初中数学基本几何图形.docx

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初中数学基本几何图形

初中数学基本几何图形

这篇帖子是关于几何基本图形的。

每一个几何压轴题，几乎都是由几个基本图形构成的，所以如果能把这些图形用熟，做几何题应该不成问题。

1、正方形与等腰直角三角形

正方形ABCD，EF为过正方形点B的直线且AE⊥EF，CF⊥EF，则有△AEB≌△BFC。

将上图进行转换，则该基本图形存在于等腰三角形中，可利用此图证明勾股定理：

令AD=BE=a，DB=CE=b，AB=BC=c，S△ABC=c2=（a+b）2-ab；化简得到：

c2=a2+b2

2、梯形中位线

梯形ABCD中，AD∥BC，E、F分别为AB、DC中点，则有EF=（AD+BC）

结合1、2有一道经典题目，在此奉上。

△ABC，分别以AB、AC为边向外做正方形ABFG、ACDE，连接FD，取FD中点H，作HI⊥BC，证明：

HI=BC

提示:

先证明BC等于梯形上下底边之和

【变形题1】

如图1，以△ABC的边AB、AC为边向内作正方形ABFG和正方形ACDE，M是DF的中点，N是BC的中点，连接MN．探究线段MN与BC之间的关系，并加以证明．

说明：

如果你经过反复探索没有解决问题，可以从下面①、②中选取一种情况完成你的证明，选取①比原题少得6分，选取②比原题少得8分．

①如图2，将正方形ACDE绕点A旋转，使点C、E分别落在AG、AB上；

②如图3，将正方形ACDE绕点A旋转，使点B、A、C在一条直线．

答案：

解：

BC⊥MN．

证明：

连接CM，然后延长CM至H，使CM=MH，连接FH、BH、CM、BM，HG、CG，延长CD，与BF相交于I，

∵MF=MD，CM=HM，∠CMD=∠HMF，

∴△CMD≌△HMF，

∴AC=HF=CD，

∴∠HFG=180°-∠GHF-∠HGF，

∴∠HGF=∠DCM，∠GHF=∠IGC，

∠BIC=∠IGC+∠DCM，

∵∠BAC=360°-∠ABI-∠ACI-∠BIC=180°-∠BIC=180°-∠IGC-∠DCM=180°-∠GHF-∠HGF=∠HFB，

∴△ABC≌△FBH，

∵四边形ABIC中∠ABI=∠ACI=90°，

∴∠HBF=∠ABC，

∵∠CBH=∠HBF+∠CBF=∠ABC+∠CBF=90°，

∴BC⊥BH，

∵N是BC中点，M是HC中点，

∴MN∥BH，

∴BC⊥MN．

分析：

延长CM至H，使CM=MH，连接FH、BH、CM、BM，延长CD，与BF相交于I，根据MF=MD，CM=HM，∠CMD=∠HMF，可以证明∠BAC=∠HFB，即可证明△ABC≌△FBH，于是证明得∠CBH=∠HBF+∠CBF=∠ABC+∠CBF=90°，故知BC⊥BH，又因为N是BC中点，M是HC中点，可得MN‖BH，于是证明出BC⊥MN．

【变形题2】

如图

（1），在Rt△ABC,∠ACB=90°,分别以AB、BC为一边向外作正方形ABFG、BCED，连结AD、CF，AD与CF交于点M。

（1）求证：

△ABD≌△FBC；

（2）如图

（2），已知AD=6，求四边形AFDC的面积；

（3）在△ABC中，设BC＝a，AC＝b，AB＝c，当∠ACB≠90°时，c2≠a2 ＋b2。

在任意△ABC中，c2＝a2 ＋b2＋k。

就a＝3，b＝2的情形，探究k的取值范围（只需写出你得到的结论即可）。

【变形题3】

已知：

如图所示，从Rt△ABC的两直角边AB，AC向外作正方形ABFG及ACDE，CF，BD分别交AB，AC于P，Q.求证：

AP=AQ

.

3、角平分线出等腰。

AD平分∠BAC，且BD∥AC，则BA=BD，此图形常出现于菱形中，若有AB=AC，则连接CD后有菱形BACD。

补充一句，上一图可用于证明角分线定理。

4、双垂图。

5、一线三等角相似

AB=AC，∠ADE=∠B，则△ABD∽△DCE

6、正方形中两垂直线段。

正方形ABCD中，AF⊥DE，则有AF=DE；平移AF、DE进行推广，在正方形ABCD中，MN⊥PQ，则有MN=PQ

7、直角三角形斜边中线。

AB⊥AC，D为BC中点，则AD=BD=CD，该图可从矩形中挖出，也可从圆中找到图形。

8、直角三角形共圆

9、等腰三角形线段关系

11、常见旋转型2。

12、常见旋转型3

13、四边形共圆

四边形共圆2

一道经典例题

一线三角模型的特殊形式。

补充：

一线三角相等模型中，∠B=∠C=∠ADE=n°，则∠ADB+∠EDC=180-n°，∠DEC+∠EDC=180-n°所以，∠ADB=∠DEC，又因为∠B=∠C，所以△ADB相似于△DEC，所以AD/DE=BD/CE。

当点D为中点时，BD=DC，则AD/DE=DC/CE，又因为∠C=∠ADE，所以△ADE相似于△DEC。

证毕

双等边三角形（正方形）模型

上一楼图形的性质

性质1：

通过证全等可知左图中，BD=AE，右图中，BE=DF

性质2：

证全等后，做双高可知左图中，CF平分∠BFE，右图中，CH平分∠BHF

性质3：

左图中，BD和AE相交所构成的其中的一个角为60°，右图中，BE和DF垂直，当扩展到正n边形时，两线相交所构成的其中的一个角等于这个正n边形的各个内角。

北京中考经典好题。