数学建模体能测试时间安排docWord文档下载推荐.docx
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5项测试都在最多容纳150个学生的小型场所进行，测试项目没有固定的先后顺序。
学校要求同一班的所有学生在同一时间段内完成所有项目的测试，并且在整个测试所需时间段数最少的条件下，尽量节省学生的等待时间。
问题一：
要求用数学符号和语言表述各班测试时间安排问题，给出该数学问题的算法，尽量用清晰、直观的图表形式为学校工作人员及各班学生表示出测试时间的安排计划，并且说明该计划怎样满足学校的上述要求和条件。
问题二：
为学校以后的体能测试就以下方面提出建议，并说明理由：
如引进各项测量仪器的数量；
测试场所的人员容量；
一个班的学生是否需要分成几个组进行测试等。
附表参加体能测试的各班人数
班号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
人数
41
45
44
26
42
20
38
37
25
16
17
18
19
21
22
23
24
27
28
29
30
39
35
36
32
33
31
34
40
43
51
50
46
47
48
49
52
53
54
55
56
75
二、模型假设
1．每次每班优先测试，不发生插队情况，即等一个班测完再轮到下个班；
2．每个班不会迟到，即规定哪个班在哪个时刻到场测试他们就要准时到场；
3．各种测试仪器在测试过程中不会发生故障问题；
4．同学的等待时间为进场测试直到他测完出场其间要等待的所有时间，该同学没进场就不算他的等待时间；
5．体能测试项目要等够十个人才能开始测试，即每班后面的零头学生，可以由下个班的同学补上，凑够十个人，其中间就要加上个输入个人信息的时间5秒,但是一个时间段测试的班级最多也就是十几个班，所以转班总需要增加的时间也只是要1～2分钟，相对于一个早上或下午的测试时间来说是相当少的，所以可忽略不计。
6．假设没个学生都是一完成测试就马上离场。
三、符号说明
A
：
表示进行台阶测试这个项目
B
：
表示进行肺活量测试这个项目
C
表示进行立定跳远测试这个项目
D
表示进行握力测试这个项目
E
表示进行身高和体重测试这个项目
a：
每班后面不够十人的零头人数，取0～9的自然数
t：
a个人完成中、小循环所用的最少总耗时
T：
a个人完成大循环二方案所用的最少总耗时
k：
人数中的一个系数，取任何实数
x、y、z、m、n：
分别表示身高和体重测试仪器、肺活量测试仪器、立定跳远测试仪器、握力测试仪器、台阶测试仪器的台数
第i班完成全部测试的时间
Q：
平均流量
q：
场地当前的人数
身高和体重测试仪器的测试速率
肺活量测试仪器的测试速率
立定跳远测试仪器的测试速率
握力测试仪器的测试速率
台阶测试仪器的测试速率
H：
全校所有同学测完所有项目的总耗时
V：
当流量达到最大时，即衡流状态下整个测试过程的速率
N：
每时段参加测试的总人数
当流程达到恒流状态时，N个人测完所有项目时所用的时间
当流程达到恒流状态时，N个人测完所有项目时，每个人平均用时
当流程达到恒流状态时，N个人测完所有项目时，每个人平均等待时间
四、问题一的分析与解答
本题的测试项目可以看成工序问题，虽然题目没有规定测试项目的先后顺序，但要求：
1.保证整个体能测试过程所需的时间段数最少；
2.在整个测试时间段最少的情况下，尽量节省学生的等待时间。
1、关于最小测试时间段数的分析
从给出的已知条件，我们能得到在现有的仪器数量和仪器单位测试能力情况下，五种仪器的测试能力分别为：
10人次/210s，1人次/20s，1人次/20s，2人次/15s，3人次/10s。
