学年浙教版数学九年级下册《第1章解直角三角形》复习题含答案.docx

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学年浙教版数学九年级下册《第1章解直角三角形》复习题含答案

第1章　解直角三角形

类型之一　锐角三角函数的概念

图1－X－1

1．如图1－X－1，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（4，3），那么cosα的值是（　　）

A.　　B.

C.　　D.

2．直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将△ABC如图1－X－2那样折叠，使点A与点B重合，折痕为DE，则tan∠CBE的值是（　　）

图1－X－2

A.B.C.D.

3．如图1－X－3，在△ABC中，∠A＝120°，AB＝4，AC＝2，则sinB的值是（　　）

A.B.C.D.

图1－X－3

　　图1－X－4

4．如图1－X－4，点P在等边三角形ABC的内部，且PC＝6，PA＝8，PB＝10，将线段PC绕点C顺时针旋转60°得到P′C，连结AP′，则sin∠PAP′的值为________．

类型之二　特殊角的三角函数值的计算

5．若α的余角是30°，则cosα的值是（　　）

A.B.C.D.

6．点M（－sin60°，cos60°）关于x轴对称的点的坐标是（　　）

A.B.

C.D.

7．计算：

（1）＋2－1－4cos30°＋；

（2）＋2sin60°＋（）－1－；

（3）2cos45°－＋＋（）－1（n是自然数）．

类型之三　解直角三角形及其应用

8．2017·南宁如图1－X－5，一艘海轮位于灯塔P的南偏东45°方向，距离灯塔60nmile的A处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的北偏东30°方向上的B处，这时，B处与灯塔P之间的距离为（　　）

A．60nmileB．60nmile

C．30nmileD．30nmile

图1－X－5

　　图1－X－6

9．如图1－X－6，将45°的∠AOB按下面的方式放置在一把刻度尺上：

顶点O与尺下沿的端点重合，OA与尺下沿重合，OB与尺上沿的交点B在尺上的读数恰为2cm.若按相同的方式将37°的∠AOC放置在该刻度尺上，则OC与尺上的交点C在尺上的读数约为________cm.（结果精确到0.1cm，参考数据：

sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）

图1－X－7

10．如图1－X－7，∠AOB的边OB与x轴正半轴重合，P是OA上的一动点，N（3，0）是OB上的一定点，M是ON的中点，∠AOB＝30°，要使PM＋PN最小，则点P的坐标为________．

11．2016·舟山太阳能光伏建筑是现代绿色环保建筑之一，老张准备把自家屋顶改建成光伏瓦面，改建前屋顶截面△ABC如图1－X－8所示，BC＝10米，∠ABC＝∠ACB＝36°，改建后顶点D在BA的延长线上，且∠BDC＝90°，求改建后屋顶面边沿增加部分AD的长．（结果精确到0.1米）（参考数据：

sin18°≈0.31，cos18°≈0.95，tan18°≈0.32，sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73）

图1－X－8

12．2017·岳阳某太阳能热水器的横截面示意图如图1－X－9所示，已知真空热水管AB与支架CD所在直线相交于点O，且OB＝OD.支架CD与水平线AE垂直，∠BAC＝∠CDE＝30°，DE＝80cm，AC＝165cm.

（1）求支架CD的长；

（2）求真空热水管AB的长．（结果均保留根号）

图1－X－9

13．2017·株洲如图1－X－10，从一架水平飞行的无人机AB的尾端点A测得正前方的桥的左端点P的俯角为α，其中tanα＝2，无人机的飞行高度AH＝500米，桥的长度为1255米．

（1）求点H到桥的左端点P的距离；

（2）若从无人机前端点B测得正前方的桥的右端点Q的俯角为30°，求这架无人机的长度．

图1－X－10

14．2016·杭州如图1－X－11，已知四边形ABCD和四边形DEFG均为正方形，点E在线段DC上，点A，D，G在同一直线上，且AD＝3，DE＝1，连结AC，CG，AE，并延长AE交CG于点H.

（1）求sin∠EAC的值；

（2）求线段AH的长．

图1－X－11

详解详析

1．D

2．C　[解析]根据题意，BE＝AE.

设CE＝x，则BE＝AE＝8－x，

在Rt△BCE中，根据勾股定理，得

BE2＝BC2＋CE2，即（8－x）2＝62＋x2，

解得x＝，∴tan∠CBE＝＝＝.

故选C.

3．D　[解析]过点C作CD⊥BA交BA的延长线于点D.

