初中抛物线经典练习题含详细答案Word文件下载.docx

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1

△ABP的面积=IAB|*|yp|

因为AB两点在x轴上，令x2+2x-8=0

（x-2）（x+4）=0

解得：

xi=2,X2=-4

|AB|=IXi-X2I=I2-（-4）I=6——⑤又厶ABP的面积=⑥

由④⑤⑥，得：

*6*IypI=15

yp=5

故有：

yp=±

5

即：

p点的纵坐标为5或-5.

把y=5代入y=x2+2x-8，即：

5=x2+2x-8

x2+2x-13=0

x=-1±

14

那么，此时p点坐标（-1+屮4,5）,（-1-,5）——⑦

把y=-5代入y=x2+2x-8，即：

-5=x2+2x-8

x2+2x-3=0

（x-1）（x+3）=0

x=1或x=-3

那么，此时p点坐标（1，-5），（-3，-5）⑧

由⑦⑧得，使△ABP的面积为15，p点坐标是：

（-1+、/74，5），（-1-历4，5），（1,-5），（-3，-5）

2、在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=2x2+mx+n经过点A（5，0），B（2，-6）.

（1）求抛物线的表达式及对称轴

（2）设点B关于原点的对称点为G写出过A、C两点直线的表达式。

解：

因为抛物线y=2x2+mx+n经过点A（5,0）,B（2,-6）.

将x=5,y=0代入y=2x2+mx+n,得

0=50+5m+n①

将x=2,y=-6代入y=2x2+mx+n,得

-6=8+2m+n^②

此时，由①、②，得：

m=-12,n=10

所以，抛物线的表达式：

y=2x2-12x+10

再将抛物线表达式进行变形：

y=2x2-12x+10

y=2（x2-6x+9）-8

y=2（x-3）2-8

所以，抛物线的对称轴是x=3

因为B点坐标为（2，-6），

C是B关于原点的对称点，所以，C点的坐标（-2，6）

设过A、C两点的直线方程为：

y=kx+b

因为过A（5，0），C（-2，6），

将x=5，y=0代入y=kx+b，得：

0=5k+b③

将x=-2，y=6代入y=kx+b，得：

6=-2k+b④

630

由③④解得：

k=-7，b=y

所以，过AC两点的直线表达式为：

y=-7x+3、在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线的顶点C为（2,4），并在x轴上截得的长度为6。

