新教材高中数学北师大版选择性必修一学案第二章4直线与圆锥曲线的位置关系含答案.docx

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新教材高中数学北师大版选择性必修一学案第二章4直线与圆锥曲线的位置关系含答案

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§4　直线与圆锥曲线的位置关系

　　　　　　　　　　关键能力·合作学习

类型一　直线与圆锥曲线的位置关系（逻辑推理）

1．设抛物线y2＝8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是（　　）

A．B．[－2，2]

C．[－1，1]D．[－4，4]

【解析】选C.由已知，得直线l的方程为y＝k（x＋2），与抛物线方程联立方程组，整理得ky2－8y＋16k＝0.

当k＝0时，直线与抛物线有一个交点．当k≠0时，

由Δ＝64－64k2≥0，解得－1≤k≤1，所以－1≤k≤1，且k≠0.

综上得－1≤k≤1.

2．已知双曲线C：

x2－＝1，过点P（1，2）的直线l，使l与C有且只有一个公共点，则满足上述条件的直线l共有（　　）

A．1条B．2条

C．3条D．4条

【解析】选B.因为双曲线的渐近线方程为y＝±2x，点P在一条渐近线上，又由于双曲线的顶点为（±1，0），所以过点P且与双曲线相切的切线只有一条．过点P平行于渐近线的直线只有一条，所以与双曲线只有一个公共点的直线有两条．

3．若椭圆＋y2＝a2（a＞0）与连接两点A（1，2），B（3，4）的线段有公共点，则实数a的取值范围为________．

【解析】若椭圆＋y2＝a2（a＞0）和连接两点A（1，2），B（3，4）的线段没有公共点，所以A，B都在椭圆内或A，B都在椭圆外，

当点A，B都在椭圆内时，

解得a＞；当点A，B都在椭圆外时，

解得0＜a＜.

所以实数a的取值范围是∪.

所以当椭圆与线段AB有公共点时实数a的取值范围是.

答案：

关于直线与圆锥曲线的交点个数判断

（1）代数法：

直线与圆锥曲线的方程联立、消元，

①如果得到的是一元二次方程，则利用Δ判断方程根的个数，即直线与圆锥曲线交点的个数；

②如果得到的是一元一次方程，则表示直线与双曲线的渐近线平行，或直线与抛物线的对称轴平行，此时直线与圆锥曲线有一个交点．

（2）几何法：

一般适用直线与双曲线的位置关系，可以判断直线的斜率与渐近线斜率的大小，结合图象可以判断直线与双曲线的交点个数．

类型二　直线与圆锥曲线相切问题（逻辑推理、数学运算）

【典例】设点M是椭圆C：

＋＝1（a＞b＞0）上一动点，椭圆的长轴长为4，离心率为.

（1）求椭圆C的方程；

（2）求点M到直线l1：

x＋y－5＝0距离的最大值及此时点M的坐标．

【思路导引】

（1）利用长轴长、离心率求a，c，再求出b.

（2）利用与直线l1平行且与椭圆相切的直线求最大值．

【解析】

（1）由题意可知2a＝4，则a＝2，

离心率e＝＝，则c＝2，b2＝a2－c2＝4，

所以椭圆的标准方程为＋＝1.

（2）由直线l1的方程与椭圆的方程可以设为，直线l1与椭圆不相交，设直线m平行于直线l1，

则直线m的方程可以设为x＋y＋k＝0，

由方程组消去y，得4x2＋6kx＋3k2－12＝0①，

令方程①的根的判别式Δ＝0，得36k2－4×4（3k2－12）＝0②，

解方程②得k1＝4或k2＝－4，

由图可知，当k＝4时，直线m与椭圆的交点到直线l1的距离最远，此时直线m的方程为x＋y＋4＝0，

直线m与直线l1的距离d＝＝，所以点M到直线l1：

x＋y－5＝0距离的最大值为.

此时由方程4x2＋6kx＋3k2－12＝0，

即x2＋6x＋9＝0，解得x＝－3，所以y＝－1.

故点M的坐标是.

