高三数学二轮复习161直线与圆课时巩固过关练理新人教版Word文档下载推荐.docx

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2b时取等号.

二、填空题（每小题5分,共10分）

5.（xx·

天津高考）已知圆C的圆心在x轴的正半轴上,点M（0,）在圆C上,且圆心到直线2x-y=0的距离为,则圆C的方程为________.

【解析】设C（a,0）（a>

0）,由题意知=,解得a=2,所以r==3,故圆C的方程为（x-2）2+y2=9.

答案:

（x-2）2+y2=9

6.（xx·

长沙二模）若直线l1:

y=x+a和直线l2:

y=x+b将圆（x-1）2+（y-2）2=8分成长度相等的四段弧,则a2+b2=________.

【解析】由题意得直线l1:

y=x+b截得圆的弦所对圆周角相等,皆为直角,因此圆心到两直线距离皆为r=2,

即==2⇒a2+b2=（2+1）2+（-2+1）2=18.

18

三、解答题（7题12分,8题13分,共25分）

7.（xx·

南昌一模）已知圆C：

x2+y2-4x-6y+12=0，点A（3，5）.

（1）求过点A的圆的切线方程.

（2）O点是坐标原点，连接OA，OC，求△AOC的面积S.

【解析】

（1）由圆C：

x2+y2-4x-6y+12=0，配方，

得（x-2）2+（y-3）2=1，圆心C（2，3）.

当斜率存在时，设过点A的圆的切线方程为y-5=k（x-3），

即kx-y+5-3k=0.

由d==1，得k=.

又斜率不存在时直线x=3也与圆相切，

故所求切线方程为x=3或3x-4y+11=0.

（2）直线OA的方程为y=x，即5x-3y=0，

点C到直线OA的距离为d==，

又|OA|==，所以S=|OA|d=.

8.（xx·

洛阳一模）已知点P（0,5）及圆C:

x2+y2+4x-12y+24=0.

（1）若直线l过点P且被圆C截得的线段长为4,求l的方程.

（2）求过P点的圆C的弦的中点的轨迹方程.

（1）如图所示,

|AB|=4,

将圆C方程化为标准方程为（x+2）2+（y-6）2=16,

所以圆C的圆心坐标为（-2,6）,半径r=4,

设D是线段AB的中点,则CD⊥AB,

所以|AD|=2,|AC|=4.C点坐标为（-2,6）.

在Rt△ACD中,可得|CD|=2.

若直线l的斜率存在,设为k,则直线l的方程为y-5=kx,即kx-y+5=0.

由点C到直线AB的距离公式:

=2,得k=.

故直线l的方程为3x-4y+20=0.

直线l的斜率不存在时,也满足题意,此时方程为x=0.

所以所求直线l的方程为x=0或3x-4y+20=0.

（2）设过P点的圆C的弦的中点为D（x,y）,

则CD⊥PD,即·

=0,

所以（x+2,y-6）·

（x,y-5）=0,

化简得所求轨迹方程为x2+y2+2x-11y+30=0.

【误区警示】在本题

（1）的求解中不可忽视直线l斜率的存在性,在由距离公式求出一个k时应考虑直线斜率不存在的情况,否则会造成漏解.

【加固训练】

（xx·

新乡二模）已知圆M的方程为x2+y2-2x-2y-6=0,以坐标原点O为圆心的圆O与圆M相切.

（1）求圆O的方程.

（2）圆O与x轴交于E,F两点,圆O内的动点D使得|DE|,|DO|,|DF|成等比数列,求·

的取值范围.

（1）圆M的方程可整理为（x-1）2+（y-1）2=8,

故圆心M（1,1）,半径R=2.

圆O的圆心为O（0,0）,因为|MO|=<

2,

所以点O在圆M内,故圆O只能内切于圆M.

设圆O的半径为r,因为圆O内切于圆M,

所以|MO|=R-r,即=2-r,解得r=.

所以圆O的方程为x2+y2=2.

（2）不妨设E（m,0）,F（n,0）,且m<

n.

由

解得或

故E（-,0）,F（,0）.

设D（x,y）,由|DE|,|DO|,|DF|成等比数列,

得|DE|·

|DF|=|DO|2,

即·

=x2+y2,

整理得x2-y2=1.

而=（--x,-y）,=（-x,-y）,

所以·

=（--x）（-x）+（-y）（-y）

=x2+y2-2=2y2-1.

