矩阵的概念和线性运算Word下载.docx
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AB、AB。
分别称为矩阵A、B的和与差。
AB表示将A、B中所有对应位置的元素相加、减得到的矩阵。
例如
2
3
4
A
5
B
32
35
3（
3）
20
50
11
62
三.矩阵的数乘
矩阵
A与数k相乘记为
kA或Ak0kA表示将
k乘A中的所有兀素得到的矩
3234
6
12
0，3A
3330
9
3531
15
当k1时，我们简记
（1）AA，称为A的负矩阵。
矩阵的加减与数乘统称为线性运算。
不难验证线性运算满足交换律、结合律与分配律，这与数量的运算规律相同，所以在数量运算中形成的诸如提取公因子、合并同类项、移项变号、正负抵消等运算习惯，在矩阵的线性运算中都可以保留、沿用。
31
7
例
2.1设A
15
79,B
7，已知
24
68
A2X
B，求Xo
解
2XB
再除以2
得
1/
A）。
通过心
在等式中移项得
X
-（B
算立得
X2
121721
例2.2设A为三阶矩阵。
已知A2，求行列式3A的值。
a1
a2
a3
3a1
3a2
3a3
解设A
b1
b2
b3，则3A
3b1
3b2
3b3
C1
C2
C3
3c1
3c2
3c3
显然行列式3A中每行都有公因子3，因此
2.2矩阵的乘法与转置
.矩阵的乘法
如果矩阵A的列数与矩阵B的行数相同，即A是ms矩阵，B是sn矩阵，那么A、B可以相乘，记为AB或AB,称为矩阵A、B的乘积。
ABC表示一个mn矩阵，矩阵C的构成规则如下：
B的第1列元素依次与A的各行元素相组合，形成C的第1列元素；
B的第2列元素依次与A的各行元素相组合，形成C的第2列元素；
……以此类推，最后B的第n列元素依次与A的各行元素相组合，形成C的第n列元素。
这里的“组合”表示两两相乘再相加。
的元素可用公式表示为
s
（2.1）
Cijaikbkj（i=l,2,…，m；
j=1,2,…，n）
k1
03123
14210
21
（2.2）
（1）
3
（2）
（1）1
1）
（2）
41
利用矩阵的乘法可以简化线性方程组的表示形式。
设
am1X1am2X2amnXn
是含有m个方程、n个变量的线性方程组，若记
a1n
X1
X
X2
b
Xn
bm
则方程组可表示为矩阵方程
Axb（2.3）
这个矩阵方程两端都是m1矩阵，因此相当于m个等式，恰好是（2.2）
式的m个方程。
（2.3）式称为线性方程组（2.2）的矩阵形式。
以后，矩阵形式（2.3）
将成为我们表示线性方程组的主要形式。
其中A称为线性方程组的系数矩阵，x称为变量列，b称为常数列。
二•矩阵乘法的性质
两个矩阵相乘要求行、列数相匹配，即在乘积AB中，矩阵A的列数必须等于矩阵B的行数，因此当AB有意义时，BA未必有意义。
即使AB和BA都有意义，它们也可能表示不同阶数的矩阵。
比如A是1n矩阵（行向量），B是n1
矩阵（列向量）时，
AB是11矩阵而BA为nn矩阵。
当A、B都是n阶方
阵时，情况又怎样呢？
88
例2.3设A
B
C
，求AB、
12
36
04
BA、ACo
解利用乘积的构成规则容易得到
16
32
AB
8
00
BA
AC
从例2.3可以看到矩阵乘法的两个重要特点：
（1）矩阵乘法不满足交换律。
即一般情况下ABBAo
（2）矩阵乘法不满足消去律。
即从AO和ABAC不能推得BCo特别地，当BAO时，不能断定AO或者BOo
这两个特点与数量乘法的规律不同，所以在数量运算中形成的交换与消去习惯必须改变。
矩阵相乘时要注意顺序，有左乘、右乘之分。
不过，矩阵的自乘无需区别左乘右乘，因此，可以引入矩阵乘幕的记号，比如
AAAA3
这里A是n阶方阵。
方阵的乘幕显然有下列性质
AkA1Ak1,（Ak）1Akl
其中k、1是自然数。
但是因为A、B的乘积不能交换顺序，所以
222
（AB）（AB）（AB）（AA）（BB）AB
一般情况下，
当k
2时,
（AB）
k
AkB
o
这与数量的乘幕运算规则大不相同
例2.4
设A
，求P（A）
2A23A
4E
解P（A）
3A4E
29
14
13
30
10
01
本例中，P（A）与多项式P（x）2x3x4有类似的形式，因此称它为矩阵多项式。
一般地，如果一个矩阵式的每一项都是带系数的同一方阵A的非负整
数幕，“常数项”（零次幕项）是带系数的单位矩阵，那么称这个矩阵式为关于A
的矩阵多项式。
如果矩阵A、B满足ABBA，那么称A、B是可交换的。
可交换是个很强的条件，下面介绍两种特殊情况。