　关于直线与圆锥曲线相切的问题

（1）直线与圆锥曲线相切与直线与圆锥曲线有一个交点不同，相切是当两个交点重合为一个交点时的情况，而相交于一个交点则是与渐近线、抛物线的对称轴平行时的情况；

（2）利用直线与圆锥曲线相切可以求参数的范围、解决距离的最值问题等．

设双曲线Γ的方程为x2－＝1.设l是经过点M（1，1）的直线，且和Γ有且仅有一个公共点，求l的方程．

【解析】

（1）当直线l斜率不存在时，方程为x＝1，显然与双曲线Γ相切，只有一个交点，符合题意，

（2）当直线l的斜率存在且与双曲线Γ相切时，设斜率为k，

则直线l的方程为y－1＝k（x－1），

即y＝kx－k＋1，联立方程

消去y得：

（4－k2）x2－2k（1－k）x－[（1－k）2＋4]＝0，

因为直线l和双曲线Γ有且仅有一个公共点，

所以Δ＝4k2（1－k）2＋4（4－k2）[（1－k）2＋4]＝0，

化简得：

80－32k＝0，所以k＝，

所以直线l的方程为：

y＝x－，即5x－2y－3＝0.

（3）当直线l与双曲线Γ的渐近线平行时，也与双曲线Γ有且仅有一个公共点，因为双曲线Γ的渐近线方程为：

y＝±2x，

所以直线l的斜率为±2，

所以直线l的方程为y－1＝2（x－1）或y－1＝－2（x－1），

即2x－y－1＝0或2x＋y－3＝0，

综上所述，直线l的方程为x＝1或5x－2y－3＝0或2x－y－1＝0或2x＋y－3＝0.

类型三　直线与圆锥曲线的弦长问题（逻辑推理）

角度1求弦长　

【典例】（2019·全国Ⅰ卷）已知抛物线C：

y2＝3x的焦点为F，斜率为的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P.

（1）若|AF|＋|BF|＝4，求l的方程．

（2）若＝3，求|AB|.

【解析】设直线l：

y＝x＋t，A（x1，y1），B（x2，y2）.

（1）由题设得F，故|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋，

由题设可得x1＋x2＝.

由可得9x2＋12（t－1）x＋4t2＝0，

则x1＋x2＝－.

从而－＝，得t＝－.

所以l的方程为y＝x－.

（2）由＝3可得y1＝－3y2.

由可得y2－2y＋2t＝0.

所以y1＋y2＝2.从而－3y2＋y2＝2，故y2＝－1，y1＝3.

代入C的方程得x1＝3，x2＝.

故|AB|＝.

角度2中点弦问题　

【典例】已知P（1，1）为椭圆＋＝1内一定点，经过P引一条弦，使此弦被P点平分，则此弦所在的直线方程为________．

【解析】方法一：

易知此弦所在直线的斜率存在，

所以设其方程为y－1＝k（x－1），弦所在的直线与椭圆相交于A，B两点，

A（x1，y1），B（x2，y2）.

由

消去y得，（2k2＋1）x2－4k（k－1）x＋2（k2－2k－1）＝0，

所以x1＋x2＝，

又因为x1＋x2＝2，

所以＝2，解得k＝－.

故此弦所在的直线方程为y－1＝－（x－1），

即x＋2y－3＝0.

方法二：

易知此弦所在直线的斜率存在，

所以设斜率为k，弦所在的直线与椭圆相交于A，B两点，

设A（x1，y1），B（x2，y2），则＋＝1①，

＋＝1②，

①－②得＋＝0，

因为x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，所以＋y1－y2＝0，

所以k＝＝－，经检验k＝－满足题意．

所以此弦所在的直线方程为y－1＝－（x－1），

即x＋2y－3＝0.

答案：

x＋2y－3＝0

本例若变为：

椭圆与直线x＋y－1＝0相交于A，B两点，C是AB的中点，若AB＝2，OC的斜率为，则椭圆的方程为________．

【解析】设椭圆的方程为ax2＋by2＝1（a>0，b>0，且a≠b），

A（x1，y1），B（x2，y2），代入椭圆方程并作差得a（x1＋x2）（x1－x2）＋b（y1＋y2）（y1－y2）＝0.

而＝－1，＝koc＝，代入上式可得b＝a.

