排列组合方法大全Word格式.docx

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分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件．

解决排列组合综合性问题的一般过程如下:

1.认真审题弄清要做什么事

2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。

3.确定每一步或每一类是排列问题（有序）还是组合（无序）问题,元素总数是多少及取出多少个元素.

4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必

坐共有

种方法，其余的三个位置甲乙丙共有1种坐法，则共有

种方法。

思考:

可以先让甲乙丙就坐吗?

（插入法）先排甲乙丙三个人,共有1种排法,再把其余4四人依次插入共有方法

定序问题可以用倍缩法，还可转化为占位插

空模型处理

练习题:

10人身高各不相等,排成前后排，每排5人,要求从左至右身高逐渐增加，共有多少排法？

五.重排问题求幂策略

例5.把6名实习生分配到7个车间实习,共有多少种不同的分法

解:

完成此事共分六步:

把第一名实习生分配到车间有7种分法.把第二名实习生分配到车间也有7种分依此类推,由分步计数原理共有

种不同的排法

允许重复的排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不受位置的约束，可以逐一安排各个元素的位置，一般地n不同的元素没有限制地安排在m个位置上的排列数为种

练习题：

1．某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为42

2.某8层大楼一楼电梯上来8名乘客人,他们到各自的一层下电梯,下电梯的方法

六.环排问题线排策略

例6.8人围桌而坐,共有多少种坐法?

解：

围桌而坐与坐成一排的不同点在于，坐成圆形没有首尾之分，所以固定一人

并从此位置把圆形展成直线其余7人共有（8-1）！

种排法即

！

一般地,n个不同元素作圆形排列,共有（n-1）!

种排法.如果从n个不同元素中取出m个元素作圆形排列共有

6颗颜色不同的钻石，可穿成几种钻石圈120

七.多排问题直排策略

例7.8人排成前后两排,每排4人,其中甲乙在前排,丙在后排,共有多少排法

8人排前后两排,相当于8人坐8把椅子,可以把椅子排成一排.个特殊元素有

种,再排后4个位置上的特殊元素丙有

种,其余的5人在5个位置上任意排列有

种,则共有

种

一般地,元素分成多排的排列问题,可归结为一排考虑,再分段研究.

有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座规定前排中间的3个座位不能坐，并且这2人不左右相邻，那么不同排法的种数是346

八.排列组合混合问题先选后排策略

例8.有5个不同的小球,装入4个不同的盒内,每盒至少装一个球,共有多少不同的装法.

第一步从5个球中选出2个组成复合元共有

种方法.再把4个元素（包含一个复合元素）装入4个不同的盒内有

种方法，根据分步计数原理装球的方法共有

解决排列组合混合问题,先选后排是最基本的指导思想.此法与相邻元素捆绑策略相似吗?

一个班有6名战士,其中正副班长各1人现从中选4人完成四种不同的任务,每人完成一种任务,且正副班长有且只有1人参加,则不同的选法有192种

九.小集团问题先整体后局部策略

例9.用1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数其中恰有两个偶数夹1,５在两个奇数之间,这样的五位数有多少个？

把１,５,２,４当作一个小集团与３排队共有

种排法，再排小集团内部共有

种排法，由分步计数原理共有

种排法.

小集团排列问题中，先整体后局部，再结合其它策略进行处理。

１.计划展出10幅不同的画,其中1幅水彩画,４幅油画,５幅国画,排成一行陈列,要求同一　品种的必须连在一起，并且水彩画不在两端，那么共有陈列方式的种数为

2.5男生和５女生站成一排照像,男生相邻,女生也相邻的排法有

十.元素相同问题隔板策略

例10.有10个运动员名额，分给7个班，每班至少一个,有多少种分配方案？

解：

因为10个名额没有差别，把它们排成一排。

相邻名额之间形成９个空隙。

在９个空档中选６个位置插个隔板，可把名额分成７份，对应地分给７个班级，每一种插板方法对应一种分法共有

种分法。

将n个相同的元素分成m份（n，m为正整数）,每份至少一个元素,可以用m-1块隔板，插入n个元素排成一排的n-1个空隙中，所有分法数为

1．10个相同的球装5个盒中,每盒至少一有多少装法？

2.

求这个方程组的自然数解的组数

十一.正难则反总体淘汰策略

例11.从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这十个数字中取出三个数，使其和为不小于10的偶数,不同的

取法有多少种？

这问题中如果直接求不小于10的偶数很困难,可用总体淘汰法。

这十个数字中有5个偶数5个奇数,所取的三个数含有3个偶数的取法有

只含有1个偶数的取法有

和为偶数的取法共有

。

再淘汰和小于10的偶数共9种，符合条件的取法共有

有些排列组合问题,正面直接考虑比较复杂,而它的反面往往比较简捷,可以先求出它的反面,再从整体中淘汰.

我们班里有43位同学,从中任抽5人,正、副班长、团支部书记至少有一人在内的

抽法有多少种?

