几何知识点汇总Word文件下载.docx
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4，求∠A、∠B、∠C的度数．
判定3：
同旁内角相等，两直线平行。
五、三角形的外角
1．意义：
三角形一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角．
知识点二三角形
2．性质：
一、三角形相关概念
①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.
1．三角形的概念由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连结所组成的图形叫做三角形
②三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角.要点：
①三条线段；
②不在同一直线上；
③首尾顺次相接．
③三角形的一个外角与与之相邻的内角互补2．三角形中的三种重要线段
六、多边形
（1）三角形的角平分线：
三角形一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线
段叫做三角形的角平分线．
①多边形的对角线
n（n3）条对角线；
②n边形的内角和为（n－2）×
180°
；
③多边形的外角和为360°
2
（2）三角形的中线：
在一个三角形中，连结一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线．
知识点三全等三角形
一、全等三角形
三条边都相等的三角形叫做等边三角形.
1、“全等”的理解全等的图形必须满足：
（1）形状相同的图形；
（2）大小相等的图形；
（二）性质
即能够完全重合的两个图形叫全等形。
同样我们把能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
1.如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.或者说轴对
2、全等三角形的性质称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.
（1）全等三角形对应边相等；
（2）全等三角形对应角相等；
2.线段垂直平分钱的性质
3、全等三角形的判定方法线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.
（1）三边分别相等的两个三角形全等。
（SSS）3.
（1）点P（x，y）关于x轴对称的点的坐标为P′（x，-y）.
（2）两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等。
（ASA）
（2）点P（x,y）关于y轴对称的点的坐标为P″（-x，y）.
（3）两角和其中一角的对边分别相等的两个三角形全等。
（AAS）4.等腰三角形的性质
（4）两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等。
（SAS）
（1）等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）.
（5）斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。
（HL）
（2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合.
4、角平分线的性质及判定（3）等腰三角形是轴对称图形，底边上的中线（顶角平分线、底边上的高）所在直线就是它的对称轴.
性质：
角平分线上的点到这个角的两边的距离相等
（4）等腰三角形两腰上的高、中线分别相等，两底角的平分线也相等.
判定：
到一个角的两边距离相等的点在这个角平分线上
（5）等腰三角形一腰上的高与底边的夹角是顶角的一半。
二、轴对称图形
（6）等腰三角形顶角的外角平分线平行于这个三角形的底边.
（一）基本定义
5.等边三角形的性质
1.轴对称图形
（1）等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°
.
如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直
（2）等边三角形是轴对称图形，共有三条对称轴.
线就叫做对称轴.折叠后重合的点是对应点，叫做对称点.（3）等边三角形每边上的中线、高和该边所对内角的平分线互相重合.
2.线段的垂直平分线
（三）有关判定
经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线
1.与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.
3.轴对称变换2.如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）.
由一个平面图形得到它的轴对称图形叫做轴对称变换.3.三个角都相等的三角形是等边三角形.
4.等腰三角形4.有一个角是60°
的等腰三角形是等边三角形.
有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形.相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边，两腰所夹的角叫
做顶角，底边与腰的夹角叫做底角.知识点四勾股定理
5.等边三角形1、勾股定理定义：
如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么
222.即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方
a＋b＝c
勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法
D
C
知识点五四边形勾：
直角三角形较短的直角边
H
一、基本定义
A
股：
直角三角形较长的直角边
DE
G
F
1．四边形的内角和与外角和定理：
弦：
斜边
ba
（1）四边形的内角和等于360°
勾股定理的逆定理：
如果三角形的三边长a，b，c有下面关系：
a
cB
＋b
＝
（2）四边形的外角和等于360°
BC
c2，那么这个三角形是直角三角形。
2，那么这个三角形是直角三角形。
2．多边形的内角和与外角和定理：
A4
5.勾股数：
满足a2＋b2＝c2的三个正整数叫做勾股数（注意：
若a，b，c、为勾股数，那么ka，kb，kc
2＋b2＝c2的三个正整数叫做勾股数（注意：
同样也是勾股数组。
）
（1）n边形的内角和等于（n-2）180°
（2）任意多边形的外角和等于360°
3
12
3．平行四边形的性质：
*附：
常见勾股数：
3,4,5；
6,8,10；
9,12,15；
5,12,13
6.判断直角三角形：
如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形。
（经
2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形。
典直角三角形：
勾三、股四、弦五）
其他方法：
（1）有一个角为90°
的三角形是直角三角形。
因为ABCD是平行四边形
（
1）两组对边分别平行；
（2）两组对边分别相等；
3）两组对角分别相等；
（4）对角线互相平分；
O
AB
C
（2）有两个角互余的三角形是直角三角形。
（5）邻角互补.
