苏教版数学选修22第1章 131 单调性Word格式.docx
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在其定义域上是单调减函数.( )
(3)函数f(x)=x3-2x在(1,+∞)上单调递增.( )
(4)若存在x∈(a,b)有f′(x)=0成立,则函数f(x)为常数函数.( )
【答案】
(1)×
(2)×
(3)√ (4)×
2.函数f(x)=(x-3)ex的单调递增区间是________.
【解析】 f′(x)=(x-3)′ex+(x-3)(ex)′=(x-2)ex,
令f′(x)>
0,解得x>
2.
【答案】 (2,+∞)
[质疑·
手记]
预习完成后,请将你的疑问记录,并与“小伙伴们”探讨交流:
疑问1:
_______________________________________________
解惑:
疑问2:
疑问3:
[小组合作型]
判断(证明)函数的单调性
(1)求证:
函数f(x)=ex-x-1在(0,+∞)内是增函数,在(-∞,0)内是减函数.
(2)判断函数f(x)=
在区间(0,2)上的单调性.
【精彩点拨】 求出导数f′(x),然后判断导数的符号即可.
【自主解答】
(1)证明:
由于f(x)=ex-x-1,
所以f′(x)=ex-1,
当x∈(0,+∞)时,ex>
1,即f′(x)=ex-1>
0.
故函数f(x)在(0,+∞)内为增函数,
当x∈(-∞,0)时,ex<
1,即f′(x)=ex-1<
故函数f(x)在(-∞,0)内为减函数.
(2)由于f(x)=
,
所以f′(x)=
=
.
由于0<
x<
2,所以lnx<
ln2<
1,x2>
故f′(x)=
>
∴函数f(x)在区间(0,2)上是单调递增函数.
1.利用导数证明函数f(x)在给定区间上的单调性,实质上就是证明f′(x)>
0(或f′(x)<
0)在给定区间上恒成立.
2.利用导数判断可导函数f(x)在(a,b)内的单调性,步骤是:
(1)求f′(x);
(2)确定f′(x)在(a,b)内的符号;
(3)得出结论.
[再练一题]
1.证明:
函数y=lnx+x在其定义域内为增函数.
【证明】 显然函数的定义域为{x|x>
0},
又f′(x)=(lnx+x)′=
+1,
当x>
0时,f′(x)>
1>
0,
故y=lnx+x在其定义域内为增函数.
求函数的单调区间
求下列函数的单调区间:
(1)f(x)=x2-lnx;
(2)f(x)=
;
(3)f(x)=-x3+3x2.
【精彩点拨】 首先确定函数的定义域,再求导数,进而解不等式得单调区间.
【自主解答】
(1)函数f(x)的定义域为(0,+∞).
f′(x)=2x-
因为x>
0,所以
x+1>
0,由f′(x)>
,所以函数f(x)的单调递增区间为
由f′(x)<
0,解得x<
,又x∈(0,+∞),所以函数f(x)的单调递减区间为
(2)函数f(x)的定义域为(-∞,2)∪(2,+∞).
f′(x)=
因为x∈(-∞,2)∪(2,+∞),
所以ex>
0,(x-2)2>
由f′(x)>
3,所以函数f(x)的单调递增区间为(3,+∞);
3,又x∈(-∞,2)∪(2,+∞),所以函数f(x)的单调递减区间为(-∞,2)和(2,3).
(3)函数f(x)的定义域为R.
f′(x)=-3x2+6x=-3x(x-2).
当0<
2时,f′(x)>
0,所以函数f(x)的单调递增区间为(0,2);
当x<
0或x>
2时,f′(x)<
0,所以函数f(x)的单调递减区间为(-∞,0)和(2,+∞).
利用导数求函数单调区间的步骤:
(1)确定函数f(x)的定义域;
(2)求导数f′(x);
(3)由f′(x)>
0),解出相应的x的范围;
当f′(x)>
0时,f(x)在相应的区间上是增函数;
当f′(x)<
0时,f(x)在相应区间上是减函数.
(4)结合定义域写出单调区间.
2.若函数f(x)=x2-2x-4lnx,则函数f(x)的单调递增区间为________.
【导学号:
01580011】
【解析】 由已知f(x)的定义域为(0,+∞),
f′(x)=2x-2-
0得x2-x-2>
-1或x>
2,
又x>
0,所以函数f(x)的单调递增区间为(2,+∞).
[探究共研型]
已知函数的单调性求参数的取值范围
探究1 已知函数f(x)=x3-ax-1为单调递增函数,如何求实数a的取值范围.
【提示】 由已知得f′(x)=3x2-a,
因为f(x)在(-∞,+∞)上是单调增函数,
所以f′(x)=3x2-a≥0在(-∞,+∞)上恒成立,
即a≤3x2对x∈R恒成立,因为3x2≥0,所以只需a≤0.
又因为a=0时,f′(x)=3x2≥0,
f(x)=x3-1在R上是增函数,所以a≤0.
探究2 若函数f(x)=x+
+lnx(a∈R)在(1,+∞)上单调递增,求a的取值范围.