因为抛物线的顶点C为（2，4），

所以，对称轴是：

x=2

又因为抛物线在x轴上截得的长度为6，

那么，对称轴x=2将6平分，

也就是说，A、B两点关于x=2对称，且他们到x=2的距离是3

所以，A的横坐标：

2-3=-1

B的横坐标：

2+3=5

故，抛物线与x轴交点AB的坐标是（-1,0），（5,0）

那么，抛物线的表达式直接可设为：

y=a（x-2）2+4【特别提示，这个非常重要，大大简化了计算】

再将A（-1,0）代入y=a（x-2）2+4，得，0=a（-1-2）2+4

4

a=-9

所以，抛物线的表达式为，y=-9（x-2）2+4

44

令x=0，代入y=-9（x-2）2+4，得y=-9（0-2）2+4

20

y=J

一20

所以，抛物线与y轴交点P的坐标（0,—）

4、直线的解析式为y=2x+4，交x轴于点A,交y轴于点B,若以A为顶点,，且开口向下作抛物线，交直线AB于点D,交y轴负半轴于点G

直线的解析式为y=2x+4

令x=0,代入y=2x+4,得，y=4,所以B点坐标（0,4）

令y=0,代入y=2x+4,得，x=-2，所以A点坐标（-2,0）

设C点的纵坐标为yc（yc是负数），

那么线段BC的长度丨BC|=4-yc

11

△ABC的面积=2*IXa|*IBC|=2*1-2I*（4-yc）=20

4-yc=20

yc=-16

所以，C点坐标（0,-16）

以A（-2,0）为顶点，

可设抛物线表达式：

y=a（x+2）2+0

y=a（x+2）2，它过点C（0，-16），

将x=0,y=-16代入y=a（x+2）2，解得：

a=-4

所以，抛物线表达式y=-4（x+2）2

设D点的横坐标为Xd（Xd是负数），

△BDO的面积=2*IXdI*IBO|=2*IXdI*4=8

XdI=4

Xd是负数，所以，Xd=-4，又D点在直线y=2x+4上，

将xd=-4代入y=2x+4，解得yD=-4

D点坐标（-4,-4）

②

y=a（x+2）2它过点D（-4,-4）

将x=-4,y=-4代入y=a（x+2）2，解得：

a=-1

所以，抛物线表达式y=-（x+2）2

【第二组题型】

5、若关于x的方程x2+2mx+m+3m-2=0有两个实数根Xi、X2,则xi

（X2+X1）+X22的最小值为（）

6、平面直角坐标系中两定点A（-5,0,）,B（3,0）,抛物线y=ax2+bx-30

（az0）过A、B,顶点为C,点P（m,n）为抛物线上的一点。

（1）求抛物线的解析式和顶点C的坐标。

（2）当四边形APBC为梯形，求P的坐标。

3

7、已知抛物线y=4x2+bx+c与x轴相交于点A和B（2,0）,与y轴相交于C（0,-6）

（1）求出抛物线的解析式和A点的坐标。

（2）D为抛物线的顶点，设P点（t,0）,且t>

2,如果△BDP与厶CDP的面积相等，求P点的坐标。

8、在xoy直角坐标系中，点C（2,-3）关于x轴对称的点为A,关于原点对称的点为B,抛物线y=ax2+bx+c过A、B两点，且点D（3,19）在抛物线上。

5、若关于x的方程x2+2mx+m+3m-2=0有两个实数根X1、X2,则X1

方程x2+2mx+m+3m-2=0有两个实数根

则判别式厶=（2n）2-4*（n2+3m-2）>

0

2

m<

3

根据韦达定理，X1+X2=-2m

X1X2=n2+3m—2

又Xi（X2+X1）+X22

=x1X2+Xi2+x22

（X2+X1）2-xiX2【将②③代入】

（-2m）2-（n2+3n—2）

故，当m=2时，有最小值是

6、平面直角坐标系中两定点

A（-5,0,）,B（3,0）,抛物线y=ax2+bx-30

因为点A（-5，0,），B（3，0）均为x轴上的两点，且抛物线过这两点，故抛物线的解析式可写为：

y=a（x+5）（x-3）

y=a（x2+2x-15）

y=ax2+2ax-15a①

又已知，抛物线y=ax2+bx-30②

根据恒等原理，①式与②式对应的系数相等。

那么它们的常数项相等，即：

-15a=-30解得：

a=2

将a=2代入①式，解得抛物线解析式为：

y=2x2+4x-30

再对y=2x2+4x-30变形

y=2（x2+2x）-30

y=2（x+1）2-32

所以，顶点C坐标（-1,-32）

答：

抛物线解析式为：

y=2x2+4x-30，

顶点C坐标（-1,-32）

四边形APBC为梯形，有两种情况，一是BP//AC,—是AP//CB

（1）当BP//AC

所以③二④

化简:

n=24-8m因为P（mn）在抛物线上，

所以，把x=m,y=n代入y=2x2+4x-30中

得:

n=2m2+4m-30

因为⑤=⑥，消去n，

得：

24-8m=2m2+4m-30

化简：

m2+6m-27=0

（m+9（m-3）=0

m=-9，m=3

n=96,则P坐标（-9，96）

将m=-9代入⑤中，解得,

将m=3代入⑤中，解得，n=0,则P坐标（3,0）与B（3,0）重合，舍去

故：

当BP//AC时，P坐标为（-9,96）

直线BC的斜率k3=8

fen卄—

由K3=k4,得8=即:

n=8m+40⑦

m+5

因为P（mn）在抛物线上，

n=2m2+4m-30⑧由⑦二⑧解得，m=7m=-5

将m=7m=-5代入⑦，

解得n=106,n=0

即P坐标（7,106）,或p（-5,0）与A（-5,0）重合，舍去

当

场AP//CB时，P坐标为（7,106）

7、已知抛物线y4x2+bx+c与x轴相交于点A和B（2,0）,与y轴相交于C（0,-6）

（1）求出抛物线的解析式和A点的坐标。

（2）D为抛物线的顶点，设P点（t，0），且t>

因为抛物线与y轴相交于C（0,-6）

将x=0,y=-6代入y=4x2+bx+c,解得：

c=-6

那么，抛物线解析式为：

y=-x2+bx-6

抛物线与与x轴相交于A（2,0）,

33

将x=2,y=0,代入y=4x2+bx-6，解得：

b=㊁

故，抛物线解析式为：

y=4x2+^x-6

将y=4x2+只-6变形

y=4（x2+2x-8）

y=4（x-2）（x+4）

令y=0，解得x=2，或x=-4

则与x轴相交的坐标为（2,0）,（-4,0）

已知B（2,0）,所以A坐标（-4,0）

将y4X2+2X-6变形

y=4（x2+2x）-6

33y=7（x2+2x+1）-6-

44

327

y=4（x+1）2-7

设对称轴与x轴相交于x轴于E,过顶点C作CF平行于x轴交DE于

F.

梯形EFCF面积=2*

EP+CFI*

EF

一_*

_2

[t-

（-1）]+[0-

（-1）]*

=2*（t+2）

*6

=3（t+

2）

CDF面积一1*

CF

*

DF

—一*

Xc-

xD

yD-yc

——*

27

一*

0-

（-1）

4-（-6）

（Xp-XD）+（Xc-x

D）

yc

三角形

宀1

三角形DEP面积一*

DE*

PE

y*

Xp-XD

一—*

-4

*t-（-1）

=8

（t+1）

=②+③=3t+

三角形CPD面积=四边形DEPC面积-三角形DEP面积

51

8

24-3t

又因为：

△BDP-与^CDP的面积相等

2724-3t

百（t-2）=—T

13

&

，°

）。

如果厶BDP-与^CDP的面积相等，求P点的坐标（

8、在xoy直角坐标系中，点C（2,-3）关于x轴对称的点为A，关于原点对称的点为B，抛物线y=ax2+bx+c过AB两点，且点D（3,19）在抛物线上。

（1）求出抛物线的解析式，

（2）P（mn）点在直线y=2x+1上，若nv3,且/PAB=45，求出P点坐标。

因为点C（2,-3）关于x轴对称的点为A,所以A（2,3）

C（2,-3）关于原点对称的点为B,所以B（-2,3）

将x=2,y=3代入y=ax2+bx+c，得9=4a+2b+c①

将x=-2,y=3代入y=ax2+bx+c,得9=4a-2b+c②

由①-②得：

-4b=0，即：

b=0

那么,①式简化为:

9=4a+c

因为b=0,故，抛物线的解析式为：

y=ax2+c

D（3,19）在抛物线上，

将x=3,y=19代入y=ax2+c得，19=9a+c④

由④-③，解得：

a=2

将a=2代入③，解得：

c=1

所以，抛物线解析式：

y=2x2+1

A、B的纵坐标为3

P（mn）,nv3,说明P在AB的下方。

因为/PAB=45，所以直线AP的斜率=tan45°

=1则设直线AP的方程：

y=x+b

已知A（2,3）,将x=2,y=3，代入y=x+b

b=1

直线AP的方程：

y=x+----⑤

又P为直线y=2x+1与y=x+1的交点,

P坐标（0,1）