由|AB|＝|x2－x1|＝|x2－x1|＝2，其中x1，x2是方程（a＋b）x2－2bx＋b－1＝0的两根，故－4·＝4，将b＝a代入得a＝，所以b＝.

所以椭圆方程是＋＝1.

答案：

＋＝1

1．直线与圆锥曲线相交时弦长的求法

（1）定义法：

过圆锥曲线的焦点的弦长问题，利用圆锥曲线的定义可优化解题．（客观题常用）

（2）点距法：

将直线的方程与圆锥曲线的方程联立，求出两交点的坐标，再运用两点间距离公式求弦长．（不常用）

（3）弦长公式法：

它体现了解析几何中的设而不求的思想，其实质是利用两点之间的距离公式以及一元二次方程根与系数的关系．（常用方法）

2．中点弦问题常用的求解方法

（1）点差法：

即设出弦的两端点坐标后，代入圆锥曲线方程，并将两式相减，式中含有x1＋x2，y1＋y2，三个未知量，这样就直接联系了中点和直线的斜率，借用中点公式即可求得斜率．

（2）根与系数的关系法：

即联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，化为一元二次方程后由根与系数的关系求解．

1．斜率为1的直线l与椭圆＋y2＝1相交于A，B两点，则|AB|的最大值

为（　　）

A．2B．C．D．

【解析】选C.设A，B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），

直线l的方程为y＝x＋t，

由消去y，得5x2＋8tx＋4（t2－1）＝0，

则x1＋x2＝－t，x1x2＝.

所以|AB|＝|x1－x2|

＝·

＝·＝·，

当t＝0时，|AB|max＝.

2．已知（4，2）是直线l被椭圆＋＝1所截得的线段的中点，则l的方程是________．

【解析】设直线l与椭圆相交于A（x1，y1），B（x2，y2）.

则＋＝1，且＋＝1，两式相减得＝－.

又x1＋x2＝8，y1＋y2＝4，

所以＝－，故直线l的方程为y－2＝－（x－4），即x＋2y－8＝0.

答案：

x＋2y－8＝0

3．已知点Q是抛物线C1：

y2＝2px（p>0）上异于坐标原点O的点，过点Q与抛物线C2：

y＝2x2相切的两条直线分别交抛物线C1于点A，B.若点Q的坐标为（1，－6），求直线AB的方程及弦AB的长．

【解析】由Q（1，－6）在抛物线y2＝2px上，可得p＝18，

所以抛物线C1的方程为y2＝36x.

设抛物线C2的切线方程为y＋6＝k（x－1）.

联立

消去y，得2x2－kx＋k＋6＝0，Δ＝k2－8k－48.

由于直线与抛物线C2相切，故Δ＝0，解得k＝－4或k＝12.

由得A；

由得B.

所以直线AB的方程为12x－2y－9＝0，弦AB的长为2.

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1．直线y＝x＋3与双曲线－＝1的交点个数是（　　）

A．1　B．2　C．1或2　D．0

【解析】选A.因为直线y＝x＋3与双曲线的渐近线y＝x平行，所以它与双曲线只有1个交点．

2．过抛物线y2＝4x的焦点作倾斜角为135°的弦AB，则AB的长度是（　　）

A．4　B．4　C．8　D．8

【解析】选C.抛物线的焦点为（1，0），则弦AB所在的直线方程为y＝－x＋1，代入抛物线方程，得x2－6x＋1＝0.设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1＋x2＝6，x1x2＝1，由弦长公式，得|AB|＝＝8.

3．（教材练习改编）直线y＝kx－2交抛物线y2＝8x于A，B两点，若AB中点的横坐标为2，则k等于（　　）

A．2或－2B．－1

C．2D．3

【解析】选C.由得k2x2－4（k＋2）x＋4＝0，

则＝4，解得k＝2（k＝－1舍去）.

4．已知直线y＝与椭圆＋＝1（a>b>0）交于B，C两点，且以BC为直径的圆恰好经过椭圆的右焦点F，则该椭圆的离心率是________．

【解析】将y＝代入椭圆方程＋＝1（a>b>0）.所以x2＝，圆的半径为r，则r2＝，由题意可知，＋c2＝r2，由b2＝a2－c2，代入整理得：

7a2＝8c2，所以e＝＝.

答案：

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