用它判断三角形是否为直角三角形的一般步骤是：
Aa
Dba
（1）确定最大边（不妨设为c）；
（2）若c2＝a2＋b2，则△ABC是以∠C为直角的三角形；
2＝a2＋b2，则△ABC是以∠C为直角的三角形；
222
若a＋b＜c，则此三角形为钝角三角形（其中c
为最大边）；
a
b
c
B
E
7.平行四边形的判定：
1）两组对边分别平行
（）两组对边分别相等
3）两组对角分别相等
（）一组对边平行且相等
4
ABCD.
是平行四边形
若a＋b＞c，则此三角形为锐角三角形（其中c为最大边）
（）对角线互相平分
5
8.矩形的性质：
4.注意：
（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
DCDC
（1）具有平行四边形的所;
有通性
（2）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°
，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
因为ABCD是矩形（2;
）四个角都是直角
（3）在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°
。
（3.
）对角线相等
ABAB
6.勾股定理的作用：
7.6.矩形的判定：
（1）已知直角三角形的两边求第三边。
（1）平行四边形
一个直角
（2）已知直角三角形的一边，求另两边的关系。
（2）三个角都是直角四边形ABCD是矩形.
（3）用于证明线段平方关系的问题。
边形
（3）对角线相等的平行四
AC
（4）利用勾股定理，作出长为n的线段
7．菱形的性质：
因为ABCD是菱形
8.勾股定理的证明
（）具有平行四边形的所
1
（）四个边都相等；
有通性；
3．S梯形=（ab）hLh
.（a、b为梯形的底，h为梯形的高,L为梯形的中位线）
（3）对角线垂直且平分对.
角
四常识：
8．菱形的判定：
1．若n是多边形的边数，则对角线条数公式是：
n
（n
3）
.
矩
形
正
方
菱
2．如图：
平行四边形、矩形、菱形、正方形的从属关系.
（1
）平行四边形一组邻边等
平行四边形
（2四边形四边形ABCD是菱形.
）四个边都相等
知识点六圆
（3
）对角线垂直的平行四边形
1、圆的定义：
9．正方形的性质：
因为ABCD是正方形
（１）在一个平面内线段ＯＡ绕它固定的一个端点Ｏ旋转一周，另一个端点Ａ随之旋转所形成的图
）具有平行四边形的所有通性；
形叫做圆，固定的端点Ｏ叫做圆心，线段ＯＡ叫做半径。
（2）四个边都相等，四个
角都是直角；
（２）圆是所有点到定点Ｏ的距离等于定长ｒ的点的集合。
（3）对角线相等垂直且平.
分对角
确定一个圆有２个元素，一个是圆心，一个是半径，圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。
２、和圆相关的概念：
O
（１）弦：
连结圆上任意两点的线段；
（弦不一定是直径，直径一定是弦，直径是圆中最长的弦）
AB
（1）AB
（2）（3）
（２）直径：
经过圆心的弦；
10．正方形的判定：
（３）弧：
圆上任意两点间的部分；
（弧的度数等于这条弧所对的圆心角的度数，等于这条弧所对圆
（1）平行四边形
一组邻边等一个直角
周角的两倍）
（2四边形ABCD是正方形.
）菱形一个直角
）矩形一组邻边等
（４）半圆：
圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆；
（4）∵ABCD是矩形
（５）优弧：
大于半圆的弧，用三个大写字母表示；
又∵AD=AB
（６）劣弧：
小于半圆的弧，用两个大写字母表示；
∴四边形ABCD是正方形
11．三角形中位线定理：
（７）弓形由弦及其所对的弧组成的图形；
三角形的中位线平行第三边，并且等于它的一半.
（８）等圆：
能够重合的两个圆；
二定理：
中心对称的有关定理
1．关于中心对称的两个图形是全等形.
（９）等弧：
在同圆或等圆中，能够互相重合的弧；
2．关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分.
（１０）同心圆：
圆心相同，半径不相等的两个圆；
3．如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称.
