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2W2v6或一4v2x<
0.
解得：
1Wv3或—2vxW0.
1Wxv3}
故原不等式的解集为｛xI—2vx<
0或
误区点评：
在进行原不等式等价转化时，容易发生以下失误.
在第一种解法中，将不等式转化为K2—1V5或—1W2—1V5,
在第二种解法中，将不等式转化为
52x15
2x11
2•含有两个或两个以上的绝对值号的不等式的解法.
［例2］解不等式丨x+3|+|x—3|>
&
这是一个含有两个绝对值符号的不等式，为了使其转化为解不含绝对值符号的不等式，应进行分类讨论.
令x+3=0,x—3=0，得x=—3或3.
x
3
•••①
8，解得：
x>
4
②X
8
，解得：
.
③
xv—
取①②③的并集得原不等式的解为x>
4或xv—4.
点评：
解这类绝对值符号里是一次式的不等式如：
|x—a|+|x—b|>
c或|x—a|—|x—b|v
c,|x—a|>
|x—b|或|x—a|>
x—b常用"
零点分段法”.其一般步骤为：
（1）分别求出每个绝对值为零的根，称之为零点；
（2）将各零点在数轴上标出来，它们将数轴分成若干段；
（3）依次对各段上的x进行讨论，求出相应所得不等式的解集；
（4）取这些不等式解集的并集即得原不等式的解集.
思路二：
利用函数的图象解题.
分别画出y1=|x+3|+|x—3|与y2=8的图象.
1
\
/
口
6
-4-3
34埼
图1—12
2xx3
63x3
yi=
由图象观察可知：
要使yi>
y2,只须xv—4或x>
4.
原不等式的解集为{x|xv—4或x>
4}.
思路三：
利用绝对值的几何意义解题.
|x+3|+|x—3|>
8
川S1
-4-303i戈
图1—13
表示数轴上与A（—3）,B（3）两点距离之和大于8的点，而|AB|=6,如图1—12.
因此，要找与A、B距离之和为8的点，只须由点B右移1个单位，或点A左移一个单位，如图1—13.由图象可得：
原不等式的解集为{x|xV—4或x>
对于形如|x—a|+|x+b|>
c,|x—a|—|x—b|vc,或|x—a|>
|x—b|的不等式，
利用不等式的几何意义或者画出左右两边的图象去解不等式，更为直观，简捷.
3.解关于x的绝对值不等式|ax+b|>
c（az0）.
［例3］解不等式|ax+b|>
c（az0）
当cv0时，解集为R.
当c>
0时，得ax+b>
c或ax+bv—c,即：
ax>
c—b或axv—c—b.
cbbc
（i）a>
0时，不等式的解集为{x|x>
a或xv—a}
bccb
（ii）av0时，不等式的解集为{x|x>
—a或xva}.
b
当c=0时，不等式的解集为{x|x€R且x—a}
在解含有字母的绝对值不等式时，要讨论字母的取值范围，考虑全面.
［例4］解不等式|x+1|>
2—x.
对2—x的取值分类讨论.
（1）当2—x>
0时，（x+1）2>
（2—x）2得2vxw2
（2）当2—xv0时，不等式恒成立.•••x>
2.
•不等式的解集为{x|x>
2}
对x+1的取值进行分类讨论.
原不等式等价于：
或（x1）2x
利用等价形式.
原不等式等价于X+1>
2—x或x+1vx—2,得x>
2或
•不等式解集为{x|x>
2}.
a€R，贝V
1.如何理解绝对值的几何意义?
实数的绝对值，设
Ia|=a
因而，|x—2|v3的解集是数轴上到
|x—2|的几何意义是x在数轴上的对应点之间的距离,
2的对应点的距离小于3的点所对应的数组成的集合.
即{x|—1Vxv5}如图1—14.
对于这类题，关键在于正确地揭示问题的背景，实施正确的转化，还应注意端点是否能取到.
2.|ax+b|vc和|ax+b|>
0）的解有何区别?
类型
化去绝对值后
集合上解的意义区别
|ax+b|vc
—cvax+bvc
{x|ax+b>
—c}A{x|ax+bvc},交集
|ax+b|>
c
ax+bv—c或ax+b>
{x|ax+bv—c}U{x|ax+b>
c},并集
3.利用数轴时应注意的几个问题：
•”表示；
或w”端点值
注意端点值能否取到.“>
或<
”，端点值取不到，对应在数轴上用“能取到，对应在数轴上，用“•”表示，反之亦然.
v3且丨x—2|>
1,最后两个不等式的解集应取交集.而丨3x—2|>
3等价于3x—2v—3或3x—2>
3,
最后应取其并集.
W.思维拓展
［例6］若不等式|x—4|+|3—x|va的解集是空集，求a的取值范围.
直接进行分类讨论.
①当aw0时，不等式|x—4|+|3—x|va的解集是空集.
2当a>
0先求不等式|x—4|+|3—x|va有解时a的取值范围.
令x—4=0,3—x=0，得x=4,x=3.
