建模高台村用水问题.docx
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建模高台村用水问题
高台村用水问题
摘要
本文针对解决高台村用水问题，采用规划的方法建立最优供水模型。
表1给出四口水井近9年的产水量统计数字，用EXCEL和MATLAB分别对四口井的产水量进行拟合，进而预测出未来5年的产水量，见下表1：
编
号
产水量
年份
2012
2013
2014
2015
2016
1号井
21.4
20.2
19
17.8
16.6
2号井
1
0
0
0
0
3号井
9.1
7
4.9
2.8
0.6
4号井
15.5
14.8
14.2
13.6
13
产水总量（）
47
42
38.1
34.2
30.2
表1
针对县政府给出的方案我们采用规划的方法，引入0—1变量，建立整数规划模型。
在本文中，我们做了短、中、长期的目标规划。
短期目标，我们建立以最小费用为目标，仅考虑近五年的村民需水问题。
中期目标，我们建立以第三年打井的当年产水量最大为目标，考虑每年花费60万元，打所有的井且用剩下的钱全部用于铺设管道。
长期目标，我们建立以满足前三年用水且打井最小费用为目标，考虑每年花费60万元，用剩下的钱全部用于铺设管道。
最后，县政府可以根据对该村的规划选择用哪种模型，见表2。
模
型
目标
短期目标
中期目标
长期目标
模型选择
J—Q模型
C—Q—J模型
C—Q—G模型
表2
关键字：
整数规划0—1变量拟合MATLABEXCELLINGO
一、问题重述
我国许多农村用水短缺问题长期以来十分严重，特别是一些偏远贫困地区情况更加严重。
如我国西北地区偏远贫困村——高台村，年均降雨不足20mm，是典型的缺水地区。
为了解决高台村的用水问题，县政府决定从今年起为该村解决用水问题，具体方案包括两个方面：
一是在高台村附近找8个可供打井的位置，但由于位置不同其地质构造也不同，因此每个位置打井的费用和年产水量也不同，而且预计每口水井的年产水量还会以平均每年10%左右的速率减少。
二是从长远考虑，通过建造输水管道，从距该20公里外的柳河将水引入该村，管输的费用为（万元），其中表示每年的可输水量（万吨/年），表示管道长度（公里）。
管输工程工期需要三年时间，且每年投资管输的费用为万元的整数倍。
要求管输完成之后，每年能够管输至少100万吨水。
县政府从2012年开始，连续三年，每年最多可提供60万元用于该村打井和管输工程，为了保证该村从2012至2016年这五年间每年分别能至少获得150、160、170、180、190万吨水。
用数学建模的方法，在不考虑小蓄水池的作用和利息的因素的情况下，为县政府作出一个从2012年起三年的打井和管输建设计划。
二、问题分析
解决高台村的用水问题，具体方案包括两个方面：
一是在8个可供打井的位置打几口井，二是建造输水管道，从柳河饮水，管输的费用为（万元），即铺设公里的管道费用为。
现在县政府计划每年最多提供60万元，在三年内完成该工程。
首先题目要求制定一个能满足高台村村民从2012年到2016年，这五年间每年分别能至少获得150、160、170、180、190万吨水。
其他的约束条件有：
（1）铺设管道需要3年时间，即在这三年里水仅可以由原来的四口井和新打的井来提供，而第4、5年供水除由原来的四口井和新打的井提供以外，还可由输水管道提供，且每年管输不少于100万吨；
（2）铺设管道的费用为万元的整数倍；（3）铺设管道总长度不少于20公里；（4）每口井只能在前3年中的某一年施工。
在不考虑小蓄水池的作用和利息的因素的情况下，为县政府作出一个从2012年起三年的打井和管输建设计划的J—Q模型。
但考虑到县政府全心全意为人民服务的意愿，应该考虑长期目标，现在准备每年用60万元从两个不同的目标建立模型：
（1）用最少的钱打井来满足前三年的最少用水量，剩下的钱全部用于铺设管道，建立C—Q—G模型；
（2）打所有的井，但考虑到每口水井的年产水量会以平均每年10%左右的速率减少，所以在满足前三年的最少用水量前提下，目标第三年总产水量最大，而剩下的钱全部用于铺设管道，建立C—Q—J模型。
三、模型假设
（1）假设新打水井的年产量以10%的速度减少；
（2）假设建设至少20公里的输水管道；
（3）假设可供打井的每个位置仅可打一口井；
（4）假设不考虑建设输水管道的工程进度；
（5）假设从2012年起到2016年分别表示第1、2、3、4、5年；
（6）假设不考虑意外情况导致所需经费增加；
（7）假设忽略小蓄水池的作用和利息的因素；
（8）假设井在年初修建且时间很短，修完之后即可利用，管道铺好后即可用于
供水;
（9）假设柳河的水是充足的；
（10）假设管道铺好后在管道有效期内一直可用。
三、符号说明
表示在第i年对编号为j的井的施工情况，其中
表示打第j号井的费用（万元）
表示j号井的当年产水量（万吨）
表示管道长度（公里）
表示第i年建设输水管道的长度，其中
表示输水管道每年的可输水量
表示总费用（管输费用与打井费用之和）
表示总的管输费用
表示第i年的管输费用,其中i=1,2，3
表示原来四口井在第i年的总产水量，其中i=1,2,3,4,5
5、模型建立与求解
5.1J—Q模型建立：
表3给出四口水井近9年的产水量统计数字，由表中数据可知原有的四口水井产水量逐渐减少。
年份
产水量
编号
2003
2004
2005
