面内的射影是，则的范围是________________。

（4）从平面外一点向平面引垂线和斜线，为垂足，为斜足，射线，这时为钝角，设，则（）

A.B.C.D.的大小关系不确定

（5）相交成60°的两条直线与一个平面所成的角都是45°，那么这两条直线在平面内的

射影所成的角是（）

A．30°B．45°C．60°D．90°

（6）一条与平面相交的线段，其长度为10cm，两端点到平面的距离分别是2cm，3cm，这条线

段与平面所成的角是；若一条线段与平面不相交，两端点到平面的距离分别是2cm，3cm，则线段所在直线与平面所成的角是。

（7）PA、PB、PC是从P点引出的三条射线，每两条夹角都是60°，那么直线PC与平面PAB

所成角的余弦值是（）

A．B．C．D．

（8）如图，在正方体中，

分别是上的点，若，

那么的大小是（）

A.大于B.小于

C.D.不能确定

（9）已知所在平面于点，且到三点等距离，若中，有

，则点（）

A.必在的某一边上B.必在外部（不含边界）

C.必在内部（不含边界）D.以上都不对

（10）如果直角三角形的斜边与平面平行，两条直角边所在直线与平面所成的角分别为

，则（）

A．B．

C．D．

（11）如图，

到的距离分别是和，与所成的角分别

是和，在内的射影分别是和，若，

则（）

A．B．

C．D．

（12）与正方形各面成相等的角且过正方体三个顶点的截面的个数是________。

2.已知直三棱柱为上一点，。

（1）若为的中点，为上不同于的任意一点，证明：

；

（2）若，求与平面所成角的正弦值。

3.已知直角三角形的两直角边，为斜边上的一点，现沿将折起，使点到点，且在面内的射影在上。

当时，求二面角

的大小。

4．如图正三棱柱中，底面边长为，侧棱

长为，若经过对角线且与对角线平行的平

\面交上底面于。

（1）试确定点的位置，并证明你

的结论；

（2）求平面与侧面所成的角及平面

与底面所成的角；（3）求到平面的距离。

5．如图,在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝2，DC＝2，AA1＝，AD⊥DC，AC⊥BD,垂足为E。

（I）求证：

BD⊥A1C；

（）求二面角A1－BD－C1的大小；

（）求异面直线AD与BC1所成角的大小。

6.如图，平面平面，四边形与都是直角梯形，，，。

（Ⅰ）证明：

四点共面；

（Ⅱ）设，求二面角的大小。

7．（08江西20）如图，正三棱锥的三条侧棱两两垂直，且长度均为

2。

分别是的中点，H是的中点，过的一个平面与侧棱或其延长线分别相交于，已知。

（1）证明：

平面；

（2）求二面角的大小。

8．如图，已知平行六面体的底面为正方形，、分别为上、下底面的中心，且在底面上的射影是。

（1）求证：

平面平面；

（2）若点分别在棱上，且，问点在何处时，

（3）若，求二面角的大小（用反三角函数表示）。

9．如图，正四棱柱，侧棱长为3，底面边长为2，是棱的中点。

（1）求证：

平面；

（2）求二面角的大小；

（3）在侧棱上是否存在点，使得平面证明你的结论。

10.如图，已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，,E，F分别是BC,PC的中点。

（Ⅰ）证明：

AE⊥PD；

（Ⅱ）若H为PD上的动点，EH与平面PAD所成最大角的正切值为，求二面角E—AF—C的余弦值。