ARCH模型和GARCH模型.docx
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ARCH模型和GARCH模型
第7章、ARCH模型和GARCH模型
研究内容：
研究随时间而变化的风险。
（回忆：
Markowitz均值－方差投资组合选择模型怎样度量资产的风险）
本章模型与以前所学的异方差的不同之处：
随机扰动项的无条件方差虽然是常数，但是条件方差是按规律变动的量。
波动率的聚类性（volatilityclustering）：
一段时间内，随机扰动项的波动的幅度较大，而另外一定时间内，波动的幅度较小。
如图，
§1、ARCH模型
1、条件方差
多元线性回归模型：
条件方差或者波动率（Conditionvariance，volatility）定义为
其中是信息集。
2、ARCH模型的定义
Engle（1982）提出ARCH模型（autoregressiveconditionalheteroskedasticity，自回归条件异方差）。
ARCH（q）模型：
（1）
的无条件方差是常数，但是其条件分布为
（2）
其中是信息集。
方程
（1）是均值方程（meanequation）
✓：
条件方差，含义是基于过去信息的一期预测方差
方程
（2）是条件方差方程（conditionalvarianceequation），由二项组成
✓常数
✓ARCH项：
滞后的残差平方
习题：
方程
（2）给出了的条件方差，请计算的无条件方差。
证明：
利用方差分解公式：
Var（X）=VarY[E（X|Y）]+EY[Var（X|Y）]
由于，所以条件均值为0，条件方差为。
那么，
推出，说明
3、ARCH模型的平稳性条件
在ARCH
（1）模型中，观察参数的含义：
当时，
当时，退化为传统情形，
ARCH模型的平稳性条件：
（这样才得到有限的方差）
4、ARCH效应检验
ARCHLMTest：
拉格朗日乘数检验
建立辅助回归方程
此处是回归残差。
原假设：
H0：
序列不存在ARCH效应
即
H0：
可以证明：
若H0为真，则
此处，m为辅助回归方程的样本个数。
R2为辅助回归方程的确定系数。
Eviews操作：
①先实施多元线性回归
②view/residual/Tests/ARCHLMTest
§2、GARCH模型的实证分析
从收盘价，得到收益率数据序列。
seriesr=log（p）-log（p（-1））
点击序列p，然后view/linegraph
1、检验是否有ARCH现象。
首先回归。
取2000到2254的样本。
输入lsrc，得到
DependentVariable:
R
Method:
LeastSquares
Date:
10/21/04Time:
21:
26
Sample:
20002254
Includedobservations:
255
Variable
Coefficient
Std.Error
t-Statistic
Prob.
C
0.000432
0.001087
0.397130
0.6916
R-squared
0.000000
Meandependentvar
0.000432
AdjustedR-squared
0.000000
S.D.dependentvar
0.017364
S.E.ofregression
0.017364
Akaikeinfocriterion
-5.264978
Sumsquaredresid
0.076579
Schwarzcriterion
-5.251091
Loglikelihood
672.2847
Durbin-Watsonstat
2.049819
问题：
这样进行回归的含义是什么？
其次，view/residualtests/ARCHLMtest，得到
ARCHTest:
F-statistic
5.220573
Probability
0.000001
Obs*R-squared
44.68954
Probability
0.000002
TestEquation:
DependentVariable:
RESID^2
Method:
LeastSquares
Date:
10/21/04Time:
21:
27
Sample（adjusted）:
20102254
Includedobservations:
245afteradjustingendpoints
Variable
Coefficient
Std.Error
t-Statistic
Prob.
