画图的作用及思维水平分析Word格式.docx

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在这儿图起到了什么作用？

我们为什么要用图？

看得出来，图最初是情境的再现，是情境的替代物，是研究的媒介和抓手。

图是我们将现实情境转换一种方式表达我们的理解和思考的一种手段。

我们简称“转释”或“重组”。

三、几个问题

图可以作为转释情境的图，可以作为分析解决问题的图。

那么，它又是如何转释情境的？

转释的只是情境吗？

除了情境还有什么？

有时画图也不一定能解决问题，也就是说用图转释有正确转释和不当转释之分。

影响正确转释的因素有哪些？

我们应当关注什么？

四、作为转释情境的图

现实情境的因素多而繁杂，有时实地宏伟难以全纳视界，有时异地发生难入其境，单一用文字语言描述总难述清，这就需要做“减缩”的工作：

第一，将情境画成图，要省去一些无关枝节、突出需要的要素；

第二，将场景缩小，以便统观全貌。

我们先对第一种情况做一思考。

重点看一下图转释过程中的基本因素。

例1：

气象组有12人，摄影小组人数是气象小组的1/3，航模小组的人数又是摄影小组的3/4，航模小组有多少人？

下面是一学生画出的图：

在这个图中，我们可以找到下面思维框架中的因素：

对象：

三个摄影小组。

空间关系：

学生把三个小组的人数进行了排列，抽取。

时序关系；

用箭头描述了三个对象之间的关系。

数量关系：

有多少？

各个组有多少人？

这几个组间又有什么样的数量关系？

从图中我们看的一清二楚。

有时图还会涉及对象间的逻辑关系、因果关系、操作关系。

我们可以看出，画图将情境转释，常常需要将过程再现，常常会涉及描述事件的几个基本要素，但与一般的文学中的事件描述不同，它更侧重于数学因素的提炼。

在再现这个问题的发生过程中，重点关注涉及到的对象种类、数量关系、空间关系；

然后将这些关系进行数学语言、生活语言等形式转换（如上图中将情境转换成了图画，图形，符号等多种形式）。

五.作为分析解决问题的图

1.对空间关系的重组

例2

在这个问题的下方出现了两种图：

做为实景抽象的图和作为符号化抽象的图。

用人头像表示情境中的对象，这里的人头像还带有性别及个性特征的区分，这里的抽象是去情境化的，没有了踢毽子、数数、记录的情境。

但将学生和老师一字排列并做对应处理，有重组和结构化。

后者则可以看成去情境、去个性的，每个人的性别特征、个性化特征都已不在存在，都换成了符号。

关注的是这两类对象间的数量关系，当然，这个图中两类对象的空间排列也是经过结构化处理过的。

操场中各人的站位并不是这个问题的主要因素，被我们忽略了，被我们舍去了。

例3

左图中将结构化的点阵，再次用拆线做结构化处理，进行分类、隔断（我称之为“断句”），从而得到对应的算式，外显其变化规律。

这时的图是经过组织化的表征，伴有对数量、空间关系的整合。

这样的处理，常常会涉及时序、位置的空间关系，涉及大小、多少、和、差、倍、分的数量关系等。

2.对运算关系重组。

下面的图我们并不陌生。

例4

这里并没有按问题的时间展开序列画图，而是按我们读完题目以后，关注结论的思考过程画出的图，是呈现思考过程的图。

两种水果一共是什么意思？

每种水果各是多少？

知道了什么？

不知道什么？

怎样求出不知道的？

不知道的与已知有什么关系？

史宁中校长称这是思考的大逻辑。

这里呈现的是对运算关系和数量关系的重组和转释。

3.对逻辑关系重组

关系重组或转释，在小学除了涉及空间关系的时序和位置，涉及运算关系的四种基本运算外，还涉及从属与包含、衍生与拓展等逻辑关系。

例5

在图形的分类中，我们可以通过图清楚地看出各种图形中的逻辑关系。

图形包含立体图形和平面图形，平面图形又可以按其包含关系区分。

例6

同样，韦恩图呈现了数之间的逻辑关系。

而下面的图让我们看到图形间关系的衍生与拓展。

例7

4.在问题的转释过程中解决问题

有时，在情境转释中由图即可获答案。

如下图是对例1的一种画图解答。

有的题目涉及的数量较少，画出图就能够获得答案。

这个图是将问题中的对象、数量关系做了抽象化、结构化的转释。

有时，我们通过实物操作不用对情境中的对象和关系转释和重组也能获得解答。

综上，图是对问题情境的转释，是我们思考的媒介，可以帮助我们理解情境，分析寻找思路，获得答案。

六、画图不一定成功

当然，画图并不一定能正确解答问题，画图也有失败的情况。

下面的问题来自一位老师的投稿。

这是一个学生画出了图但最终没能找到问题的答案，是一个画图失败的例子。

例

看算式作图：

1/4﹡1/3.

学生在完成这个题目时的正确率只有57.5%。

其中典型的错误如下：

这位老师分析说：

““学生对算式中的1／4和1／3只是单独去理解，而不是把它放到一个乘法算式里面去理解，学生没有真正理解1／4×

1／3这个算式的意义，因此就不能用图来全面刻画这个算式所包含的意思。

”