十二.平均分组问题除法策略

例12.6本不同的书平均分成3堆,每堆2本共有多少分法？

解:

分三步取书得

种方法,但这里出现重复计数的现象,不妨记6本书为ABCDEF，若第一步取AB,第二步取CD,第三步取EF该分法记为（AB,CD,EF）,则

中还有（AB,EF,CD）,（CD,AB,EF）,（CD,EF,AB）（EF,CD,AB）,（EF,AB,CD）共有

种取法,而这些分法仅是（AB,CD,EF）一种分法,故共有

平均分成的组,不管它们的顺序如何,都是一种情况,所以分组后要一定要除以（为均分的组数）避免重复计数。

1将13个球队分成3组,一组5个队,其它两组4个队,有多少分法？

（

）

2.10名学生分成3组,其中一组4人,另两组3人但正副班长不能分在同一组,有多少种不同的

分组方法（1540）

3.某校高二年级共有六个班级，现从外地转入4名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安

排2名，则不同的安排方案种数为______（

十三.合理分类与分步策略

例13.在一次演唱会上共10名演员,其中8人能能唱歌,5人会跳舞,现要演出一个2人唱歌2人伴舞的节目,有多少选派方法

10演员中有5人只会唱歌，2人只会跳舞3人为全能演员。

选上唱歌人员为标准进行研究

只会唱的5人中没有人选上唱歌人员共有

种,只会唱的5人中只有1人选上唱歌人员

种,只会唱的5人中只有2人选上唱歌人员有

种，由分类计数原理共有

种。

解含有约束条件的排列组合问题，可按元素的性质进行分类，按事件发生的连续过程分步，做到标准明确。

分步层次清楚，不重不漏，分类标准一旦确定要贯穿于解题过程的始终。

1.从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有34

2.3成人2小孩乘船游玩,1号船最多乘3人,2号船最多乘2人,3号船只能乘1人,他们任选2只船或3只船,但小孩不能单独乘一只船,这3人共有多少乘船方法.（27）

本题还有如下分类标准：

*以3个全能演员是否选上唱歌人员为标准

*以3个全能演员是否选上跳舞人员为标准

*以只会跳舞的2人是否选上跳舞人员为标准

都可经得到正确结果

十四.构造模型策略

例14.马路上有编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9的九只路灯,现要关掉其中的3盏,但不能关掉相邻的2盏或3盏,也不能关掉两端的2盏,求满足条件的关灯方法有多少种？

把此问题当作一个排队模型在6盏亮灯的5个空隙中插入3个不亮的灯有

种

一些不易理解的排列组合题如果能转化为非常熟悉的模型，如占位填空模型，排队模型，装盒模型等，可使问题直观解决

某排共有10个座位，若4人就坐，每人左右两边都有空位，那么不同的坐法有多少种？

（120）

十五.实际操作穷举策略

例15.设有编号1,2,3,4,5的五个球和编号1,2,3,4,5的五个盒子,现将5个球投入这五个盒子内,要求每个盒子放一个球，并且恰好有两个球的编号与盒子的编号相同,有多少投法

从5个球中取出2个与盒子对号有

种还剩下3球3盒序号不能对应，利用实际操作法，如果剩下3,4,5号球,3,4,5号盒3号球装4号盒时，则4,5号球有只有1种装法，同理3号球装5号盒时,4,5号球有也只有1种装法,由分步计数原理有

种

3号盒4号盒5号盒

1.同一寝室4人,每人写一张贺年卡集中起来,然后每人各拿一张别人的贺年卡，则四张贺年卡不同的分配方式有多少种？

（9）

2.给图中区域涂色,要求相邻区域不同色,现有4种可选颜色,则不同的着色方法有72种

十六.分解与合成策略

例16.30030能被多少个不同的偶数整除

分析：

先把30030分解成质因数的乘积形式30030=2×

3×

5×

7×

11×

13

依题意可知偶因数必先取2,再从其余5个因数中任取若干个组成乘积，

所有的偶因数为：

练习:

正方体的8个顶点可连成多少对异面直线

我们先从8个顶点中任取4个顶点构成四体共有体共

每个四面体有

分解与合成策略是排列组合问题的一种最基本的解题策略,把一个复杂问题分解成几个小问题逐一解决,然后依据问题分解后的结构,用分类计数原理和分步计数原理将问题合成,从而得到问题的答案,每个比较复杂的问题都要用到这种解题策略

3对异面直线,正方体中的8个顶点可连成

对异面直线

十七.化归策略

例17.25人排成5×

5方阵,现从中选3人,要求3人不在同一行也不在同一列,不同的选法有多少种？

将这个问题退化成9人排成3×

3方阵,现从中选3人,要求3人不在同一行也不在同一列,有多少选法.这样每行必有1人从其中的一行中选取1人后,把这人所在的行列都划掉，如此继续下去.从3×

3方队中选3人的方法有

再从5×

5方阵选出3×

3方阵便可解决问题.从5×

5方队中选取3行3列有

选法所以从5×

5方阵选不在同一行也不在同一列的3人有

选法。

处理复杂的排列组合问题时可以把一个问题退化成一个简要的问题，通过解决这个简要的问题的解决找到解题方法，从而进下一步解决原来的问题

某城市的街区由12个全等的矩形区组成其中实线表示马路，从A走到B的最短路径有多少种？

十八.数字排序问题查字典策略

例18．由0，1，2，3，4，5六个数字可以组成多少个没有重复的比324105大的数？

数字排序问题可用查字典法,查字典的法应从高位向低位查,依次求出其符合要求的个数,根据分类计数原理求出其总数。

用0,1,2,3,4,5这六个数字组成没有重复的四位偶数,将这些数字从小到大排列起来,第71个数是3140

十九.树图策略

例19．

人相互传球,由甲开始发球,并作为第一次传球,经过

次传求后,球仍回到甲的手中,则不同的传球方式有______

对于条件比较复杂的排列组合问题，不易用公式进行运算，树图会收到意想不到的结果

分别编有1，2，3，4，5号码的人与椅，其中

号人不坐

号椅（

）的不同坐法有多少种？

二十.复杂分类问题表格策略

例20．有红、黄、兰色的球各5只,分别标有A、B、C、D、E五个字母,现从中取5只,要求各字母均有且三色齐备,则共有多少种不同的取法

红

1

2

3

黄

兰

取法

一些复杂的分类选取题,要满足的条件比较多,无从入手,经常出现重复遗漏的情况,用表格法,则分类明确,能保证题中须满足的条件,能达到好的效果.