苏教版数学选修22第1章 131 单调性Word格式.docx

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在其定义域上是单调减函数．（　　）

（3）函数f（x）＝x3－2x在（1，＋∞）上单调递增．（　　）

（4）若存在x∈（a，b）有f′（x）＝0成立，则函数f（x）为常数函数．（　　）

【答案】　

（1）×

（2）×

　（3）√　（4）×

2．函数f（x）＝（x－3）ex的单调递增区间是________．

【解析】　f′（x）＝（x－3）′ex＋（x－3）（ex）′＝（x－2）ex，

令f′（x）>

0，解得x>

2.

【答案】　（2，＋∞）

[质疑·

手记]

预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：

疑问1：

_______________________________________________

解惑：

疑问2：

疑问3：

[小组合作型]

判断（证明）函数的单调性

（1）求证：

函数f（x）＝ex－x－1在（0，＋∞）内是增函数，在（－∞，0）内是减函数．

（2）判断函数f（x）＝

在区间（0,2）上的单调性．

【精彩点拨】　求出导数f′（x），然后判断导数的符号即可．

【自主解答】　

（1）证明：

由于f（x）＝ex－x－1，

所以f′（x）＝ex－1，

当x∈（0，＋∞）时，ex>

1，即f′（x）＝ex－1>

0.

故函数f（x）在（0，＋∞）内为增函数，

当x∈（－∞，0）时，ex<

1，即f′（x）＝ex－1<

故函数f（x）在（－∞，0）内为减函数．

（2）由于f（x）＝

，

所以f′（x）＝

＝

.

由于0<

x<

2，所以lnx<

ln2<

1，x2>

故f′（x）＝

>

∴函数f（x）在区间（0,2）上是单调递增函数．

1．利用导数证明函数f（x）在给定区间上的单调性，实质上就是证明f′（x）>

0（或f′（x）<

0）在给定区间上恒成立．

2．利用导数判断可导函数f（x）在（a，b）内的单调性，步骤是：

（1）求f′（x）；

（2）确定f′（x）在（a，b）内的符号；

（3）得出结论．

[再练一题]

1．证明：

函数y＝lnx＋x在其定义域内为增函数．

【证明】　显然函数的定义域为{x|x>

0}，

又f′（x）＝（lnx＋x）′＝

＋1，

当x>

0时，f′（x）>

1>

0，

故y＝lnx＋x在其定义域内为增函数．

求函数的单调区间

　求下列函数的单调区间：

（1）f（x）＝x2－lnx；

（2）f（x）＝

；

（3）f（x）＝－x3＋3x2.

【精彩点拨】　首先确定函数的定义域，再求导数，进而解不等式得单调区间．

【自主解答】　

（1）函数f（x）的定义域为（0，＋∞）．

f′（x）＝2x－

因为x>

0，所以

x＋1>

0，由f′（x）>

，所以函数f（x）的单调递增区间为

由f′（x）<

0，解得x<

，又x∈（0，＋∞），所以函数f（x）的单调递减区间为

（2）函数f（x）的定义域为（－∞，2）∪（2，＋∞）．

f′（x）＝

因为x∈（－∞，2）∪（2，＋∞），

所以ex>

0，（x－2）2>

由f′（x）>

3，所以函数f（x）的单调递增区间为（3，＋∞）；

3，又x∈（－∞，2）∪（2，＋∞），所以函数f（x）的单调递减区间为（－∞，2）和（2,3）．

（3）函数f（x）的定义域为R.

f′（x）＝－3x2＋6x＝－3x（x－2）．

当0<

2时，f′（x）>

0，所以函数f（x）的单调递增区间为（0,2）；

当x<

0或x>

2时，f′（x）<

0，所以函数f（x）的单调递减区间为（－∞，0）和（2，＋∞）．

利用导数求函数单调区间的步骤：

（1）确定函数f（x）的定义域；

（2）求导数f′（x）；

（3）由f′（x）>

0），解出相应的x的范围；

当f′（x）>

0时，f（x）在相应的区间上是增函数；

当f′（x）<

0时，f（x）在相应区间上是减函数．

（4）结合定义域写出单调区间．

2．若函数f（x）＝x2－2x－4lnx，则函数f（x）的单调递增区间为________.

【导学号：

01580011】

【解析】　由已知f（x）的定义域为（0，＋∞），

f′（x）＝2x－2－

0得x2－x－2>

－1或x>

2，

又x>

0，所以函数f（x）的单调递增区间为（2，＋∞）．

[探究共研型]

已知函数的单调性求参数的取值范围

探究1　已知函数f（x）＝x3－ax－1为单调递增函数，如何求实数a的取值范围．

【提示】　由已知得f′（x）＝3x2－a，

因为f（x）在（－∞，＋∞）上是单调增函数，

所以f′（x）＝3x2－a≥0在（－∞，＋∞）上恒成立，

即a≤3x2对x∈R恒成立，因为3x2≥0，所以只需a≤0.

又因为a＝0时，f′（x）＝3x2≥0，

f（x）＝x3－1在R上是增函数，所以a≤0.

探究2　若函数f（x）＝x＋

＋lnx（a∈R）在（1，＋∞）上单调递增，求a的取值范围．

【提示】　函数f（x）的定义域为（0，＋∞），f′（x）＝1－

＋

由题意知，f′（x）≥0在（1，＋∞）上恒成立，

即x2＋x－a≥0在（1，＋∞）上恒成立，

令g（x）＝x2＋x－a＝

2－

－a，

则g（x）＞2－a，从而2－a≥0，∴a≤2.

