计算方法之计算矩阵的特征值和特征量.ppt
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11定定定定义义设设AA为为nn阶阶方方阵阵，若存在常数，若存在常数与与nn维维非零向量非零向量XX使使AAXX=XX成立，成立，则则称称为为方方阵阵AA的的特特特特征征征征值值，非零向量，非零向量XX为为AA的的对应对应于于的的特征向量特征向量特征向量特征向量。
由由AAXX=XX（AA-EE）X=0X=0此方程此方程有非零解有非零解有非零解有非零解的充要条件是的充要条件是:
|:
|AA-EE|=0,|=0,即：
即：
特征多特征多特征多特征多项项式方程式方程式方程式方程。
22在在线线性代数中按如下三步性代数中按如下三步计计算：
算：
11、计计算出算出AA的特征多的特征多项项式式AA-EE；22、求出特征方程、求出特征方程AA-EE=0=0的全部根的全部根ii33、将将ii代代入入（A-A-iiEE）X=0）X=0求求出出基基础础解解系系，即即得得AA的的对对应应于于ii的的特特征征向向量量，而而基基础础解解系系的的线线性性组组合合即即为为AA的的对应对应于于ii的全部特征向量。
的全部特征向量。
例例例例求矩求矩阵阵的特征的特征值值与特征向量与特征向量33解解解解：
计计算特征多算特征多项项式方程，即式方程，即解得解得AA的两个特征的两个特征值值：
11=4=4，22=2=2。
（11）11=4=4将将11=4=4代入代入（A-A-EE）XX=00得得（AA-4-4EE）XX=0044取取对应对应于于11=4=4的基的基础础解向量解向量则对应则对应于于11=4=4的的全部特征向量全部特征向量为为：
（22）22=2=2=2=2将将1111=2=2代入代入（A-A-EE）XX=00得得（AA-2-2EE）XX=00取取对应对应于于22=2=2的基的基础础解向量解向量55方法局限性方法局限性方法局限性方法局限性：
当矩：
当矩阵阶阵阶数数较较高（如高（如阶阶数数nn44）时时，将面将面临临两方面的两方面的难题难题：
（11）多）多项项式的式的计计算算对对舍入舍入误误差非常敏感；差非常敏感；（22）求高次方程的根尤其是重根存在困）求高次方程的根尤其是重根存在困难难。
则对应则对应于于22=2=2的的全部特征向量全部特征向量为为：
特特征征值值的的数数值值计计算算方方法法11、幂幂法法法法：
求按模最大特征：
求按模最大特征值值，即，即22、反、反、反、反幂幂法法法法：
求按模最小特征：
求按模最小特征值值，即，即33、JacobiJacobi法法法法：
求求实对实对称矩称矩阵阵所有特征所有特征值值和特征向量。
和特征向量。
66幂幂法法法法是一种迭代法。
是一种迭代法。
基本思想基本思想基本思想基本思想：
把矩：
把矩阵阵的特征的特征值值和特征向量作和特征向量作为为一一个无限序列的极限来求得。
个无限序列的极限来求得。
如如对对于于nn阶阶方方阵阵AA，任取一个初始向量，任取一个初始向量XX（0）（0），作，作迭代迭代计计算算XX（kk+1）+1）=AAXX（kk）则则可得迭代序列可得迭代序列XX（0）（0）,X,X
（1）
（1）,X,X（kk）,，序列的收序列的收敛敛情况与情况与AA的按模最大特征的按模最大特征值值有密切关有密切关系，分析序列的极限，即可得到系，分析序列的极限，即可得到AA的按模最大特征的按模最大特征值值及特征向量的近似及特征向量的近似值值。
77下面介绍两种简单情况：
下面介绍两种简单情况：
（一）按模最大特征
（一）按模最大特征
（一）按模最大特征
（一）按模最大特征值值只有一个，且是只有一个，且是只有一个，且是只有一个，且是单实单实根根根根
（二）按模最大特征
（二）按模最大特征
（二）按模最大特征
（二）按模最大特征值值是互是互是互是互为为反号的反号的反号的反号的实实根根根根88定理定理定理定理设设nn阶阶方方阵阵AA有有nn个个线线性无关的特征向量性无关的特征向量XXii，其，其对应对应的特征的特征值为值为ii（ii=1,2,.,=1,2,.,nn），且，且满满足：
足：
|11|22|nn|则对则对任何非零初始向量任何非零初始向量VV（0）（0）（至少第（至少第11个分量不个分量不为为00）所构成的迭代序列）所构成的迭代序列VV（kk+1）+1）=AAVV（kk）（kk=0,1,2,=0,1,2,）有：
有：
有：
有：
其中其中其中其中表示表示表示表示中的第中的第中的第中的第jj个分量。
个分量。
个分量。
个分量。
（一）按模最大特征值只有一个，且是单实根
（一）按模最大特征值只有一个，且是单实根
（一）按模最大特征值只有一个，且是单实根
（一）按模最大特征值只有一个，且是单实根99证证明明明明：
因因为为AA具有具有nn个个线线性无关的特征向量性无关的特征向量XXii（ii=1,2,.,=1,2,.,nn）而任一而任一nn维维的非零向量，如的非零向量，如VV（0）（0）：
总总可以用可以用XXii的的线线性性组组合来表示：
合来表示：
VV（0）（0）=11XX11+22XX22+.+.+nnXXnn（其中（其中1100）取取VV
（1）
（1）=AAVV（0）（0）VV
（2）
（2）=AAVV
（1）
（1）=AA22VV（0）（0）1010VV（kk+1）+1）=AAVV（kk）=AAkk+1+1VV（0）（0）以构成向量迭代序列。
以构成向量迭代序列。
由矩由矩阵阵特征特征值值的定的定义义有：
有：
AAXXii=iiXXii（ii=1,2,.,=1,2,.,nn）则则有有1111同理可得：
同理可得：
VV（kk+1）+1）的第的第jj个分量：
个分量：
VV（kk）的第的第jj个分量：
个分量：
那么那么1212由已知条件：
由已知条件：
