最新版二次函数压轴题三Word文档格式.docx
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(1)求出的解析式,
(2)若C为AB的中点,求sin∠CMB.
(3)如果过点M的一条直线与图象相交于另一点N,,且(),求点N的坐标.
8.【阅读材料】抛物线y=上任意一点到点(0,1)的距离与到直线y=-1的距离相等,你可以利用这一性质解决问题.
【问题解决】如图,在平面直角坐标系中,直线y=kx+1与y轴交于C点,与函数y=的图象交于A,B两点,分别过A,B两点作直线y=﹣1的垂线,交于E,F两点.
(1)写出点C的坐标,并求证:
∠ECF=90°
(2)在△PEF中,M为EF中点,P为动点.
①求证:
PE2+PF2=2(PM2+EM2);
②已知PE=PF=3,以EF为一条对角线作平行四边形CEDF,若1<PD<2,试求CP的取值范围.
9.在平面直角坐标系中,二次函数的图象与一次函数的图象交于,两点,点的坐标为,点在第一象限内,点是二次函数图象的顶点,点是一次函数的图象与轴的交点,过点作轴的垂线,垂足为,且.
(1)直接写出直线和直线的解析式;
(2)点是线段上一点,点是线段上一点,轴,射线与抛物线交于点,过点作轴于点,于点.当最大时,在线段上找一点(不与点,点重合),使的值最小,求点的坐标和的最小值;
(3)设直线上有一点,将二次函数沿直线平移,平移的距离是,平移后抛物线上点,点的对应点分别为点,点;
当是直角三角形时,求的值.
10.在平面直角坐标系中,为坐标原点,线段的两个端点的坐标分别为,,点为线段的中点,现将线段绕点按逆时针方向旋转得到线段,抛物线经过点.
(1)若该抛物线经过原点,且.
①求点的坐标及该抛物线的解析式;
②连接,问:
在抛物线上是否存在点,使得与互余?
若存在,请求出所有满足条件的点的坐标,若不存在,请说明理由.
(2)若该抛物线经过点,点在抛物线上,且满足与互余,若符合条件的点的个数是个,求的取值范围
11.在平面直角坐标系中,点为坐标原点,直线与抛物线相交于,两点.
(1)求出抛物线的解析式;
(2)在坐标轴上是否存在点,使得是以线段为斜边的直角三角形.若存在,求出点的坐标;
若不存在,说明理由;
(3)点是线段上一动点(点不与点,重合),过点作交第一象限内的抛物线于点,过点作轴于点,交于点,若,的面积,满足,求的值,并求出此时点的坐标.
12.在平面直角坐标系中,已知抛物线的顶点的坐标为,且与轴交于点,点(点在点的左边),与轴交于点.
(1)填空:
,
,直线的解析式为
(2)直线与轴相交于点.
①当时得到直线(如图1),点为直线下方抛物线上一点,若,求出此时点的坐标;
②当时(如图2),直线与线段,和抛物线分别相交于点,,.试证明线段,,总能组成等腰三角形;
如果此等腰三角形底角的余弦值为,求此时的值.
13.在平面直角坐标系中,抛物线与轴交于点,,与轴交于点,直线经过,两点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)在上方的抛物线上有一动点.
①当点运动到某位置时,以,为邻边的平行四边形第四个顶点恰好也在抛物线上,求出此时点的坐标;
②过点,的直线交于点,若,求的值.
14.已知抛物线过点A,顶点为B,且不过第三象限
(1)试判断点B所在的象限,并说明理由;
(2)若直线过点B,且与抛物线交于另一点,求:
当时,的取值范围
15.在平面直角坐标系中,O为坐标原点,抛物线与x轴相交于点A(,0),B(,0),与y轴交于点C,且O,C两点间的距离为3,•<0,|x1|+|x2|=4,点A,C在直线上.
(1)求点C的坐标;
(2)当随着的增大而增大时,求自变量的取值范围;
(3)将抛物线向左平移个单位,记平移后随着的增大而增大的部分为P,直线向下平移个单位,当平移后的直线与P有公共点时,求的最小值.
16.在平面直角坐标系中,已知A、B是抛物线y=ax2(a>0)上两个不同的点,其中A在第二象限,B在第一象限,
(1)如图1所示,当直线AB与x轴平行,∠AOB=90°
,且AB=2时,求此抛物线的解析式和A、B两点的横坐标的乘积.
(2)如图2所示,在
(1)所求得的抛物线上,当直线AB与x轴不平行,∠AOB仍为90°
时,A、B两点的横坐标的乘积是否为常数?
如果是,请给予证明;
如果不是,请说明理由.
(3)在
(2)的条件下,若直线y=﹣2x﹣2分别交直线AB,y轴于点P、C,直线AB交y轴于点D,且∠BPC=∠OCP,求点P的坐标.
答案
第一部分
1.
(1)因为抛物线经过点和点,
所以,解得:
,
所以
所以.
(2)如图,设,过作于点,设直线与直线交于点,
则,
直线的解析式为,
所以,
因为,
①若点在第一象限,则,
②若点在第四象限,则,
(3)因为直线过点,所以可求得直线.
过点作,交轴于点,如图,可求得直线.
所以的中点.
所以过点平行于的直线为.
解得,或(舍去)
2.
(1)由题意抛物线的顶点,,设抛物线的解析式为,把代入可得,
所以抛物线的函数表达式为.
(2)由题意抛物线的顶点坐标为,设抛物线的解析式为,
由消去得到,
由题意,抛物线与抛物线在轴的右侧有两个不同的公共点,则有
解得,
所以满足条件的的取值范围为.
(3)结论:
四边形能成为正方形.
理由:
情形,如图,作轴于,轴于.
由题意易知,当是等腰直角三角形时,四边形是正方形,
所以,,易证,可得,,
因为点在上,
所以,解得或(舍去),
所以时,四边形是正方形.
情形,如图,
四边形是正方形,同法可得把代入中,,解得或(舍去),
所以或时,四边形是正方形.
3.
(1)当时,即,解这个方程,
得,.
所以点,.
当时,,
所以点,
所以直线的解析式为.
(2)令,得,
因为点,
设直线的解析式为,
则有
解得
过点作轴,交于点,如答图.
设点的坐标为,
所以
所以
所以抛物线开口向下,
所以当时,取得最大值.
此时,点为.
因为点,,
因为.
所以轴,
作点关于的对称点,
则.
所以平分.
所以点关于的对称点在轴上.
所以点与点重合.
连接,交于点,交于点,
如答图,
所以,.
根据“两点之间,线段最短”可得,当,,,四点共线时,此时的值最小,
所以的最小值为.
(3)存在,点的坐标为,,,.
4.
(1)抛物线过,,
可设的解析式为,
当,,
,
.
(2)在中,
令可得,
抛物线与轴一定有两个不同的交点.
(3)①;
②联立两抛物线解析式可得
解得或
,的两交点坐标为和,且抛物线与轴交于点和,
直线分别与轴,,分别交于点,,,且轴,
,,
当时,如图,
则
当时,有最大值.
有最小值,但在对称轴右边随增大而增大,
当时,,
综合可知当时,最大值为.
【解析】当时,
①抛物线的解析式为,抛物线的解析式为,
,的顶点分别为,.
抛物线开口向下,当时,随的增大而增大,抛物线开口向上,当时,随的增大而增大,
当时,抛物线,上的点的纵坐标同时随横坐标增大而增大.
5.
(1),
顶点坐标.
(2)由消去得,
抛物线与轴有且仅有一个公共点,
即,
无论取何值,方程总是成立,
(3),
当时,有,
又,
又,
或,
在抛物线上,
①令,则有,结合,
此时,在对称轴的左侧随的增大而减小,如图,
即当时,有.
②令,则与重合,此情形不合题意,舍弃.
③令,且时,有,结合,
此时,在对称轴的左侧,随的增大而减小,如图,
即当时,有,
④令,有,结合,
此时,在对称轴的右侧随的增大而增大,如图,
⑤令,,重合,不合题意舍弃.
⑥令,有,结合,
此时,在对称轴的右侧,随的增大而增大,如图,
综上所述,或时,有;
时,有.
6.
(1)时,二次函数的对称轴方程为,
即二次函数的对称轴方程为.
(2)与轴相切就是与轴只有一个交点,
有两个相等的实数根,即
,
.
,,
设,则,
则,对称轴为直线,
直线经过点,,
设直线的函数表达式为,
则
或(不合题意,舍去),
8.解:
(1)当x=0时,y=k•0+1=1,
则点C的坐标为(0,1).
根据题意可得:
AC=AE,
∴∠AEC=∠ACE.
∵AE⊥EF,CO⊥EF,
∴AE∥CO,
∴∠AEC=∠OCE,
∴∠ACE=∠OCE.
同理可得:
∠OCF=∠BCF.
∵∠ACE+∠OCE+∠OCF+∠BCF=180°
∴2∠OCE+2∠OCF=180°
∴∠OCE+∠OCF=90°
,即∠ECF=90°
(2)①过点P作PH⊥EF于H,
Ⅰ.若点H在线段EF上,如图2①.
∵M为EF中点,
∴EM=FM=
EF.
根据勾股定理可得:
PE2+PF2﹣2PM2=PH2+EH2+PH2+HF2﹣2PM2
=2PH2+EH2+HF2﹣2(PH2+MH2)
=EH2﹣MH2+HF2﹣MH2
=(EH+MH)(EH﹣MH)+(HF+MH)(HF﹣MH)
=EM(EH+MH)+MF(HF﹣MH)
=EM(EH+MH)+EM(HF﹣MH)
=EM(EH+MH+HF﹣MH)
=EM•EF=2EM2,
∴PE2+PF2=2(PM2+EM2);
Ⅱ.若点H在线段EF的延长线(或反向延长线)上,如图2②.
PE2+PF2=2(PM2+EM2).
综上所述:
当点H在直线EF上时,都有PE2+PF2=2(PM2+EM2);
②连接CD、PM,如图3.
∵∠ECF=90°
∴▱CEDF是矩形,
∵M是EF的中点,
∴M是CD的中点,且MC=EM.
由①中的结论可得:
在△PEF中,有PE2+PF2=2(PM2+EM2),
在△PCD中,有PC2+PD2=2(PM2+CM2).
∵MC=EM,
∴PC2+PD2=PE2+PF2.
∵PE=PF=3,
∴PC2+PD2=18.
∵1<PD<2,
∴1<PD2<4,
∴1<18﹣PC2<4,
∴14<PC2<17.
∵PC>0,
∴
<PC<
.
9.
(1)因为点是二次函数图象的顶点,
因为轴,轴,
把代入二次函数解析式中,可得,
所以(舍),
因为的坐标为,
所以直线解析式为,
因为,,
所以直线解析式为.
(2)如图1,
设点,
所以,,
因为固定不变,
所以的值固定,
所以最大时,也最大,
所以当时,最大,
即:
最大.此时
因为是等腰直角三角形,
过作轴的平行线,
的最小值转化为求的最小值,
所以当和在一条直线上时,的值最小,
此时,最小值为.
(3)令直线与轴交于点,
所以沿直线平移时,横坐标平移时,纵坐标则平移,平移后,,
所以,,,
当时,,解得,此时;
当时,,解得,此时.
10.
(1)①过点作轴于点,如图所示.
又,,
所以.
所以,.
所以点的坐标是.
根据题意得,且,
所以该抛物线的解析式为.
②因为、两点的纵坐标都为,
所以轴.
所以与互余,
若要使与互余,
则需满足,
设点的坐标为
(Ⅰ)当点在轴的上方时,过点作轴于点.
则,即,
解得(舍去),.
所以点的坐标是.
(Ⅱ)当点在轴的下方时,过点作轴于点.
则同理可得:
(舍去),
在抛物线上存在点,,使得与互余.