【提示】 函数f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=1-
+
由题意知,f′(x)≥0在(1,+∞)上恒成立,
即x2+x-a≥0在(1,+∞)上恒成立,
令g(x)=x2+x-a=
2-
-a,
则g(x)>2-a,从而2-a≥0,∴a≤2.
当a=2时,f′(x)>0在(1,+∞)上恒成立,
因此实数a的取值范围是(-∞,2].
已知关于x的函数y=x3-ax+b.
(1)若函数y在(1,+∞)内是增函数,求a的取值范围;
(2)若函数y的一个单调递增区间为(1,+∞),求a的值.
【精彩点拨】
(1)函数在区间(1,+∞)内是增函数,则必有y′≥0在(1,+∞)上恒成立,由此即可求出a的取值范围.
(2)函数y的一个单调递增区间为(1,+∞),即函数单调区间的端点值为1,由此可解得a的值.
【自主解答】 y′=3x2-a.
(1)若函数y=x3-ax+b在(1,+∞)内是增函数.
则y′=3x2-a≥0在x∈(1,+∞)时恒成立,
即a≤3x2在x∈(1,+∞)时恒成立,
则a≤(3x2)最小值.
1,所以3x2>
3.
所以a≤3,即a的取值范围是(-∞,3].
(2)令y′>
0,得x2>
若a≤0,则x2>
恒成立,即y′>
0恒成立,
此时,函数y=x3-ax+b在R上是增函数,与题意不符.
若a>
0,令y′>
0,得x>
或x<
-
因为(1,+∞)是函数的一个单调递增区间,所以
=1,即a=3.
1.解答本题注意:
可导函数f(x)在(a,b)上单调递增(或单调递减)的充要条件是f′(x)≥0(或f′(x)≤0)在(a,b)上恒成立,且f′(x)在(a,b)的任何子区间内都不恒等于0.
2.已知f(x)在区间(a,b)上的单调性,求参数范围的方法
(1)利用集合的包含关系处理f(x)在(a,b)上单调递增(减)的问题,则区间(a,b)是相应单调区间的子集;
(2)利用不等式的恒成立处理f(x)在(a,b)上单调递增(减)的问题,则f′(x)≥0(f′(x)≤0)在(a,b)内恒成立,注意验证等号是否成立.
3.将上例
(1)改为“若函数y在(1,+∞)上不单调”,则a的取值范围又如何?
【解】 y′=3x2-a,
当a<
0时,y′=3x2-a>
0,函数在(1,+∞)上单调递增,不符合题意.
当a>
0时,函数y在(1,+∞)上不单调,即y′=3x2-a=0在区间(1,+∞)上有根.由3x2-a=0可得x=
或x=-
(舍去).
依题意,有
1,∴a>
3,
所以a的取值范围是(3,+∞).
[构建·
体系]
1.设函数f(x)在定义域内可导,y=f(x)的图象如图131所示,则导函数y=f′(x)的图象可能是( )
图131
【解析】 当x<0时,f(x)为增函数,f′(x)>0,排除①,③;
当x>0时,f(x)先增后减再增,对应f′(x)先正后负再正.故选④.
【答案】 ④
2.下列函数中,在区间(-1,1)上是减函数的有________(填序号).
①y=2-3x2;
②y=lnx;
③y=
④y=sinx.
【解析】 显然,函数y=2-3x2在区间(-1,1)上是不单调的;
函数y=lnx的定义域为(0,+∞),不满足题目要求;
对于函数y=
,其导数y′=
<
0,且函数在区间(-1,1)上有意义,所以函数y=
在区间(-1,1)上是减函数;
函数y=sinx在
上是增函数,所以函数y=sinx在区间(-1,1)上也是增函数.
【答案】 ③
3.函数f(x)=2x3-9x2+12x+1的单调减区间是________.
【解析】 f′(x)=6x2-18x+12,令f′(x)<0,即6x2-18x+12<0,解得1<x<2.
【答案】 (1,2)
4.已知函数f(x)=
在(-2,+∞)内单调递减,则实数a的取值范围为________.
【解析】 f′(x)=
,由题意得f′(x)≤0在(-2,+∞)内恒成立,∴解不等式得a≤
,但当a=
时,f′(x)=0恒成立,不合题意,应舍去,所以a的取值范围是
【答案】
5.已知函数f(x)=lnx,g(x)=
ax2+2x,a≠0.
若函数h(x)=f(x)-g(x)在[1,4]上单调递减,求a的取值范围.
【解】 h(x)=lnx-
ax2-2x,x∈(0,+∞),
所以h′(x)=
-ax-2.
因为h(x)在[1,4]上单调递减,
所以x∈[1,4]时,h′(x)=
-ax-2≤0恒成立,
即a≥
恒成立,
所以a≥G(x)最大值,而G(x)=
2-1.
因为x∈[1,4],所以
∈
所以G(x)最大值=-
(此时x=4),
所以a≥-
当a=-
时,
h′(x)=
x-2=
因为x∈[1,4],所以h′(x)=
≤0,
即h(x)在[1,4]上为减函数.
故实数a的取值范围是
我还有这些不足:
(1)_______________________________________________
(2)_______________________________________________
我的课下提升方案: