工程硕士数学.docx

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工程硕士数学

教材：

关治，陆金甫

数值方法清华大学出版社

2006

参考书：

RichardL.Burden&J.DouglasFaires

NumericalAnalysis

（7ed）

第1章　引论

§1数值分析研究对象与特点

（I）数学与科学、工程技术有非常密切关系，并相互影响。

科学与工程技术领域中的问题通过简化、抽象建立数学模型。

对数学模型的研究和求解，应用于科学与工程实践。

数学模型的建立与研究是数学研究的重要任务。

例如，设有一个质量为的质点作直线运动（设其在轴上运动），其坐标用表示。

在质点运动过程中，其坐标随时间而变动，要知道质点如何运动，就要知道对时间的依赖关系。

假定运动是在力的作用下进行的，而力又与时间，质量的位置，速度有关，即。

由Newton第二定律，，即在时刻t有

为使问题定解，还需加上初始条件

这样的初值问题，其解存在，唯一，连续依赖于初始数据…是数学工作者要研究和解决的问题。

作为科学与工程技术工作者，仅知道其解的存在，唯一…是不够的，还必须知道其数量是多少。

很多线性与非线性问题很难用解析方法来求得，甚至于看来简单的问题，也难于解析求解，如不能用解析方法求得。

很多需要数字结果的科学与工程问题，得到数学模型后，必须采用数值方法来求解。

数值分析则是研究数值方法求解科学与工程问题的一门学科，主要是构造适合于不同类型问题的数值方法，分析方法的精度、稳定性、收敛性等一系列理论与实际问题。

改进计算方法，创造新的数值方法是数值分析很重要的任务。

数值分析具有两个显明特点：

1.实践性　数值求解的总是来源于科学与工程实践，解决之后又为科学与工程技术服务。

2.与计算机的密切相关虽然数值分析早于计算机的出现，但是数值分析的飞速发展是计算机出现之后，并随计算机发展而迅速发展。

计算机为用数值方法进行科学与工程计算提供了条件，而数值方法的发展又推动了计算机的发展。

现在大量的科学与工程问题可用计算机进行求解。

过去完全靠实验的学科，如气体动力学，目前大量以数值方法用计算机来完成。

科学计算已与理论研究，科学实验已成为当今科学研究的三大方法与手段。

（）数值分析基本内容

1.数值逼近

函数插值，逼近，数值积分；

2.数值代数

数值线性代数：

线性方程组求解，特征值问题数值解，线性最小二乘问题，非线性方程及方程组数值解法。

3.微分方程数值解法

常微分方程初值问题，边值问题，偏微分方程（有限差分，有限元）。

§2　误差与有效数字

（I）误差来源

数值分析是研究求解数学问题的数值方法，在计算过程中，误差是不可避免的，引起误差的因素很多，主要有

1.数学模型误差

2.观测误差（测量误差）

3.截断误差，例

当很小时，，由此看出

，用来近似的误差为

4.　舍入误差

在计算过程中，往往对数字“4舍5入”。

受计算机字长限制，无法对无穷小数进行运算，必须化为具有一定位数的数字进行运算这样引起的误差称舍入误差。

（II）绝对误差，相对误差

设为准确值，为其近似值，令，称其为近似值的绝对误差，或称误差。

由于往往未知，故一般不能求出。

称为的相对误差。

由于往往未知，因此也称其为相对误差。

假定为某一实数的准确值，为其近似值，可对的绝对误差作估计

称为的绝对误差界，或称误差界。

相应于

称为的相对误差界。

例　　　　取

　　可令其绝对误差界；相对误差界

（III）有效数字

有效数字是近似值的一种表示方法，它既能表示近似值的大小，也能表示其精确程度。

在数值计算过程中，用四舍五入原则取的前n位数为其近似值，例如

取前4位，

可以看出，，　四舍五入得到的数，其绝对误差不超过未位数的半个单位。

例5　　

取前面5位　

定义　　如果近似值的绝对误差界为，那么称准确到小数点后第位，并从第1个非零数字到这一位所有数字称为有效数字。

例　1.414　准确到小数点后第3位，有4位有效数字。

　　　3.1416准确到小数点后第4位，有5位有效数字。

（IV）数值计算中注意的问题

1.避免两个相近的数相减。

2.避免大数“吃”小数。

3.避免除数的绝对值远小于被除数的绝对值。

4.简化运算次数。

§3数值稳定性

计算积分

要计算15个积分。

方便起见，建立递推公式。

注意到

由此得　　

取　　

下面来分析递推公式计算结果是否正确？

可以看出，，由此推断，用递推公式计算不对。

计算时，由于4舍5入，存在误差。

再考虑

计算时，事实上采用公式，即

准确公式为

两者相减有　　　　　　

由的误差，通过递推公式的误差为的倍。

定义，对于一个算法，如果初始有误差（舍入误差，截断误差），在运算过程中误差无限增加，不能控制，那么称该算法是数值不稳定的，反之为数值稳定的。

可以看出，上述递推算法是数值不稳定的。

算法2.

取

由　得

用此递推公式结果可以看出，很准确。

仍考虑　

从出发，计算时，

初始误差经运算，误差被控制,上述算法是数值稳定的。