(2)
【解析】由,在抛物线上,
,.
.
抛物线开口向下,
若满足与互余且符合条件的点的个数是个,则点在轴的上、下方各有两个,
(i)当点在轴的上方时,直线与抛物线有两个交点,满足条件的有个;
根据
(2)可知,要使得与互余,则必须,
,此时直线的斜率为,
则直线的解析式为,
要使直线与抛物线有两个交点,
所以方程有两个不相等的实数根,
则此时直线与抛物线始终有两个交点.
(ii)当点在轴的下方时,要使直线与抛物线有两个交点,抛物线与轴的交点必须在轴的正半轴上,与轴的交点在轴的负半轴,
所以,解得.
11.
(1)因为点,在抛物线的图象上,
所以
所以抛物线的解析式为.
(2)存在三个点满足题意,理由如下:
当点在轴上时,过点作轴于点,
所以点坐标为;
当点在轴上时,设点,则:
因为是以为斜边的直角三角形,
解得:
所以点坐标为,或.
(3)过点作于点,
在中,,,
在中,,
因为,的面积满足,
因为点在抛物线上,
所以或(舍去),
所以点的坐标为.
12.
(1);
;
【解析】因为抛物线的顶点的坐标为,
所以抛物线解析式为:
.
令,得:
,.
令,得.
设直线的解析式为:
将,代入,
得:
所以直线的解析式为:
(2)①设点的坐标为.
故点的坐标为.
②设直线的解析式为.
将点,代入,
因为当时,,,,
所以当时,线段,,总能组成等腰三角形;
由题意得:
,即,
整理得:
,,
13.
(1)直线经过两点,
点坐标是,点坐标是,
又抛物线过两点,
解得
抛物线的解析式为.
(2)①如图1,
抛物线的对称轴是直线.
以,为邻边的平行四边形的第四个顶点恰好也在抛物线上,
,.
都在抛物线上,
关于直线对称,
点的横坐标是,
点的坐标是;
②过点作交于点,
化简得,解得,.
当时,;
当时,,即点坐标是或.
又点在直线上,
或.
14.
(1)第四象限
证明:
抛物线不经过第三象限,即开口向上
抛物线与x轴有一交点A,且抛物线不经过第三象限
顶点一定在第四象限
(2)在抛物线上,则:
b+8=0,故b=-8;
a+c=8
把B、C两点代入直线解析式中,得:
c=6,a=2
画图易知,C在A的右侧
所以,时,=-2
15.
分析:
(1)利用y轴上点的坐标性质表示出C点坐标,再利用O,C两点间的距离为3求出即可;
(2)分别利用①若C(0,3),即c=3,以及②若C(0,﹣3),即c=﹣3,得出A,B点坐标,进而求出函数解析式,进而得出答案;
(3)利用①若c=3,则y1=﹣x2﹣2x+3=﹣(x+1)2+4,y2=﹣3x+3,得出y1向左平移n个单位后,则解析式为:
y3=﹣(x+1+n)2+4,进而求出平移后的直线与P有公共点时得出n的取值范围,②若c=﹣3,则y1=x2﹣2x﹣3=(x﹣1)2﹣4,y2=﹣3x﹣3,y1向左平移n个单位后,则解析式为:
y3=(x﹣1+n)2﹣4,进而求出平移后的直线与P有公共点时得出n的取值范围,进而利用配方法求出函数最值.
解答:
解:
(1)令x=0,则y=c,
故C(0,c),
∵OC的距离为3,
∴|c|=3,即c=±
3,
∴C(0,3)或(0,﹣3);
(2)∵x1x2<0,
∴x1,x2异号,
①若C(0,3),即c=3,
把C(0,3)代入y2=﹣3x+t,则0+t=3,即t=3,
∴y2=﹣3x+3,
把A(x1,0)代入y2=﹣3x+3,则﹣3x1+3=0,
即x1=1,
∴A(1,0),
∵x1,x2异号,x1=1>0,∴x2<0,
∵|x1|+|x2|=