由此可发现台阶测试在单位时间内的效率是最低的，初步判断台阶测试就是关键的工序，即只要再找出测试其他四项目所用的时间
台阶测试时间，就可以确定台阶测试就是整个测试过程的关键工序。
为了充分利用台阶测试仪器，我们不妨先假设有10个连号的同学做台阶测试，做完台阶测试后再紧接着做其他四项测试，可得知在连号情况下（见优化方案）：
10个人完成其他四项测试所用的最少时间
10个人完成台阶测试所用的最少时间，因此推断出台阶测试就是整个体能测试最大流量的瓶颈，即
那么,完成所有同学的测试所需用的最少时间段数可如下估计：
由附表，学校的总人数为2036人，台阶测试的最大流量为10人次/215s，因为台阶测试仪器是两台，所以中间要加一个输入学号的时间5秒，则速率就是10人次/215秒，故可得出最少测试时间
43774s。
从题目知上午的测试总时间为15000秒，下午的测试总时间为11700秒，所以完成三个时间段后还需测试：
43774-15000-11700-15000=2074s，即完成整个测试最少也需要4个时间段，但是第4个时段并没有完全利用。
如果有一个良好的测试安排方案能保证在4个时间段内完成所有测试，可以减少同学等待时间，也可以让仪器得到充分利用，这样就是下面优化的问题。
2、关于确定入场后最优测试方案以尽量减少学生的等待时间的分析
假设能在四个时段内完成所有学生的测试。
考虑到第四个时段有可能没被完全利用和前面三个时段的饱和利用，我们把总人数按时段的长度比率成四个时间段均匀的分配下去，这样可以减少学生的等待时间，也可以让仪器得到充分利用，最后测试的学生也不会出现时间紧凑的情况。
据此规则，可分为：
早上：
2036÷
2÷
（15000＋11700）
15000＝572人
下午：
2（15000＋11700）
11700＝446人
我们再按这个人数从班级表中凑合参加每时间段测试的班级数，使得：
早上参加测试班级的总人数＝572人，下午参加测试班级的总人数＝446人，则如下表1示：
表1
时段一
总人数
572
时段二
446
时段三
时段四
接下来我们进一步对测试项目顺序进行优化，找出关键工序，我们不妨先把整个测试系统看成是台阶测试和其他四项测试两大块之间的循环（大循环），此处台阶测试的最大流量已由前面算出为1人次/21s。
为了尽量节省等待时间，我们可同样按小块循环的方法来安排其余四项测试，使得学生尽量在最短时间内完成测试。
如此我们得到三个循环块：
中循环为大循环的内循环，小循环为中循环的内循环。
我们首先比较这三重循环完成相同人数所用时间，然后找出关键工序。
因为台阶测试时要达到最大负载就要10个人一起测试，所以我们以10个人为一小单位进行测试讨论，下面是对中、小循环优化图：
1号走的路线：
总耗时：
5＋20
10＋5＝210（秒）
2、3号走的路线：
5＋20＋20*2＋15＋10＝90（秒）
4～10号走的路线：
10＝205（秒）
所以10个人完成这个中、小循环所用的最少时间是：
210秒，如果（10n＋a）个人的话，当a不为0时所用的时间：
（n
210＋t）秒，当a为0时所用的时间：
210）秒。
接下来对大循环进行优化，有两种方案进行比较：
一方案
1～10号走的路线：
5＋210＋210＝425（秒）
11~20号走的路线：
210＋215＝425（秒），所以完成20个人全部测试的话，至少要425秒，那如果有（20n＋a）个人的话,当a不为0时所用的时间就是：
425＋T）秒，当a为0时所用的时间：
425）秒。
二方案
215
2＋210＝640（秒），如果有（20n＋a）个人的话，当a不为0时
所需要的时间是：
『20（n－1）
20+640＋T』秒，
当a为0时所需的时间为：