由于点D在圆O内,故有得y2<

所以-1≤2y2-1<

0,即·

∈[-1,0）.

（30分钟　55分）

1.直线l1:

ax-y-3=0,l2:

2x+by+c=0,则ab=-2是l1∥l2的　（　　）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【解析】选B.当ab=-2且c=3时,l1与l2重合,而l1∥l2时一定有ab-2×

（-1）=0,即ab=-2,所以ab=-2是l1∥l2的必要不充分条件.

【加固训练】设向量a=（a,1）,b=（1,b）（ab≠0）,若a⊥b,则直线b2x+y=0与直线

x-a2y=0的位置关系是　（　　）

A.平行　　　　　　　B.相交且垂直

C.相交但不垂直　　D.重合

【解析】选B.由题意知两直线都经过点（0,0）,

因为a⊥b,所以a·

b=a+b=0,所以a=-b,

由于直线b2x+y=0的斜率为-b2,直线x-a2y=0的斜率为,则（-b2）·

=-1,故两直线垂直.

2.已知直线l:

x·

cosα+y·

sinα=2（α∈R）,圆C:

x2+y2+2cosθ·

x+2sinθ·

y=0（θ∈R）,则直线l与圆C的位置关系是　（　　）

A.相交　B.相切　

C.相离　D.相切或相离

【解析】选D.x2+y2+2cosθ·

y=（x+cosθ）2+（y+sinθ）2=1,所以圆的圆心坐标为（-cosθ,-sinθ）,半径为1,则直线到圆心的距离为d=

=|2+cos（α-θ）|∈[1,3],所以直线l与圆C的位置关系是相切或相离.

3.命题p:

0<

r<

4,命题q:

圆（x-3）2+（y-5）2=r2（r>

0）上恰好有两个点到直线4x-3y=2的距离等于1,则q是p的　（　　）

A.充分不必要条件　B.必要不充分条件

C.充要条件　　　　D.既不充分也不必要条件

【解题导引】先求出圆心到直线的距离,因为到直线4x-3y=2的距离等于1有两条,数形结合可得答案.

【解析】选A.因为圆心（3,5）到直线4x-3y=2的距离等于1,所以圆（x-3）2+

（y-5）2=r2上恰好有两个点到直线4x-3y=2的距离等于1时,0<

2,所以q是p充分不必要条件.

【加固训练】动圆C经过点F（1,0）,并且与直线x=-1相切,若动圆C与直线y=x+2+1总有公共点,则圆C的面积　（　　）

A.有最大值8π　B.有最小值2π

C.有最小值3π　　D.有最小值4π

【解析】选D.由题意圆C的圆心在以F为焦点,

以x=-1为准线的抛物线上,抛物线方程为y2=4x.

因为与直线y=x+2+1总有公共点,所以圆C的面积有最小值,最小半径为抛物线上的点到直线的距离的最小值.

设与直线y=x+2+1平行且与抛物线相切的直线方程为y=x+t,

由得y2-4y+4t=0,由Δ=0得t=1.

所以直线y=x+1与y=x+2+1间的距离=2即为最小半径.

所以圆C的最小面积为4π.

4.已知直线x+y-k=0（k>

0）与圆x2+y2=4交于不同的两点A,B,O为坐标原点,且有|+|≥||,则k的取值范围是　（　　）

A.（,+∞）B.[,2）

C.[,+∞）D.[,2）

【解析】选B.由已知得圆心到直线的距离小于半径,即<

由k>

0得0<

k<

2.　①

如图,

又由|+|≥||得

|OM|≥|BM|⇒∠MBO≥,

因为|OB|=2,所以|OM|≥1,

故≥1⇒k≥,　②

综合①②得≤k<

2.

5.已知直线x+y-a=0与圆x2+y2=2交于A,B两点,O是坐标原点,向量,满足|2-3|=|2+3|,则实数a的值为________.

【解析】由|2-3|=|2+3|得

·

=0,即OA⊥OB,则直线x+y-a=0过圆x2+y2=2与x轴、y轴正半轴或负半轴的交点,故a=±

±

【加固训练】已知直线l1与圆x2+y2+2y=0相切,且与直线l2:

3x+4y-6=0平行,则直线l1的方程是________.

