三角形的辅助线文档格式.docx

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在学习几何时，可以把自己证完的题进行适当变换，从而使自己通过解一道题掌握一类题，提高自己举一反三、灵活应变的能力.

2．在利用三角形的外角大于任何和它不相邻的内角证明角的不等关系时，如果直接证不出来，可连结两点或延长某边，构造三角形，使求证的大角在某个三角形外角的位置上，小角处在内角的位置上，再利用外角定理证题.

已知D为△ABC内任一点，求证：

∠BDC＞∠BAC

3..有角平分线时常在角两边截取相等的线段，构造全等三角形.

例：

已知，如图，AD为△ABC的中线且∠1=∠2，∠3=∠4，

BE＋CF＞EF

4..有以线段中点为端点的线段时，常加倍延长此线段构造全等三角形.

已知，如图，AD为△ABC的中线，且∠1=∠2，∠3=∠4，求证：

5.在三角形中有中线时，常加倍延长中线构造全等三角形.

已知，如图，AD为△ABC的中线，求证：

AB＋AC＞2AD

6.截长补短作辅助线的方法

截长法：

在较长的线段上截取一条线段等于较短线段；

补短法：

延长较短线段和较长线段相等.

这两种方法统称截长补短法.

当已知或求证中涉及到线段a、b、c、d有下列情况之一时用此种方法：

①a＞b

②a±

b=c

③a±

b=c±

d

已知，如图，在△ABC中，AB＞AC，∠1=∠2，P为AD上任一点，

AB－AC＞PB－PC

练习：

1.已知，在△ABC中，∠B=60o,AD、CE是△ABC的角平分线,并且它们交于点O

AC=AE＋CD

2.已知，如图，AB∥CD∠1=∠2,∠3=∠4.

求证：

BC=AB＋CD

7..条件不足时延长已知边构造三角形.

已知AC=BD，AD⊥AC于A，BCBD于B

AD=BC

8.连接四边形的对角线，把四边形问题转化成三角形来解决问题.

已知，如图，AB∥CD，AD∥BC

AB=CD

已知，如图，AB=DC，AD=BC，DE=BF，

BE=DF

9.有和角平分线垂直的线段时，通常把这条线段延长。

可归结为“角分垂等腰归”.

已知，如图，在Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90o，∠1=∠2，CE⊥BD的延长线于E

BD=2CE

已知，如图，∠ACB=3∠B，∠1=∠2,CD⊥AD于D，

AB－AC=2CD

10.当证题有困难时，可结合已知条件，把图形中的某两点连接起来构造全等三角形.

已知，如图，AC、BD相交于O，且AB=DC，AC=BD，

∠A=∠D

证明：

（连结BC，过程略）

11.当证题缺少线段相等的条件时，可取某条线段中点，为证题提供条件.

已知，如图，AB=DC，∠A=∠D

∠ABC=∠DCB

12.有角平分线时，常过角平分线上的点向角两边做垂线，利用角平分线上的点到角两边距离相等证题.

已知，如图，∠1=∠2，P为BN上一点，且PD⊥BC于D，AB＋BC=2BD，

∠BAP＋∠BCP=180o

1.已知，如图，PA、PC分别是△ABC外角∠MAC与∠NCA的平分线，它们交于P，

PD⊥BM于M，PF⊥BN于F，求证：

BP为∠MBN的平分线

2.已知，如图，在△ABC中，∠ABC=100o，∠ACB=20o，CE是∠ACB的平分线，D是AC上一点，若∠CBD=20o，求∠CED的度数。

13.有等腰三角形时常用的辅助线

⑴作顶角的平分线，底边中线，底边高线

已知，如图，AB=AC，BD⊥AC于D，

∠BAC=2∠DBC

⑵有底边中点时，常作底边中线

已知，如图，△ABC中，AB=AC，D为BC中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，

DE=DF

⑶将腰延长一倍，构造直角三角形解题

已知，如图，△ABC中，AB=AC，在BA延长线和AC上各取一点E、F，使AE=AF，求证：

EF⊥BC

⑷常过一腰上的某一已知点做另一腰的平行线

已知，如图，在△ABC中，AB=AC，D在AB上，E在AC延长线上，且BD=CE，连结DE交BC于F

DF=EF

⑸常过一腰上的某一已知点做底的平行线

已知，如图，△ABC中，AB=AC，E在AC上，D在BA延长线上，且AD=AE，连结DE

DE⊥BC

⑹常将等腰三角形转化成特殊的等腰三角形------等边三角形

已知，如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=80o,P为形内一点，若∠PBC=10o∠PCB=30o求∠PAB的度数.

解法一：

以AB为一边作等边三角形，连结CE

解法二：

以AC为一边作等边三角形，证法同一。

解法三：

以BC为一边作等边三角形△BCE，连结AE,

14.有二倍角时常用的辅助线

⑴构造等腰三角形使二倍角是等腰三角形的顶角的外角

已知，如图，在△ABC中，∠1=∠2，∠ABC=2∠C，

AB＋BD=AC

⑵平分二倍角

已知，如图，在△ABC中，BD⊥AC于D，∠BAC=2∠DBC

∠ABC=∠ACB

⑶加倍小角

作∠FBD=∠DBC,BF交AC于F（过程略）

15.有垂直平分线时常把垂直平分线上的点与线段两端点连结起来.

已知，如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=120o，EF为AB的垂直平分线，EF交BC于F，交AB于E

BF=

FC

已知，如图，在△ABC中，∠CAB的平分线AD与BC的垂直平分线DE交于点D，DM⊥AB于M，DN⊥AC延长线于N

BM=CN

16.有垂直时常构造垂直平分线.

已知，如图，在△ABC中，∠B=2∠C，AD⊥BC于D

CD=AB＋BD

（一）在CD上截取DE=DB，连结AE，

（二）延长CB到F，使DF=DC，

连结AF则AF=AC（过程略）

17.有中点时常构造垂直平分线.

已知，如图，在△ABC中，BC=2AB,∠ABC=2∠C,BD=CD

△ABC为直角三角形

过D作DE⊥BC，交AC于E，连结BE，则BE=CE，

18.当涉及到线段平方的关系式时常构造直角三角形，利用勾股定理证题.

已知，如图，在△ABC中，∠A=90o，DE为BC的垂直平分线

BE2－AE2=AC2

已知，如图，在△ABC中，∠BAC=90o，AB=AC，P为BC上一点

PB2＋PC2=2PA2

19.条件中出现特殊角时常作高把特殊角放在直角三角形中.

已知，如图，在△ABC中，∠B=45o，∠C=30o，AB=

，求AC的长.