城市消防队的选址.docx

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城市消防队的选址

城市消防队的选址

摘要

随着城市的发展，街道、小区相互交错，突发火灾往往会造成巨大的损失。

针对消

防队合理选址的问题，本文首先通过聚类分析作出初步规划，其次运用分块求解的思路

得出了所有位置点坐标的响应时间函数，建立0-1规划模型，解决了在不同约束条件下

的选址问题，研究了模型在假设不成立情况下的再规划算法，为解决实际情况下合理确定消防队选址提供了依据。

针对问题一，首先提取出决策变量、约束条件，其次对已有指标进行标准化处理，得到总响应时间的目标函数，从而解出所有点的响应时间；最后对不同点的响应时间比较得到最优方案。

针对问题二，首先对问题进行考察，将其定性为多目标规划模型。

先结合问题一的模型，构造k=2时的响应函数；然后根据问题一中的初始模型增加约束条件，运用分块

的方法简化求解；且在不同区域仍然沿用问题一的求解方法，辅助于MATLAB计算得到符合要求的最佳选址地点。

最后在对本市街道图平均分块的基础上给出k3时的响应函数。

针对问题三，首先对增加的第一个消防队位置的限定条件进行分析，得出仍是基于问题一的多目标规划；然后采取问题一的解决方法，建立了简洁的离散规划模型；最后在考虑选取举例火情消防队的基础上，重新计算得到新的选址方案。