20+640』秒。
根据上面分析，我们不难发现整个测试过程的关键工序（瓶口）就是台阶测试，因为10个人测试台阶的时间是215秒，而10个人去测试其他的四个项目所用的最少时间是210秒，则台阶测试10个人的时间足够给10个人去测试其他的四项，即
则台阶测试的速度就是整个测试过程的实际最大流量，即10人次/215秒。
比较大循环中两个方案：
如果有（20n＋a）个人，当a不为0时所需要的时间为：
20+640＋T』（秒）
20+640』（秒）
当『20（n－1）
20+640』＝（n
425）时，就可以求得当测试多少人时两种方案所用的时间相等，从而可以比较出那种方案会更优；
而解得n＝9.6时，即当测试得人数为192人时，两种方案的耗时就达到相等，而当n<
9.6时，『20（n－1）
20+640』>
425）,即人数少于192人时第一种方案就更优些，而当n>
20+640』<
425）,即人数超过192人时第二种方案就更优些；
实际上我们所测试的人数肯定超过192人，所以我们采用了第二种方案。
综合上面分析，我们采用了大循环的第二方案＋中、小循环的优化方案，再根据上面已经凑合好的每个时间段参加测试的班级表，计算出各个班要进场的时间，如下表2所示：
表2
时间段一
时间段二
时间段三
时间段四
入场时间
8:
00
13:
10'
30'
'
47'
30"
24'
14:
01'
45'
33'
08'
59'
15'
22'
9:
36'
50'
15:
04'
11'
25'
10:
06
15;
53'
39'
57
46'
11:
02
但表2给出的时间是非常准确的，理想化的时间，但实际上要让学生这么准时的到达是根本不可能实现的，所以我们把时间表又进行了进一步的调整，使它们都落在整数的时刻，但又要保证能够在实际的流量下不间断的工作，所以我们所取的整数一定要去在原来的实际时刻之前，不能之后，所以我们拟出了表3：
表3
05
由上面分析，当测试的流量达到最大的时候，即恒流状态时，流量就是10人次/215秒，即V=
，所以在这种状态下第一个人测完所有项目时所用的时间为：
，依此类推可知第二人的用时：
，第三人：
、
……是个等差数列，则可推出N个人测完所有项目所用的时间：
=
N个人测完所有项目时，每个人的平均用时：
＝
=
从公式可以看出每个学生的平均用时是跟总人数N有关,当速率一定时，
和N成正比关系，所以人数越多，每个学生的平均用时就会越多，即每个学生的平均等待时间也会越多，我们也可以根据这个公式去考虑第二问中的场地人员容量。
同时也可以推出N个人测完所有项目时，每个人的平均等待时间：
－275=
－275
当N＝30人时，整个测试就可以达到恒流状态，则代入公式可求得30人的平均等待时间为：
58秒。
五、问题二的分析与解答
1、怎样购进测试仪器问题：
我们认为，在各测试仪器单位测试流量已定的前提下，仪器配备的数量与学校的学生总人数和学校要求的总测试时间有关系，即仪器数量是学生人数与时段数两个量的函数，而与测试场所容量没有关系。
一般而言我们都希望所有测试能充分利用整个时段，即不出现最后一个时段不完全利用的情况。
由学校总人数和要求的总测试时间，可以确定测试系统的平均流量如下：
平均流量Q=
由题意，我们能得出各种仪器的单位测试流量如下表所示：
仪器
身高体重
立定跳远
肺活量
握力
台阶
流量（人/台*秒）
0.1
0.05
0.067
0.0238
由此可得某个项目的测试流量公式如下：
项目流量=
该仪器数量×
该仪器单位流量.
为了达到所要求的系统测试流量且保证所有仪器都可以得到充分利用，就要尽量使得各项目的流量相等并且等于测试系统的平均流量，即使得：
项目流量=平均流量.
从而得到：
某仪器应该配备的数量=
利用上面公式，我们可以求得每种仪器应该配备的数量。
为了计算方便我们利用了WIN-TC帮助计算具体程序见附件1。
求出最优的台数比
如图可见：
台数最优比例为：
10：
20：
15：
所以根据学校现有的的测试系统流量和现有人数考虑：
时间段数=3，人数=2036
=2.05台
以台阶测试仪器应该配备的数量为标准，则其他4种仪器的台数分别为：
x=0.19台；
y=0.95;
z=0.95;
m=0.71.
应为在实际情况下，n≧2.05台x≧0.19台；
y≧0.95;
z≧0.95;
m≧0.71.
即，我们建议的最少配置为n=3台;
x=1台;
y=1台;
z=1台;
m=1台。
2、测试场所的人员容量问题:
根据上面已经推出来的，每个人的平均使用时间公式：
，
。
由此可看出如果系统的容量很大，则相应N很大，因此平均等待时间就越长。
当N=1时，测试者在系统中的时间就是其测试时间，不用等待。
但是这种情况会造成时间上安排的累赘，不合理。
但N过大又加长了平均所用时间。
为了既便于管理，又不造成平均所用时间过长，我们建议场所的容量为：
班级最大人数+测试系统仪器所能容纳的最多人数。
这样能保证一个班同时进场，又保证仪器不空。
就该题提供的数据来看，我们建议场所的容量为75+19=94（人）。
3、讨论一个班分不分组问题：
当在该学校原有的设备台数情况下，而且在大循环测试环节里，就没有必要进行分组，其实就是前面我们所比较过的大循环的两个方案，当测试的人数超过192人时，流水线所用的总时间就会比分组测试所用的总时间少，则分组反而会影响总体的速率；
但在中、小循环的测试中就要进行分组了，因为它想达到最优速率，就得安排一些同学先去测别的项目，具体安排见中、小循环优化图。
当在重新购进仪器，使每个测试项目的速率达相等的情况下，每班就有必要进行分组，因为在配置各项目速率相等的时候，是按照各项目的最优速率进行配置的，而各个项目要达到最优的速率就要进行分组优化，像上面的中、小循环优化一样的思想，但具体要分成几组，要怎么分就还要进一步的分析。
六、模型的改进
下面是对第一问模型的改进：
由上表可以知道总流量不可能突破台阶测试流量即：
最大流量=0.0238×
2=0.0476（人/台*秒）
还是小于其他所有仪器1台的流量，所以说，除台阶测试外其他机器只需要1台，整个系统还是保持在最大流量。
以下面方案证明是可行的：
首先和原来方案一样把台阶放在最前面，其余4项按从流量从慢到快依次排开，整体形成一条“流水作业”，这种方法即可以达到最大流量，也可以节省仪器，而且流程简单易明，但个别同学的等待时间就会略有增加。
下面给出“流水线作业”的流程说明与安排图示：
1．在此情况下各个项目的流量分析：
我们根据各种仪器的速率，有：
台阶测试≦跳远≦肺活量≦握力≦身高
所以在前一个仪器测完多少人，后面的仪器也一起肯定能测完多少人，则前一台仪器流到后一台仪器的人数肯定能被消化完，毫不会影响整个流程的速率。
2．此系统在第一个人出来的时候已经开始达到一种动态平衡，即恒流状态。
图例：
七、模型的优缺点评价
1、在第一问中，在首先无法建立模型的情况下，我们对题目进行了合理的假设估计，先得出理论的最大流量，再进行具体优化，找出实际的最大流量，从而建立了相应的优化模型；
2、第一问，我们在进行具体优化的时候，巧妙的把所有的项目分成了三重内循环，比较各循环的速率大小，找出了关键工序（瓶口），从而得到实际的最大流量；
3、当我们确定出了最少时间段数后，我们把总人数按每时间段的测试时间比率平均分配到每个时间段中去，这样按实际最大流量来算的话，每个时间段后面都会有空余的时间，早上：
15000－（570÷
10＋1）
210－210－5＝2605（秒），下午：
1170
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