【解析】依题意,设所求直线l1的方程是3x+4y+b=0,则由直线l1与圆x2+（y+1）2=1相切,可得圆心（0,-1）到直线3x+4y+b=0的距离为1,即有=1,解得b=-1或b=9.因此,直线l1的方程是3x+4y-1=0或3x+4y+9=0.

3x+4y-1=0或3x+4y+9=0

6.已知圆C的圆心与抛物线y2=4x的焦点关于直线y=x对称,直线4x-3y-2=0与圆C相交于A,B两点,且=6,则圆C的方程为________.

【解题导引】先求圆心坐标,再利用点到直线的距离公式求圆心到直线的距离,最后根据勾股定理求圆的半径.

【解析】设所求圆的半径为r,抛物线y2=4x的焦点坐标为（1,0）,则圆C的圆心坐标是（0,1）,圆心到直线4x-3y-2=0的距离d==1,

故圆C的方程是x2+（y-1）2=10.

x2+（y-1）2=10

【加固训练】已知A（-2,0）,B（0,2）,实数k是常数,M,N是圆x2+y2+kx=0上两个不同点,P是圆x2+y2+kx=0上的动点,如果M,N关于直线x-y-1=0对称,则△PAB面积的最大值是________.

【解析】依题意得圆x2+y2+kx=0的圆心位于直线x-y-1=0上,于是有--1=0,即k=-2,

因此圆心坐标是（1,0）,半径是1.由题意可得|AB|=2,

直线AB的方程是-+=1,即x-y+2=0,

圆心（1,0）到直线AB的距离等于=,

点P到直线AB的距离的最大值是+1,

△PAB面积的最大值为×

2×

=3+.

3+

7.已知半径为2,圆心在直线y=-x+2上的圆C.

（1）当圆C经过点A（2,2）,且与y轴相切时,求圆C的方程.

（2）已知E（1,1）,F（1,-3）,若圆C上存在点Q,使|QF|2-|QE|2=32,求圆心的横坐标a的取值范围.

（1）因为圆心在直线y=-x+2上,半径为2,

所以可设圆的方程为（x-a）2+[y-（-a+2）]2=4,

其圆心坐标为（a,-a+2）.

因为圆C经过点A（2,2）,且与y轴相切,

所以有

解得a=2,

所以圆C的方程是（x-2）2+y2=4.

（2）设Q（x,y）,由|QF|2-|QE|2=32,

得（x-1）2+（y+3）2-[（x-1）2+（y-1）2]=32,

解得y=3,所以点Q在直线y=3上.

又因为点Q在圆C:

（x-a）2+[y-（-a+2）]2=4上,

所以圆C与直线y=3必须有公共点.

因为圆C的圆心的纵坐标为-a+2,半径为2,

所以圆C与直线y=3有公共点的充要条件是1≤-a+2≤5,

即-3≤a≤1.

所以圆心的横坐标a的取值范围是[-3,1].

8.已知△ABC的三个顶点A（-1,0）,B（1,0）,C（3,2）,其外接圆为☉H.

（1）若直线l过点C,且被☉H截得的弦长为2,求直线l的方程.

（2）对于线段BH上的任意一点P,若在以点C为圆心的圆上都存在不同的两点M,N,使得点M是线段PN的中点,求☉C的半径r的取值范围.

（1）线段AB的垂直平分线方程为x=0,线段BC的垂直平分线方程为

x+y-3=0,所以外接圆圆心为H（0,3）,半径为=,

☉H的方程为x2+（y-3）2=10.

设圆心H到直线l的距离为d,

因为直线l被☉H截得的弦长为2,所以d==3.

当直线l垂直于x轴时,显然符合题意,即x=3为所求;

当直线l不垂直于x轴时,设直线l的方程为y-2=k（x-3）,

则=3,解得k=,直线l的方程为4x-3y-6=0.

综上,直线l的方程为x=3或4x-3y-6=0.

（2）直线BH的方程为3x+y-3=0,

设P（m,n）（0≤m≤1）,N（x,y）,

因为点M是线段PN的中点,所以M,

又M,N都在半径为r的☉C上,

所以

即

因为此关于x,y的方程组有解,

即以（3,2）为圆心,r为半径的圆与以（6-m,4-n）为圆心,2r为半径的圆有公共点,

所以（2r-r）2≤（3-6+m）2+（2-4+n）2≤（r+2r）2,

又3m+n-3=0,

所以r2≤10m2-12m+10≤9r2对∀m∈[0,1]成立.