2006
2007
2008
2009
2010
2011
1号井
32.2
31.3
29.7
28.6
27.5
26.1
25.3
23.7
22.7
2号井
21.5
15.9
11.8
8.7
6.5
4.8
3.5
2.6
2.0
3号井
27.9
25.8
23.8
21.6
19.5
17.4
15.5
13.3
11.2
4号井
46.2
32.6
26.7
23.0
20.0
18.9
17.5
16.3
表3
因为这4口井在往后的几年里还可以产水，根据提供的数据分别画出四口井每年的水量（万吨）与时间（年）的关系。
（1）根据1号井提供的数据画出每年的水量（万吨）与时间（年）的关系，如下图1所示：
图1
根据图1反应1号井每年的水量（万吨）与时间（年）的关系，用EXCEL进行拟合（见附件1）得1号井每年的水量（万吨）与时间（年）的函数关系：
（1）根据2号井提供的数据画出每年的水量（万吨）与时间（年）的关系，如下图2所示：
图2
根据图2反应2号井每年的水量（万吨）与时间（年）的关系，用EXCEL进行拟合（见附件1）得2号井每年的水量（万吨）与时间（年）的函数关系：
（3）根据3号井提供的数据画出每年的水量（万吨）与时间（年）的关系，如下图3所示：
图3
根据图3反应3号井每年的水量（万吨）与时间（年）的关系，用EXCEL进行拟合（见附件1）得3号井每年的水量（万吨）与时间（年）的函数关系：
（4）根据4号井提供的数据画出每年的水量（万吨）与时间（年）的关系，如下图4所示：
图4
根据图4反应4号井每年的水量（万吨）与时间（年）的关系，用EXCEL进行拟合（见附件1）得4号井每年的水量（万吨）与时间（年）的函数关系：
由以上函数关系式可得未来五年四口井的产水量如下表4：
编
号
产水量
年份
2012
2013
2014
2015
2016
1号井
21.4
20.2
19
17.8
16.6
2号井
1
0
0
0
0
3号井
9.1
7
4.9
2.8
0.6
4号井
15.5
14.8
14.2
13.6
13
产水总量（）
47
42
38.1
34.2
30.2
表4
故建立如下费用最小模型：
目标函数：
（1）
约束条件：
1.管输费用约束
其中为整数
（2）
=（3）
，（4）
（5）
2.每年最多可提供60万元用于该村打井和管输工程
第一年：
（6）
第二年：
（7）
第三年:
（8）
3.保证该村从2012至2016年这五年间每年分别能至少获得150、160、170、180、190万吨水
第一年：
（9）
第二年：
（10）
第三年：
（11）
第四年：
（12）
第五年：
（13）
4.在三年中每个供打井的位置只可以打一口井，其中，应有
（14）
5.0—1约束：
（15）
5.2模型求解
（1）—（15）构成整数规划模型，输入lingo见附件2
求解结果：
最小总费用为169万元。
第1年花费20万元打造2,3,6,8号井，花费36万元铺设管道约5.209公里，共计56万元；第二年花费5万元打造7号井，花费50万元铺管道约7.235公里，共计55万元；第三年花5万元打造1号井，花费53万元铺管道约7.669公里，共计58万元。
六、模型推广
6.1.1C—Y—G模型建立：
将政府的最大投资（每年60万元）均用来为该村打井和管道铺设，从2012年至2014年三年里仅可以由原来的四口井和新打的井来满足每年分别能至少获得150、160、170万吨水。
为了用更多的钱来铺设管道，我们在满足用水量的前提下，用最少的钱来打井，即目标函数为：
（16）
约束条件：
1.每年最多可提供60万元用于该村打井和管输工程
第一年：
（17）
第二年：
（18）
第三年:
（19）
2.保证该村从2012至2016年这三年间每年分别能至少获得150、160、170万吨水
第一年：
（20）
第二年：
（21）
第三年：
（22）
3.在三年中每个供打井的位置只可以打一口井，其中，应有
（23）
4.0—1约束：
用剩下的钱全部用来铺设管道，目标函数：
（24）
1.管输费用约束
其中为整数（25）
（26）
（27）
（28）
（29）
2.保证该村从2012至2016年这五年间每年分别能至少获得180、190万吨水
第四年：
（30）
第五年：
（31）
6.1.2模型求解
（16）—（31）构成整数规划模型，输入lingo见附件3
求解结果：
打井最小总费用为30万元，管道最大输水量117.3929万吨水。
第1年花费20万元打造2,3,6,8号井，剩下的费用40万元铺设管道约5.333公里；第二年花费5万元打造7号井，剩下的费用55万元全部铺管道约7.333公里；第三年花费5万元打造1号井，剩下的费用55万元全部铺管道约7.333公里。
6.2.1C—Y—J模型建立：
第三年打井提供最多的水目标函数：
1.保证该村从2012至2016年这三年间每年分别能至少获得150、160、170万吨水
第一年：
（32）
第二年：
（33）
第三年：
（34）
3.在三年中每个供打井的位置只可以打一口井，其中，应有
（35）
4.0—1约束：
用剩下的钱全部用来铺设管道，目标函数：
（36）
1.管输费用约束
其中为整数（37）
（38）
（39）
（40）
（41）
2.保
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