针对问题四，首先对增加的第k+1个消防队位置的限定条件进行分析，，为尽量缩短总响应时间，当某一街道中点发生火灾时，让距离近的消防队实施救援任务。

由火灾点与k+1个消防队最短距离之和的目标函数和搜索算法求解。

针对问题五和问题六，在取消了火灾发生点和消防队位置固定在街道中央的假设基础上，采用灵敏度分析研究其在变化时对模型最优解的影响并以此对模型进行评价和改进。

本文的优点是运用了分块求解的算法，建立了多目标规划模型，降低问题求解的规模，而不仅仅是通过枚举法对所有方案进行遍历，从而比较深入的研究了消防队的选址问题。

关键词分块求解0-1规划模型多目标规划模型灵敏度分析

1问题重述

图1示意了某城市27个正方形街区的分布，阴影部分是一个矩形障碍。

为简化问题，假设街区的长度为2个单位长度；火灾集中发生在每条街道的中点；消防队设置于街道的中点。

北

图1、某城市27个正方形街区的分布示意图

现需要在这个城市建设若干个消防队，你们的任务是为消防队选定位置，使得总响

应时间最少。

（1）准备建立1个消防队，应建在哪里？

（2）准备建立2个消防队，应建在哪里？

如果准备建立k个消防队呢？

（3）在问题1完成的条件下（已建立1个使得总响应时间最少的消防队），需要再建立1个消防队，该如何选址？

（4）一般地，考虑问题2完成的条件下（已建立k个使得总响应时间最少的消防队），需要再建立第k+1个消防队，该如何选址？

（5）你们也已发现，火灾集中发生在每条街道的中点的假设是很不合理的，如果去掉这个假设，你们的模型还能工作吗？

（6）如果消防队的位置不限定于街道的中点，你们有何评论？

2问题分析

城市消防队的合理选址对及时有效应对突发状况有着重要的作用。

本题依据实际应

用需求和准则优化目标，考察依据特定的城市街区实况选取地址的问题，要求在不同条

件下总响应时间最少。

问题一首先从最简单的情况出发，只建立一个消防队，单纯考虑每一点与总响应时

间的一一对应关系。

本文在解决问题时，首先考虑到这是一道小规模的规划问题，分别

用MATLAB计算出每一点的总响应时间，从而选出总响应时间最少的那个点作为消防队的最优选址。

问题二是在问题一的基础上增加了一个或多个消防队，进一步增加了对各个消防队

间选址关系的限制。

本文首先结合问题一的模型，构造k=2时的响应函数；其次对问题

一中的初始模型增加约束条件，通过分块简化求解，然后在不同区域仍然沿用问题一的求解方法，运用MATLAB计算得到符合要求的最佳选址点。

问题三是对问题一的继承和发展，增加了第一个消防队位置的限定条件，，要求得到新的符合约束的选址方案。

本文沿用问题一的思路，依旧建立了简单的离散规划模型，在考虑选取距离火情消防队的基础上，重新计算得到新的选址方案。

问题四的解决建立在问题二的基础上，又受问题二的限制，为尽量缩短总响应时间，当某一街道中点发生火灾时，让距离近的消防队实施救援任务。

建立使火灾点与k+1个消防队最短距离之和最小的目标函数，并用搜索算法求解。

问题五和问题六，在取消了火灾发生点和消防队位置固定在街道中央的假设基础上，采用灵敏度分析研究其在变化时对模型最优解的影响并以此对模型进行评价和改进。

3符号约定

TMij

消防队到街道任意Mij（i,j）街道中点的时间

X

任一街道中点横坐标

Y

任一街道中点纵坐标

T

消防队到所有街道中点所需要的总响应时间

Xi

第i个消防站位置的横坐标

Yi

第i个消防站位置的纵坐标

Yij

vi点发生火灾时，是否由位于vj的消防队实施救援

Xj

是否在vj点建立消防队

4模型假设

（1）矩形障碍区域中均不会发生火灾；

（2）每个地区发生火灾的可能性较低，可以认为在同一街区不会同时发生两起事件；

（3）忽略车辆拐弯和过十字路口的时间，仅考虑沿街道行驶的时间；

（4）认为车辆行驶经过所有街道的时间相等，为2；

（5）设置的所有消防队功能相同，当火灾发生时，总能从离事件最近的消防队派出车辆；

（6）所有地点发生灾情的可能性相同，次数设为单位1；

（7）当连接两点不同路径所用时间相同时，路径可以任选其一。

（8）障碍北侧和西侧道路可以通行。

5问题一模型的建立与求解

5.1问题的分析

根据对问题的整体把握，我们认为应急车辆做出响应时间最短是指到达事件发生点

的时间最少，这样可能的位置点数只有有限个，所以我们将其定性为小规模的规划问题，

可行解的解空间相对较小，只需要检验每一个位置点对所有街区发生时间做出的响应

时间，选择响应时间最少的那个点建立消防队。

以左下角（西南角）为原点（0，0），东西为x轴，南北为y轴（如图1-2）。

图1-2

5.2模型的建立

基于条件我们做出如下分析：

一个位置点对某一街区发生事件的响应时间=位置点到街区的街道数车辆行驶一条街道的时间；

一个位置点对城市所有应急事件的响应时间总和=该位置点对所有街区的应急

事件响应时间的总和；

取总响应时间最少的位置点为消防队的选址点。

消防队到街道中点Mij（i，j）的时间计算公式为：

X1

-i+2

X1为偶数且Y1=j且X1?

i

TMij=Y1-j+2

X1为奇数且X1=i且Y?

j

X1

-i+Y1-j

其他

其中（X1，Y1）表示消防队的位置坐标；

可以求出消防队到所有街道中点所需要的总响应时间T：

T=TMij

同理可求出其他所有点的响应时间，比较所有点的响应时间从而找出最小值，其所

在的位置坐标即为所求的消防队位置坐标。

5.3模型的求解

经计算可得，消防队的位置应为（5,6）（6，7），并且可以算出从这一点到任意一个街道中点的总响应时间为426（如图1-3），存在两个最佳位置，其他的任何地方的响应时间都会大于426。

还注意到从这个位置到临近障碍区的街道并不因为障碍而增加时间。

其他点的响应时间见附录一。

图1-3

6多目标分析规划模型的建立与分块法求解

6.1问题的分析

而问题二相对于问题一，其计算量随着k值的增加呈现几何倍数增长，这种大规模离散问题难以直接求解。

本文在解决问题时，在k值较小对现实问题进行抽象，初步建

立简单的多目标规划模型，将题目中的有效信息转换为决策目标、约束条件和目标函数，然后运用MATLAB对模型进行求解，从而得到最优解；在k4时由于计算量过大导致计算机无法有效求解，在对本市街道图平均分块的基础上结合模型一给出k3时的响应函数。

6.2模型的建立

6.2.1k=2时模型的建立与求解

以左下角（西南角）为原点（0，0），东西为x轴，南北为y轴，建立坐标系（如图1-4）。

图1-4

一个位置点对某一街区发生事件的响应时间=位置点到街区的街道数车辆行驶一条街道的时间；

一个位置点对城市所有应急事件的响应时间总和=该位置点对所有街区的应急事件响应时间的总和；

取总响应时间最少的位置点为消防队的位置。

两个消防队到任意街区中点Mij（i，j）的时间T1，T2计算公式为：

X1-i+2

X1为偶数且

T1=Y1-j+2

X1为奇数且

X1-i+Y1-j

其他

X2

-i+2

X1为偶数且

T2=Y2-j+2

X1为奇数且

X2

-i+Y2-j

其他

Y1=j且X1?

i

X1=i且Y?

j

Y1=j且X1?

i

X1=i且Y?

j

其中（X1，Y1）表示第一个消防队的位置坐标，（X2，Y2）表示第二个消防队的位置坐标，

TM=Min（T1，T2）

建立使消防队与各街道中点的距离之和最小的目标函数

MinZ=

TMgYij

i

j

下面确定约束条件，

建立两个消防队

Xj=2

j

当vi发生火灾时，只有一个消防队实施救援

Yij=1（i=1,2...）

j

vi点发生火灾时，只有在vj点建立消防队，才能由此处的消防队实施救援

Yij

Xj

其中Yij=1表示vi

点发生火灾时，由位于

vj的消防队实施救援，Yij

0表示vi点发生火

灾时，不由位于vj的消防队实施救援，Xj

1表示在vj点建立消防队，Xj

0表示不在

vj点建立消防队。

得到整数线性

0-1规划

MinZ=

TYij

i

j

j

Xj

=2

s.t.

（

）

Yij=1

i=1,2...

j

Yij?

Xj

运用MATLAB编程可求的最优解为（9，10）（3，2）或（10，9）（3，2）或（10，9）（4，3），总响应时间为298。

6.2.2k3时模型的建立与求解

利用城市街区的分布特点，根据其局部对称性，对城市区域进行均匀连续划分，缩小消防队建立点的范围，简化搜索算法。

当求解k个消防队的位置时，可以将城市街

区划分为k块，在每一块内求得局部最优解，作为搜索的起始解，简化算法。

当k=2时，尽量使两个消防队的管辖的点数目相同，以矩形障碍物西北角上的顶点与整个城市最西北角上的顶点的连线为界，将城市划分为两个区域，然后分别求出各个区域的最优解为（10，9）（3，2），总响应时为298，与整数规划所得最优解有较好一致性。

图1-5

其中※表示消防队的