而f（m）=10m2-12m+10在[0,1]上的值域为,

故r2≤且10≤9r2.

又线段BH与圆C无公共点,

所以（m-3）2+（3-3m-2）2>

r2对∀m∈[0,1]成立,

即r2<

故☉C的半径r的取值范围为.

【加固训练】已知过原点的动直线l与圆C1:

x2+y2-6x+5=0相交于不同的两点A,B.

（1）求圆C1的圆心坐标.

（2）求线段AB的中点M的轨迹C的方程.

（3）是否存在实数k,使得直线l:

y=k（x-4）与曲线C只有一个交点?

若存在,求出k的取值范围;

若不存在,说明理由.

【解析】方法一:

（1）由x2+y2-6x+5=0得（x-3）2+y2=4,

所以圆C1的圆心坐标为（3,0）.

（2）设M（x,y）,因为点M为弦AB的中点,即C1M⊥AB,

kAB=-1,即·

=-1,

所以线段AB的中点M的轨迹的方程为

+y2=.

（3）由

（2）知点M的轨迹是以C为圆心,r=为半径的部分圆弧EF（如图所示,不包括两端点）,

且E,F,

又直线l:

y=k（x-4）过定点D（4,0）,

当直线l与圆C相切时,由=得k=±

又kDE=-kDF=-=,

结合上图可知当k∈∪[-,]时,

直线l:

y=k（x-4）与曲线C只有一个交点.

方法二:

（1）把圆C1的方程化为标准方程得（x-3）2+y2=4,

所以圆C1的圆心坐标为C1（3,0）.

（2）设M（x,y）,因为A,B为过原点的直线l与圆C1的交点,且M为AB的中点,

所以由圆的性质知:

MC1⊥MO,所以·

=0.

又因为=（3-x,-y）,=（-x,-y）,

所以由向量的数量积公式得x2-3x+y2=0.

易知直线l的斜率存在,所以设直线l的方程为y=mx,

当直线l与圆C1相切时,d==2,

解得m=±

把相切时直线l的方程代入圆C1的方程化简得9x2-30x+25=0,解得x=.

当直线l经过圆C1的圆心时,M的坐标为（3,0）.

又因为直线l与圆C1交于A,B两点,M为AB的中点,

所以<

x≤3.

所以点M的轨迹C的方程为x2-3x+y2=0,其中<

x≤3,其轨迹为一段圆弧.

（3）由题意知直线l表示过定点（4,0）,斜率为k的直线,把直线l的方程代入轨迹C的方程x2-3x+y2=0,其中<

x≤3,

化简得（k2+1）x2-（3+8k2）x+16k2=0,其中<

记f（x）=（k2+1）x2-（3+8k2）x+16k2,其中<

若直线l与曲线C只有一个交点,令f（x）=0.

当Δ=0时,解得k2=,即k=±

此时方程可化为25x2-120x+144=0,即（5x-12）2=0,

解得x=∈,所以k=±

满足条件.

当Δ>

0时,

①若x=3是方程的解,则f（3）=0⇒k=0⇒另一根为x=0<

故在区间上有且仅有一个根,满足题意.

②若x=是方程的解,则f=0⇒k=±

⇒另外一根为x=,<

≤3,故在区间上有且仅有一个根,满足题意.

③若x=3和x=均不是方程的解,则方程在区间上有且仅有一个根,只需f·

f（3）<

0⇒-<

.故在区间上有且仅有一个根,满足题意.

综上所述,k的取值范围是-≤k≤或k=±

2019-2020年高三数学二轮复习1.7.1计数原理二项式定理课时巩固过关练理新人教版

一、选择题（每小题5分，共20分）

襄阳一模）从8名女生和4名男生中，选取3名学生参加某档电视节目，如果按性别比例分层抽样，则不同的选取方法数为（　　）

A.224B.112C.56D.28

【解析】选B.根据分层抽样，从8个人中选取男生1人，女生2人，所以选取2个女生1个男生的方法：

=112（种）.

三明一模）将A，B，C，D，E排成一列，要求A，B，C在排列中顺序为“A，B，C”或“C，B，A”（可以不相邻），这样的排列数有（　　）

A.12种B.20种C.40种D.60种

【解析】选C.五个元素没有限制全排列数为，由于要求A，B，C的次序一定（按A，B，C或C，B，A），故除以这三个元素的全排列，可得有×

2=40（种）.