（i）当x>
4时，x—4+x—3va,即：
2x—7va.
a7
4W<
w2a>
1.
（ii）当3vxv4时，有4—x+x—3va,即卩a>
1.
（iii）当xw3时，有4—x+3—xva,即7—2xva.
7a
.2vaw3a>
1
综合（i）（ii）（iii）可知当a>
1时，原不等式有解.从而当0vawi时，原不等式的解集为
由①②两种情况可知不等式|x—4|+|3—x|va的解集是空集，a的取值范围是aw1点评：
对于a>
0的情况下，解答不等式|x—4|+|3—x|va解集为空集，求a的取值范围比较困难，常常转化为求不等式|x—4|+|3—x|va有解时a的取值范围”这样就转化为我们熟悉的问题，使难度大大降低，这是补集思想的一种体现.
利用图象来解，把|x—4|+|3—x|va的解集为问题转化为y1=|x—4|+|3—x|
的图象与y1=a的图象无交点问题.
图1—15
令
y1=|x—4|+|
3—x|
2x7
4
x4
则y1=
作出其函数的图象
由图象观察可知当aw1时
y2=a与yi=2x7x3的图象无交点.
即：
|x—4|+|3—x|va的解集为
这种把求解问题转化为图象的交点问题或转化成求丨x—3丨+|x+2丨的最小值问题，体现了
一种化复杂为简单，化一般为特殊的思想方法，这也是解决数学问题的一般方法.
利用绝对值的几何意义，转化为求数轴上两点间的最小距离.
令y=|x—4|+|3—x|=|x—4|+|x—3|.
'
——1>
34不
图1—16
则y表示数轴上x对应点与4,3对应点的距离之和.
•••y的最小值为|4—3|=1.
a>
y的解集为空集时，aw1.
V.探究学习
设A={x||2x—1|<
3},B={x||x+2|<
1},满足下列条件的集合C是否存在，若存在求出，不存在说明理由.
1C:
（AUB）CE];
2C中有三个元素；
3CQB工.
【同步强化练习】
一、选择题
1.当a<
0时，ax>
b的解集为
A.{x|x<
a}
B.{x|x>
C.R
D.
2.不等式|2—x
1<
1的解集是
A.{x|x>
3}
B.{x|x<
1或x>
C.{x|x<
1}
D.{x|1<
x<
3.若不等式|2x+b|wc的解集是{x|—4ww6},贝Ub、c的值分别为
5.不等式|x—2|+|x+3|>
7的解集是
6.不等式5w|2x—5|<
20的解集是.
|x|2
2
7.若x3有意义，则x的取值范围是.
三、解答题
&
已知集合A={x||x-1|vc,c>
0=,B={x||x-3|>
4}且AnB=，求c的取值范
围.
9.解关于x的不等式a|x-1|>
2+a.
【同步强化练习答案】
一、1.A提示：
因av0，所以ax>
b，除以a时要变号，所以{x|xva}.
2.D提示：
因|2—x|v1等价于|x-2|v1所以一1vx—2v1,即卩1vxv3.
3.A提示：
因为|2x+b|wc-c<
2x+b<
c,即：
cbcbcbcb
2<
xw2，所以2=6,2=-4,解之：
b=-2,c=10.
2x123x3
4.B提示：
原不等式等价于3x-2v2x-1v2-3x.即2x13x2解之：
xv5,
•••原不等式的解集为{x|xv5}.
二、5.{x|xv-4或x>
3}提示：
不等式|x—2|+|x+3|>
7的等价式为：
x23x2x3
x2x37，2xx37，2xx37
解之：
xv-4或x>
3，所以不等式的解集为：
{x|xv-4或x>
25_J5
提示：
原不等式等价于5W2-5v20或一20v2x-5W-5,
6.{x|5Wxv4或2vxw0}
25
5Wxv2或一
15
2vxW0所以原不等式的解集为｛
些或
x|5Wxv2
2vxw0.
|x「2即x
x23x
所以x的取值范围：
{x|X》2或xW-■2且XM土3}
7.{x|x>
2或xw-2且x3}提示：
由题
-2或x■■2
三、&
解:
A=
={x|
x—1|
vc（c>
B={x||
x—
3|
>
4}
={x
|xv—1
•/anb=
L_
UJ
二1-c
1c
或x>
7}.
}={x|1—cvxV1+c,
Ovc<
9•解：
①当a>
0时，原不等式可化为|x—1|>
a+1
22
/•x—1>
a+1或x—1v—a—1
•••原不等式的解集为｛x|x>
a+2或xv—a｝
②当a=0时，原不等式化为0>
2,矛盾，
此时不等式的解集为
3当一2<
av0时，原不等式化为|
x—1|va+1（a+1>
0）
•••a+1v0,二原不等式的解集为
4当av—2时，原不等式可化为|
•—a—1vx—1va+1
•原不等式的解集为｛x|—avxva+2｝
综上可知：
当a>
2时，原不等式的解集为：
{x|x>
a+2或xv—a}；
当av—2时，原不等式的解集为｛
x|—avxva+2}
当一2WW0时，原不等式的解集为
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