C
0.000110
5.34E-05
2.060138
0.0405
RESID^2（-1）
0.141549
0.065237
2.169776
0.0310
RESID^2（-2）
0.055013
0.065823
0.835766
0.4041
RESID^2（-3）
0.337788
0.065568
5.151697
0.0000
RESID^2（-4）
0.026143
0.069180
0.377893
0.7059
RESID^2（-5）
-0.041104
0.069052
-0.595260
0.5522
RESID^2（-6）
-0.069388
0.069053
-1.004854
0.3160
RESID^2（-7）
0.005617
0.069178
0.081193
0.9354
RESID^2（-8）
0.102238
0.065545
1.559806
0.1202
RESID^2（-9）
0.011224
0.065785
0.170619
0.8647
RESID^2（-10）
0.064415
0.065157
0.988613
0.3239
R-squared
0.182406
Meandependentvar
0.000305
AdjustedR-squared
0.147466
S.D.dependentvar
0.000679
S.E.ofregression
0.000627
Akaikeinfocriterion
-11.86836
Sumsquaredresid
9.19E-05
Schwarzcriterion
-11.71116
Loglikelihood
1464.875
F-statistic
5.220573
Durbin-Watsonstat
2.004802
Prob（F-statistic）
0.000001
得到什么结论？
2、模型定阶：
如何确定q
实施ARCHLMtest时，取较大的q，观察滞后残差平方的t统计量的p－value即可。
此处选取q＝3。
因此，可以对残差建立ARCH（3）模型。
3、ARCH模型的参数估计
参数估计采用最大似然估计。
具体方法在GARCH一节中讲解。
如何实施ARCH过程：
由于存在ARCH效应，所以点击estimate，在method中选取ARCH
得到如下结果
DependentVariable:
R
Method:
ML-ARCH
Date:
10/21/04Time:
21:
48
Sample:
20002254
Includedobservations:
255
Convergenceachievedafter13iterations
Coefficient
Std.Error
z-Statistic
Prob.
C
-0.000640
0.000750
-0.852888
0.3937
VarianceEquation
C
9.24E-05
1.66E-05
5.569337
0.0000
ARCH
（1）
0.244793
0.082640
2.962142
0.0031
ARCH
（2）
0.081425
0.077428
1.051624
0.2930
ARCH（3）
0.457883
0.109698
4.174043
0.0000
R-squared
-0.003823
Meandependentvar
0.000432
AdjustedR-squared
-0.019884
S.D.dependentvar
0.017364
S.E.ofregression
0.017535
Akaikeinfocriterion
-5.495982
Sumsquaredresid
0.076872
Schwarzcriterion
-5.426545
Loglikelihood
705.7377
Durbin-Watsonstat
2.042013
为了比较，观察将q放大对系数估计的影响
DependentVariable:
R
Method:
ML-ARCH
Date:
10/21/04Time:
21:
54
Sample:
20002254
Includedobservations:
255
Convergenceachievedafter16iterations
Coefficient
Std.Error
z-Statistic
Prob.
C
-0.000601
0.000751
-0.799909
0.4238
VarianceEquation
C
9.38E-05
1.60E-05
5.880741
0.0000
ARCH
（1）
0.262009
0.090256
2.902959
0.0037
ARCH
（2）
0.041930
0.070518
0.594596
0.5521
ARCH（3）
0.452187
0.108488
4.168076
0.0000
ARCH（4）
-0.021920
0.050982
-0.429956
0.6672
ARCH（5）
0.037620
0.044394
0.847408
0.3968
R-squared
-0.003550
Meandependentvar
0.000432
AdjustedR-squared
-0.027830
S.D.dependentvar
0.017364
S.E.ofregression
0.017603
Akaikeinfocriterion
-5.483292
Sumsquaredresid
0.076851
Schwarzcriterion
-5.386081
Loglikelihood
706.1198
Durbin-Watsonstat
2.042568
观察：
说明q选取为3确实比较恰当。
4、ARCH模型是对的吗？
如果ARCH模型选取正确，即回归残差的条件方差是按规律变化的，那么标准化残差就会服从标准正态分布，即不会有ARCH效应了。
为什么？
请思考。
对q为3的ARCH模型做LMtest，发现没有了ARCH效应。
注意，虽
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