三公式：
（１１）圆心角：
定点是圆心的角；
1．S菱形=abch
（a、b为菱形的对角线,c为菱形的边长，h为c边上的高）
（１２）圆周角：
顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角；
（１３）弦心距：
圆心到弦的距离。
2．S平行四边形=ah.（a为平行四边形的边，h为a上的高）
（１）直径等于半径的２倍；
（２）同圆或等圆的半径相等；
③直线平分弦；
④直线平分弦所对的劣弧；
⑤直线平分弦所对的优弧，也可简单地理解为“二推三”。
（３）等弧必须是同圆或等圆中的弧；
（２）垂径定理的推论：
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
（４）弧长相等的弧不一定是等弧，但等弧的弧长必相等。
6、圆的对称性：
３、圆心角的定义及性质：
（１）圆既是中心对称图形，又是轴对称图形。
（１）圆心角的定义：
注意：
圆具有旋转不变性，有无数条对称轴。
定点是圆心的角叫做圆心角。
（２）在同圆或等圆中，圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系：
（２）圆心角、弦、弧的有关定理：
在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两弦的弦心距中，有一组量相等，那么它
①在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等；
们所对应的其余各组量也分别相等。
②在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么这两条弧所对的圆心角相等，所对的弦相等；
运用本知识时应注意其成立的条件：
“在同圆或等圆中”，也可简单地理解为“一推三”。
③在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么这两条弦所对的圆心角相等，所对的弧相等。
７、点与圆的位置关系：
4、圆周角的定义及性质：
点与圆有三种位置关系：
点在圆外、点在圆上、点在圆内。
（１）圆周角的定义：
设⊙Ｏ的半径为ｒ，点到圆心Ｏ的距离为ｄ，则有：
顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。
点在圆外?
ｄ＞ｒ；
圆周角必须具备两个条件：
①顶点在圆上；
②角的两边都和圆相交，二者缺一不可；
点在圆上?
ｄ＝ｒ；
圆周角和圆心角的①相同点：
两边都和圆相交；
②不同点：
圆心角的顶点在圆心；
圆周角的顶
点在圆内?
ｄ＜ｒ。
点在圆上。
可以根据点到圆心的距离与圆的半径的大小比较来确定点与圆的位置关系。
（２）圆周角的性质：
８、确定圆的条件：
①一条弧所对的圆周角等于该弧所对的圆心角的一半；
过一个点可以作无数个圆；
过两个点可以作无数个圆，这些圆的圆心在连接这两个点的线段的垂
②在同圆或等圆中，同弧（或等弧）所对的圆周角相等；
直平分线上；
过在同一条直线上的三个点不能作圆；
过不在同一直线上的三个点可确定一个圆。
③在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等；
９、三角形的外接圆及外心：
④半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于９０°
（直角）；
经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做
⑤９０°
的圆周角所对的弦是圆的直径，所对的弧是半圆；
这个圆的内接三角形。
⑥如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
（１）三角形的外心是三角形三边的垂直平分线的交点；
三角形的外心到三角形三个顶点
5、垂径定理与推理：
的距离相等，任何三角形有且只有一个外接圆，任何一个圆有无数个内接三角形；
（１）垂径定理：
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
（２）锐角三角形的外心在三角形的内部；
直角三角形的外心是斜边的中点，外接圆的半径
这个结论中涉及圆中不是直径的弦与直径所在直线的关系，如果圆的一条非直径的弦和一等于斜边的一半；
钝角三角形的外心在三角形的外部。
条直线满足以下五个条件中的任意两个，那么它一定满足其余三个：
①直线过圆心；
②直线垂直于弦；
10、圆的内接四边形：
如果一个四边形的各个顶点都在同一个圆上，这个四边形叫做圆的内接四边形，这个圆叫做这个（１）定义：
与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这
四边形的外接圆。
个三角形叫做圆的外切三角形。
定理：
圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角。
（２）性质：
三角形的内心是三角形三内角的角平分线的交点，三角形的内心到三角形三边的距离
圆的内接平行四边形是矩形；
圆的内接梯形是等腰梯形。
相等。
11、直线与圆的位置关系：
相交、相切、相离。
任意三角形有且只有一个内切圆，内心一定在三角形内，任意一个圆有无数个外切三角形；
（１）直线和圆有两个公共点时，叫做直线与圆相交，这时直线叫做圆的割线；
如果三角形三边长分别为ａ、ｂ、ｃ，内切圆半径为r，则三角形的面积Ｓ＝?