∵∠BAC＝120°，AB＝4，AC＝2,

∴∠DAC＝60°，∠ACD＝30°，

∴2AD＝AC＝2，

∴AD＝1，CD＝，

∴BD＝5，∴BC＝2，

∴sinB＝＝.

4.　[解析]连结PP′，∵线段PC绕点C顺时针旋转60°得到P′C，

∴CP＝CP′＝6，

∠PCP′＝60°，

∴△CPP′为等边三角形，

∴PP′＝PC＝6.

∵△ABC为等边三角形，

∴CB＝CA，∠ACB＝60°，

∴∠PCB＝∠P′CA，

∴△PCB≌△P′CA（SAS），

∴PB＝P′A＝10.

∵62＋82＝102，∴PP′2＋AP2＝P′A2，

∴△APP′为直角三角形，且∠APP′＝90°，

∴sin∠PAP′＝＝＝.

5．A　[解析]α＝90°－30°＝60°，cosα＝cos60°＝.故选A.

6．B　[解析]∵sin60°＝，cos60°＝，

∴点M的坐标为.

∵点P（m，n）关于x轴对称的点为P′（m，－n），

∴点M关于x轴的对称点的坐标是.故选B.

7．解：

（1）原式＝2＋－4×＋

＝2＋－2＋

＝1.

（2）原式＝2－＋2×＋2－1＝3.

（3）原式＝2×－1＋＋2＝＋.

8．B　[解析]如图，作PE⊥AB于点E.

在Rt△PAE中，∵∠PAE＝45°，PA＝60nmile，∴PE＝AE＝×60＝30（nmile）．

在Rt△PBE中，∵∠B＝30°，

∴PB＝2PE＝60nmile.

9．2.7

10．（，）　[解析]作点N关于OA的对称点N′，连结MN′交OA于点P，则点P为所求．显然ON＝ON′，∠NON′＝2∠AOB＝2×30°＝60°，∴△ONN′为等边三角形，MN′⊥ON.∵OM＝，∴PM＝OM·tan30°＝×＝，∴点P的坐标为.

11．解：

∵∠BDC＝90°，BC＝10米，sinB＝，

∴CD＝BC·sinB≈10×0.59＝5.9（米）．

∵在Rt△BCD中，∠BCD＝90°－∠B＝90°－36°＝54°，

∴∠ACD＝∠BCD－∠ACB＝54°－36°＝18°，

∴在Rt△ACD中，tan∠ACD＝，

∴AD＝CD·tan∠ACD≈5.9×0.32＝1.888≈1.9（米），

则改建后屋顶面边沿增加部分AD的长约为1.9米．

12．解：

（1）在Rt△CDE中，∠CDE＝30°，DE＝80cm，∴cos30°＝＝，解得CD＝40（cm）．故支架CD的长为40cm.

（2）在Rt△OAC中，∠BAC＝30°，AC＝165cm，∴tan30°＝＝，解得OC＝55（cm），

∴OA＝2OC＝110cm，OB＝OD＝OC－CD＝55－40＝15（cm），

∴AB＝OA－OB＝110－15＝95（cm）．

故真空热水管AB的长为95cm.

13．解：

（1）在Rt△AHP中，

∵∠APH＝α，AH＝500米，

∴tan∠APH＝＝tanα，

∴＝2，

解得HP＝250（米）．

故点H到桥的左端点P的距离为250米．

（2）过点Q作QM⊥AB交其延长线于点M，

则可得AM＝HQ＝HP＋PQ＝250＋1255＝1505（米），QM＝AH＝500米．

∵在Rt△QMB中，∠QMB＝90°，∠QBM＝30°，QM＝500米，

∴BM＝1500米，

∴AB＝AM－BM＝1505－1500＝5（米）．

故这架无人机的长度为5米．

14．解：

（1）由题意知EC＝2，AE＝.

过点E作EM⊥AC于点M，

所以∠EMC＝90°，易知∠ACD＝45°，

所以△EMC是等腰直角三角形，

所以EM＝，所以sin∠EAC＝＝.

（2）在△GDC与△EDA中，

因为

所以△GDC≌△EDA，所以∠GCD＝∠EAD.

又因为∠HEC＝∠DEA，

所以∠EHC＝∠EDA＝90°，所以AH⊥GC.

由△GDC≌△EDA，得GC＝EA＝.

因为S△AGC＝AG·DC＝GC·AH，

所以×4×3＝××AH，

所以AH＝.