故有：
故有：
所以：
所以：
定理的定理的定理的定理的定理的定理的证证证明已明已明已明已明已明已给给给出求矩出求矩出求矩出求矩出求矩出求矩阵阵阵最大特征最大特征最大特征最大特征最大特征最大特征值值值的方法：
的方法：
的方法：
的方法：
的方法：
的方法：
（11）取一非零初始向量取一非零初始向量VV（0）（0），如，如VV（0）（0）=（1,1,.,1）=（1,1,.,1）TT（22）作迭代作迭代计计算：
算：
VV（k+1）（k+1）=AAVV（k）（k）（33）当当kk充分大充分大时时取：
取：
1313或者用各个分量比的平均或者用各个分量比的平均值值作作为为最大特征最大特征值值：
（44）求求11所所对应对应的特征向量：
的特征向量：
由：
由：
可得：
可得：
而：
而：
故：
故：
则则VV（kk）即即为为所求所求对应对应11的特征向量。
的特征向量。
1414例例例例用用幂幂法求下面法求下面的按模最大特征的按模最大特征值值及及对应对应的特征向量。
的特征向量。
（11）即初始非零向量）即初始非零向量VV（0）（0）（22）作迭代）作迭代计计算算VV（kk+1）+1）=AAVV（kk）：
1515最大特征最大特征值值的的计计算：
算：
特征向量：
特征向量：
VV（11）（11）1616设设nn阶阶方方阵阵AA有有nn个个线线性无关的特征向量性无关的特征向量XXii，其其对应对应的特征的特征值为值为ii（ii=1,2,.,=1,2,.,nn），且，且满满足：
足：
|11|=|22|33|nn|，设设其中其中其中其中110,0,11=-=-22
（二）按模最大特征值是互为反号的实根
（二）按模最大特征值是互为反号的实根
（二）按模最大特征值是互为反号的实根
（二）按模最大特征值是互为反号的实根由迭代由迭代由迭代由迭代变换变换：
1717迭代迭代计计算中算中VV（kk）呈呈规规律性律性摆动摆动，当，当kk充分大充分大时时有有则则有：
有：
同理：
同理：
（kk充分大充分大时时）再由：
再由：
可得：
可得：
取取1818规范化幂法运算规范化幂法运算规范化幂法运算规范化幂法运算由由（11）当）当|11|1|1时时，VV（kk）与与VV（kk+1）+1）的各个不等于的各个不等于00的的分量将随分量将随kk的增大而的增大而过过快地增大，而可能快地增大，而可能“溢出溢出”；（22）当）当|11|1|00此此时时迭代向量序列迭代向量序列VV（kk）将正常收将正常收敛敛。
2323由向量知由向量知识识：
XX11是是对应对应11的特征向量，那么的特征向量，那么也是也是对应对应11的特征向量。
的特征向量。
即可用即可用即可用即可用UU（kk）作作作作为为所求所求所求所求对应对应于于于于11的的的的特征向量特征向量特征向量特征向量。
由由那么：
那么：
2424即：
当即：
当即：
当即：
当kk充分大充分大充分大充分大时时可用可用可用可用VV（kk+1）+1）中的最大分量作中的最大分量作中的最大分量作中的最大分量作为为所所所所求最大特征求最大特征求最大特征求最大特征值值11例例例例例例用用用规规规范化范化范化幂幂幂法法法计计计算算算右面矩右面矩右面矩阵阵阵的按模最大特征的按模最大特征的按模最大特征值值值及及及对应对应对应的特征向量的特征向量的特征向量2525解：
解：
解：
解：
取初始向量取初始向量VV（0）（0）=U=U（0）（0）=（1,1,1）=（1,1,1）TT，结结果如下：
果如下：
kkVV（k）（k）UU（k）（k）max（Vmax（V（k）（k）00111111111111112742749595-184-184110.346720.34672-0.67153-0.671532244.423744.42377714.8432214.84322-29.64262-29.64262110.334130.33413-0.66727-0.6672744.4237744.423773344.923344.92333314.9762314.97623-29.95048-29.95048110.333370.33337-0.66670-0.6667044.9233344.923334444.995744.99572214.9986514.99865-29.99722-29.99722110.333340.33334-0.66667-0.6666744.9957244.995725544.999544.99959914.9998814.99988-29.99974-29.99974110.333330.33333-0.66667-0.6666744.9995944.999596644.999544.99953314.9998314.99983-29.99968-29.99968110.333330.33333-0.66667-0.6666744.9995344.999537744.999544.99953314.9998314.99983-29.99968-29.99968110.333330.33333-0.66667-0.6666744.9995344.99953由表可知，最大特征由表可知，最大特征值为值为：
11=44.99953=44.99953对应对应特征向量特征向量为为：
（1,0.33333,-0.66667）（1,0.33333,-0.66667）TT2626此种情形下，按模最大特征此种情形下，按模最大特征值为值为
（二）
（二）
（二）
（二）按模最大特征按模最大特征按模最大特征按模最大特征值值11是是是是单实单实根，但根，但根，但根，但110|33|nn|，设设其中其中其中其中110,0,11=-22（三）（三）（三）
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