那么，一个算式由两个因数和运算符号（意义）组成，学生没有真正理解的是因数还是运算符号（意义）？

从图上看学生对分数的意义是理解的，画图是对的。

错在不清楚运算的意义——乘法如何在图中表示。

下面的两图都是对例1画出的图。

例：

他画了图，但并没有对情境做进一步的转释，仅是对对象进行了转释（三个组），各组人数都是转释错的，第一组是12人，而第二组、第三组并不是1/3和3/4人。

从而看出他并不清楚分数表达的意义，“把这些数加到一块”说明他还不知道这几个数量之间的关系。

在这个图中，学生对情境、数量关系的转释都是正确的，也获得了正确的答案，但右上方的算式“4-1=3”却暴露出他对3/4这个关系的不当理解。

可见，要想画图成功，需要对问题情境、数量关系的正确转释，需要对数学语言（词汇、句法规则）的正确理解，否则会导致画图的失败。

Mayer在书中谈到对学生而言，问题转释历程是不容易的，尤其是有关系语句的问题（表示数量之间数量关系的陈述句）；

有些学生在转释过程中忽略关系句，而产生转释错误；

有些人把问题的每个陈述句分开转释，不知如何将两个陈述句之间关联在一起，因此他强调问题转释之后，更重要的要将陈述句整合连贯成一致的表征。

林香（民92）研究发现运用画图策略解题的数学资优生错误情形较多的是图画表征错误；

而有些研究（何缊琪和林清山，民83；

Goldin,1987,引自杨瑞智，民83；

Hegarty,Mayer,&

Monk,1995）也发现解题者在问题转释或表征阶段，除了忽略关系语句外，还有转释的方法亦是造成问题表征错误的原因。

他们指出学生在解数学问题时，经常直接设法转释问题叙述，到算术式或代数式，常用「关键词」直接促成转释，例如看到「共有」就用加法、「还剩」就用减法，忽略了问题的深层结构，造成解题失败，也就是只有转释问题陈述，而没有整合有关解题的条件信息。

七、画的不同层级

图是对具体问题的背景和问题本身蕴含的关系抽象的结果。

学生的图从画中呈现的元素可以大体分为情境再现、情境化抽象、结构化抽象、关系抽象四个层次。

1.情境再现

这个水平的图，带有明显的情境和个性化特征。

如，图中常常保留人物、动物的形状、性别、动作等对象的特征。

如下图：

学生用简笔画的形式，将情境还原，我们从图中就能看出这是与人物相关的一个情境。

一天认5个汉字，一周认多少个汉字？

这幅图画了纸，纸上有五个汉字，还有人在认字。

是把这个情境还原。

与原情境比，似乎不同的就是表征方式，原问题是文字的，这儿是图画的。

这是学生画的烙饼的图，从图中可以看出他画出了锅，且锅还带有把手，虽然这些与解决这个问题无关，但学生还是会把它很认真地画出来，因为他们会认为，这是这个问题中不可少的一些元素。

2.情境化抽象

此时的图虽然有了去情境化的倾向，但仍然保留动作、人物的部分特征，尤其是在图中的动势往往保持与情境中在动作方向上的一致性。

如：

下面是几位学生的画：

这两幅图都有一个相同点，图中的表示变化的标志与情境的变化动向是一致的，人物从左下方进入，而从右上方走出，其箭头的动向同此。

人物围成圆圈，图中也用圆圈表达。

与上面的水平相比，大大减少了无关因素。

去情境化、去个性化有所体现。

3.结构化抽象

在这个图的上半部分的图带有情境化因素，而下半部分的图，是第二次转释以后的，呈现的只是结构关系。

4.关系把握

此时的图只是对数量关系的把握，有的甚至可以不用图而直观地看出题目中的关系。

此时的图，更多地是对关系结构的把握。

我们已看不出是什么情境、有什么动作等情境化、个性化的因素。

D小学有280个学生。

S小学比D小学多89个学生。

E小学比D小学多62个学生。

一共有多少个学生？

学生的图如下：

这两个图都很好的理解了比较和题目中“多”的含义。

比较一端对齐，多出的部分要长一部分。

从结构上理清了他们的关系。

在这样的图中，我们看不到情境和个性的影子了。

看到的是结构，是关系。

这几个层次并不是绝对的。

要视题目的难易而定。

其中呈现出的因素也不是全部含有，有时是部分呈现。

这几个层次的关系如下：

水平

内容

1

情境再现

情境再现、情境化抽象、结构化抽象、关系抽象

2

情境化抽象

情境化抽象、结构化抽象、关系抽象

3

结构化抽象

结构化抽象、关系抽象

4

关系抽象

八、教学建议

1.重视学生的数学思维。

解决问题的策略与发展学生的数学思维相结合。

要关注数学上的抽象，有的问题画图解决了，并不完全等于在数学形式上掌握了，基于情境理解的解决策略与基于算法结构的解决策略在数学思维上是不同的。

有时还需要做进一步的关系抽象，有时还需要从数学的角度对这个问题及其解决方法再反思和再抽象。

2.不强求学生画图，尤其不强求学生画统一的图。

画图与问题难度、情境新疏有关，而难度、情境新疏都与学生主体体验相关。

3.重视个性化的图。

同一个问题会有不同的方法，不同的问题会用到相同的方法。

策略培养是长期的工程，“没有解题策略是一次就学会的，也没有解题策略适用所有的问题情境”，要鼓励学生要建立一个解决问题的策略库。

4.让策略走进评价。

在考查中体现数学思维过程，重视解决问题的策略。

6.重视解题后的反思，要重视解题（前、中、后）的反思

我们不应过分追求解题的数量，而应更加注重解题的质量。

这里的“质量”．尤其是指要重视解题之后的反思，重视沟通各题目之间的内在联系。

当解题者面临疑难时，我们希望学生能够自觉主动地由一个问题联想到另一个问题，最终在头脑中形成一个问题串，在感受数学内在统一之美的同时，能有效地解决问题。

[1]文中图片引用了孙家芳（北京市朝阳区教研中心）、王笑晖（北京市海淀区石油附小）老师的调研，特此致谢。

[2]新世纪小学数学教材（北师大版）编委，青岛·

泰山版初中教材编委。

教育部北京师范大学基础教育课程研究中心数学工作副研究员