郑州一模）设（1+x+x2）n=a0+a1x+…+a2nx2n，则a2+a4+…+a2n的值为（　　）

A.B.C.3n-2D.3n

【解析】选B.令x=1，得a0+a1+a2+…+a2n-1+a2n=3n.①

再令x=-1得，a0-a1+a2-…-a2n-1+a2n=1.②

令x=0得a0=1.

由①+②得2（a0+a2+…+a2n）=3n+1，

所以a0+a2+…+a2n=，

所以a2+a4+…+a2n=-a0=-1=.

合肥一模）（2-）8的展开式中，不含x4的项的系数的和为（　　）

A.-1B.0C.1D.2

【解析】选B.由通项公式，可得展开式中含x4的项为

T8+1=28-8（-1）8x4=x4，故含x4的项的系数为1，

令x=1，得展开式的系数的和S=1，

故展开式中不含x4的项的系数的和为1-1=0.

二、填空题（每小题5分，共10分）

福州一模）某次活动中，有30人排成6行5列，现要从中选出3人进行礼仪表演，要求这3人中的任意2人不同行也不同列，则不同的选法种数为__________（用数字作答）.

【解析】先从6行5列中选出3行3列，有=200种选法，再从这3行3列中选出符合要求的3人，有3×

1=6种选法，所以共有200×

6=1200种选法.

答案：

1200

济南一模）若多项式x3+x10=a0+a1（x+1）+…+a9（x+1）9+a10（x+1）10，则a9=________.

【解析】x3+x10=[（x+1）-1]3+[（x+1）-1]10，

因为[（x+1）-1]3的展开式中x+1的最高次幂为3，

故其展开式中没有含（x+1）9的项；

[（x+1）-1]10的展开式中，

含（x+1）9的项为T2=（x+1）9×

（-1）1=-10（x+1）9，其系数为-10.

因为x3+x10的展开式中，（x+1）9项为-10（x+1）9，所以（x+1）9项的系数a9为-10.

-10

三、解答题（7题12分，8题13分，共25分）

石家庄一模）如图，用四种不同的颜色给图中的A，B，C，D，E，F六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法有多少种？

【解析】方法一：

先涂A，D，E三个点，共有4×

3×

2=24（种）涂法，然后再按B，C，F的顺序涂色，分为两类：

一类是B与E或D同色，

共有2×

（2×

1+1×

2）=8（种）涂法；

另一类是B与E或D不同色，

共有1×

（1×

2）=3（种）涂法.

所以，涂色方法共有24×

（8+3）=264（种）.

方法二：

按使用颜色种数分类：

①三色涂完，必然两两同色，即A与C，B与E，D与F或A与F，B与D，C与E同色，有2=48（种）.

②四色涂完，A，D，E肯定不同色，有种涂法，再从B，F，C中选一位置涂第四色有3种，若选B，则F，C共3种涂法，所以·

3=216（种）.

综上，涂色方法共有48+216=264（种）.

黄冈一模）有4名男生、5名女生，全体排成一行，下列情形各有多少种不同的排法？

（1）甲不在中间也不在两端.

（2）甲、乙两人必须排在两端.

（3）男女相间.

（1）方法一（元素分析法）：

先排甲有6种，再排其余人有种，故共有6·

=241920（种）排法.

方法二（位置分析法）：

中间和两端有种排法，包括甲在内的其余6人有种排法，故共有·

=336×

720=241920（种）排法.

方法三（等机会法）：

9个人全排列有种，甲排在每一个位置的机会都是均等的，依题意得，甲不在中间及两端的排法总数是×

=241920（种）.

方法四（间接法）：

-3·

=6=241920（种）.

（2）先排甲、乙，再排其余7人，共有·

=10080（种）排法.

（3）（插空法）先排4名男生有种方法，再将5名女生插空，有种方法，故共有·

=2880（种）排法.

1.若（1+）4=a+b（a，b为有理数），则a+b=（　　）

A.36B.46C.34D.44

【解析】选D.二项式的展开式为1+（）1+（）2+（）3+（）4=1+4+18+12+9=28+16，所以a=28，b=16，所以a+b=28+16=44.

2.某电视台一节目收视率很高