当a＝2时，f′（x）＞0在（1，＋∞）上恒成立，

因此实数a的取值范围是（－∞，2]．

　已知关于x的函数y＝x3－ax＋b.

（1）若函数y在（1，＋∞）内是增函数，求a的取值范围；

（2）若函数y的一个单调递增区间为（1，＋∞），求a的值．

【精彩点拨】　

（1）函数在区间（1，＋∞）内是增函数，则必有y′≥0在（1，＋∞）上恒成立，由此即可求出a的取值范围．

（2）函数y的一个单调递增区间为（1，＋∞），即函数单调区间的端点值为1，由此可解得a的值．

【自主解答】　y′＝3x2－a.

（1）若函数y＝x3－ax＋b在（1，＋∞）内是增函数．

则y′＝3x2－a≥0在x∈（1，＋∞）时恒成立，

即a≤3x2在x∈（1，＋∞）时恒成立，

则a≤（3x2）最小值．

1，所以3x2>

3.

所以a≤3，即a的取值范围是（－∞，3]．

（2）令y′>

0，得x2>

若a≤0，则x2>

恒成立，即y′>

0恒成立，

此时，函数y＝x3－ax＋b在R上是增函数，与题意不符．

若a>

0，令y′>

0，得x>

或x<

－

因为（1，＋∞）是函数的一个单调递增区间，所以

＝1，即a＝3.

1．解答本题注意：

可导函数f（x）在（a，b）上单调递增（或单调递减）的充要条件是f′（x）≥0（或f′（x）≤0）在（a，b）上恒成立，且f′（x）在（a，b）的任何子区间内都不恒等于0.

2．已知f（x）在区间（a，b）上的单调性，求参数范围的方法

（1）利用集合的包含关系处理f（x）在（a，b）上单调递增（减）的问题，则区间（a，b）是相应单调区间的子集；

（2）利用不等式的恒成立处理f（x）在（a，b）上单调递增（减）的问题，则f′（x）≥0（f′（x）≤0）在（a，b）内恒成立，注意验证等号是否成立．

3．将上例

（1）改为“若函数y在（1，＋∞）上不单调”，则a的取值范围又如何？

【解】　y′＝3x2－a，

当a<

0时，y′＝3x2－a>

0，函数在（1，＋∞）上单调递增，不符合题意．

当a>

0时，函数y在（1，＋∞）上不单调，即y′＝3x2－a＝0在区间（1，＋∞）上有根．由3x2－a＝0可得x＝

或x＝－

（舍去）．

依题意，有

1，∴a>

3，

所以a的取值范围是（3，＋∞）．

[构建·

体系]

1．设函数f（x）在定义域内可导，y＝f（x）的图象如图131所示，则导函数y＝f′（x）的图象可能是（　　）

图131

【解析】　当x＜0时，f（x）为增函数，f′（x）＞0，排除①，③；

当x＞0时，f（x）先增后减再增，对应f′（x）先正后负再正．故选④.

【答案】　④

2．下列函数中，在区间（－1,1）上是减函数的有________（填序号）．

①y＝2－3x2；

②y＝lnx；

③y＝

④y＝sinx.

【解析】　显然，函数y＝2－3x2在区间（－1,1）上是不单调的；

函数y＝lnx的定义域为（0，＋∞），不满足题目要求；

对于函数y＝

，其导数y′＝

<

0，且函数在区间（－1,1）上有意义，所以函数y＝

在区间（－1，1）上是减函数；

函数y＝sinx在

上是增函数，所以函数y＝sinx在区间（－1,1）上也是增函数．

【答案】　③

3．函数f（x）＝2x3－9x2＋12x＋1的单调减区间是________．

【解析】　f′（x）＝6x2－18x＋12，令f′（x）＜0，即6x2－18x＋12＜0，解得1＜x＜2.

【答案】　（1,2）

4．已知函数f（x）＝

在（－2，＋∞）内单调递减，则实数a的取值范围为________．

【解析】　f′（x）＝

，由题意得f′（x）≤0在（－2，＋∞）内恒成立，∴解不等式得a≤

，但当a＝

时，f′（x）＝0恒成立，不合题意，应舍去，所以a的取值范围是

【答案】　

5．已知函数f（x）＝lnx，g（x）＝

ax2＋2x，a≠0.

若函数h（x）＝f（x）－g（x）在[1,4]上单调递减，求a的取值范围．

【解】　h（x）＝lnx－

ax2－2x，x∈（0，＋∞），

所以h′（x）＝

－ax－2.

因为h（x）在[1,4]上单调递减，

所以x∈[1,4]时，h′（x）＝

－ax－2≤0恒成立，

即a≥

恒成立，

所以a≥G（x）最大值，而G（x）＝

2－1.

因为x∈[1,4]，所以

∈

所以G（x）最大值＝－

（此时x＝4），

所以a≥－

当a＝－

时，

h′（x）＝

x－2＝

因为x∈[1,4]，所以h′（x）＝

≤0，

即h（x）在[1,4]上为减函数．

故实数a的取值范围是

我还有这些不足：

（1）_______________________________________________

（2）_______________________________________________

我的课下提升方案：