（ａ＋ｂ＋ｃ）ｒ。
（２）直线和圆有唯一公共点时，叫做直线与圆相切，这时直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做14、切线长定理：
切点；
（１）定义：
在经过圆外一点的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。
（３）直线和圆没有公共点时，叫做直线与圆相离。
（２）定理：
从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线
若⊙Ｏ的半径为ｒ，圆心Ｏ到直线ｌ的距离为ｄ，则直线与圆的位置关系、交点个数及ｄ与ｒ的数的夹角。
量关系如下表：
圆的外切四边形的两组对边的和相等。
15、弧长的计算：
直线与圆的位置关系相离相切相交
（１）圆周长公式：
Ｃ＝２πＲ（Ｒ为圆的半径）
交点个数０１２
（２）弧长公式：
ｌ＝2πRn/360°
=πRn/180（ｎ为弧所对的圆心角度数，不带单位，Ｒ为圆的半ｄ与ｒ数量关系ｄ＞ｒｄ＝ｒ０≤ｄ＜ｒ
径）
可以根据圆心到直线的距离ｄ与圆的半径ｒ的大小比较来判定直线与圆的位置关系。
16、扇形面积的计算：
12、切线的判定与性质：
（１）扇形的定义：
（１）切线的判定定理：
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形。
切线必须满足两个条件：
①经过半径的外端；
②垂直于这条半径。
两个条件缺一不可。
在判定直线与圆相切时，若直线与圆的公共点已知，证题方法是“连半径，证垂直”；
若
（２）圆的面积公式：
Ｓ＝πＲ
（Ｒ为圆的半径）
直线与圆的公共点未知，证题方法是作垂线，证半径。
这两种情况可概括为一句话：
“有点连半径，无
点作垂线”。
（３）扇形的面积公式：
Ｓ扇形＝lR
=
nπR
360
（Ｒ为扇形所在圆的半径，ｌ为扇形的弧长）
在运用扇形的面积公式时，应注意以下几点：
（２）切线的性质定理：
圆的切线垂直于经过切点的半径。
（１）公式中的ｎ与弧长公式中的ｎ一样，ｎ表示１°
的圆心角的倍数，不带单位；
推论：
①经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点；
②经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。
圆的切线性质定理与它的两个推论涉及了一条直线的三条性质：
①垂直于切线；
②过
（２）扇形面积公式Ｓ扇形＝lR
与内切圆中的三角形面积公式十分类似；
圆心；
③过切点。
如果一条直线满足以上三个条件中的任意两个，那它一定满足另外一个条件，也可
（３）根据扇形面积公式及弧长公式，已知Ｓ扇形、ｌ、ｎ、Ｒ四个量中的任意两个量都可以求出
以简单地理解为“二推一”。
另外两个量。
13、三角形的内切圆和内心：
17、圆锥的侧面积与全面积：
（１）圆锥的有关概念：
⑥内切圆的半径叫做正多边形的边心距，用ｒ表示。
圆锥是由一个底面和一个侧面组成的。
我们把圆锥底面圆周长上任意一点与圆锥顶点的连线叫做圆20、正多边形和圆的关系：
锥的母线，连结顶点与底面圆心的线段叫做圆锥的高。
把一个圆分成相等的一些弧，就可以做出这个圆的内接正多边形，这个圆是这个正多边形的外接
（２）圆锥的侧面展开图：
圆。
沿着圆锥的母线可把圆锥的侧面展开，圆锥的侧面积展开图是扇形，这个扇形的半径等于圆锥的母弦相等各边相等
线长，弧长等于圆锥底面圆的周长。
弧相等→→→正多边形
（３）圆锥的侧面积和全面积公式：
圆周角相等各角相等
圆锥的侧面积就是弧长为圆锥底面圆的周长，半径为圆锥的一条母线长的扇形面积，其计算公式为：
21、正多边形的有关计算公式：
Ｓ侧＝
l·
RrR；
而圆锥的全面积就是它的侧面积与它的底面积之和，其计算公式为：
Ｓ全＝Ｓ
任意（正）多边形的面积公式：
rl
（ｒ表示内切圆的半径，ｌ表示内切圆的周长）
任意（正）多边形的内角和公式：
（ｎ－２）×
１８０°
侧＋Ｓ底＝πｒR＋πｒ
2＝πｒ（R＋ｒ）。
任意正多边形的内角公式：
特别提醒：
在计算圆锥的侧面积时，要注意各字母之间的对应关系，千万不可错把圆锥底面圆的半
径等同于扇形半径或把圆锥母线长当做扇形的弧长。
任意（正）多边形的对角线条数公式：
（3）
nn
任意（正）多边形的外角和公式：
３６０°
18、圆柱的侧面展开图：
22、反证法的定义及步骤：
把圆柱的侧面沿它的一条母线剪开，展在一个平面上，即得到圆柱的侧面展开图，这个展开图是
（１）反证法的定义：
矩形，矩形的一边长等于圆柱的高，即圆柱的母线长，另一边是底面圆的周长。
圆柱的侧面积等于底
不是直接从原题的已知得出结论，而是假设命题的结论不成立，由此经过推理得出矛盾，由矛盾面圆的周长乘以
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