一种是对角矩阵。
容易验证
a
0L
L
aa
a2L
（2.4）
LL
an
bn
anbn
交换乘积的顺序，结果显然相冋。
由此可知
:
两个冋阶对角矩阵是可交换的，它
们的乘积矩阵由对应位置元素的乘积构成。
另一种是单位矩阵。
设Aaijmn,Em、En分别为m阶、n阶单位矩阵，
不难验证EmAA，AEnA。
特别地，当mn时
EAAEA（2.5）
可见单位矩阵E在矩阵乘法中与数1在数量乘法中有类似的作用。
单位矩阵与任何同阶矩阵可交换。
矩阵的乘法虽然不满足交换律，但仍满足下列运算规律（假设运算都是可行
的）:
（1）乘法结合律：
（AB）CA（BC）
（2）左、右分配律：
（AB）CACBC,C（AB）CACB
（3）数乘结合律：
k（AB）（kA）BA（kB）
这些运算律的证明，都可以利用乘法公式（2.1）以及通过和式的乘积展开与
重组来完成，此处从略。
这些运算律与数量的运算规律相同，所以在数量运算中形成的诸如多项乘积展开、系数归并化简、因式分解、连乘重组等运算习惯，在矩阵的运算中，仍可保留沿用，当然应该特别注意不可随意交换乘法顺序，不可随意约简非零因子。
三•矩阵的转置
把矩阵A的行与列互换所得到的矩阵称为矩阵A的转置矩阵，记为At，即
T
A
矩阵的转置方法与行列式相类似，但是矩阵转置后，行、列数都变了，各元素的位置也变了，所以通常AAt。
转置矩阵有如下性质（其中
A、
B是矩阵,
k是数）：
（1）（AT）T
（AB）T
atbt
（3）（kA）T
kAT
（4）
（ab）t
btat
这里性质
（1）
~（3）是显然的，
性质（4）
可利用乘法公式（2.1）证明
201
例2.5设Ai32，计算AAT和"
A。
aat
ata
若方阵A满足AA，则称A为对称矩阵。
比如例2.5所求的两个矩阵都是对称矩阵。
四•方阵行列式的乘积定理
设A、B都是n阶方阵。
一般地ABBA，但它们的行列式相等，并且
ABBAAB（2.6）
定理2.1方阵乘积的行列式等于各因子行列式的乘积。
这个定理的结论简明、自然，但它的证明很复杂，并且需要用到特殊的构造性技巧，此处从略。
2.3逆矩阵
一.逆矩阵的概念
设A是n阶矩阵（方阵），如果存在n阶矩阵B，使得ABBAE，则称矩阵A是可逆的，并称B是A的逆矩阵。
矩阵A可逆时，逆矩阵B必唯一。
事实上，若另有一逆矩阵B,，则由ABE和B1AE得到B,B,EB,（AB）（B,A）B
EBB。
这样，逆矩阵可以有唯一的记号。
记A的逆矩阵为A1，即
AA1A1AE
（2.7）
比如不难验证
A1
13
逆矩阵相当于矩阵的
~T—、，fA
倒数
但是因为矩P牛的乘法有左乘、
右乘之分，所以
不允许以分数线表示逆矩阵。
如果三个矩阵A、
B、
C满足AB
AC,
且A可逆，
那么在等式两边左
乘逆矩阵A二可得A
1AB
1AC,
即EB
EC
，从而B
C。
这说明利
用逆矩阵可以实现“约简”，换言之，矩阵的乘法并非没有消去规则，但消去规则
必须通过逆矩阵的乘法来实现，可逆才有消去律。
当然，在等式两边乘逆矩阵时应当注意分清左乘还是右乘。
逆矩阵为求解矩阵方程带来了方便。
比如线性方程组Axb中，若A可逆,
Ab，事先求出逆矩阵
C中，
则x
又如矩阵方程AXB
XACBo
A，只要做一次乘法,
若A、
B均可逆，
即可求得所有变量的值。
则未知矩阵直接可求：
.矩阵可逆的条件设有n阶方阵
an1
an2
ann
它的行列式A有n个代数余子式得到矩阵
Aj
（i,j=1,2,••
n），将它们按转置排列,
称A为矩阵验证
AA
如果A
A1
.*AI2
An
A21
A22
A2n
An1
An2
Ann
A的伴随矩阵。
利用第一章的定理1.2（代数余子式组合定理）
容易
0AE
0，则上式两端除以非零数
A，可得
AjqA
Aa*ae
这说明矩阵A可逆，并且
丄A*
（2.8）
定理2.2方阵A可逆的充分必要条件是它的行列式不等于零：
证（2.8）式已给出充分性证明，现证必要性。
如果矩阵
AA1E取行列式，根据定理2.1的（2.6）式得A1
因而必有A0o
行列式非零的方阵又叫做非奇异矩阵。
显然，非奇异矩阵和可逆矩阵是等价的概念。
行列式等于零的矩阵自然叫做奇异矩阵。
奇异矩阵即不可逆矩阵有无数多个,这与数量中唯有数
0没有倒数大不相同。
例2.6设A
2，求A1o
解显然A
A可逆,
AA1
0。
则由
0，A的代数余子式都是一阶行列式，不需要计算，只
要附上适当的符号，并注意转置排列即可:
142
"
231
公式（2.8）给出了求逆矩阵的方法，但是求伴随矩阵A要计算n2个（n1）
阶行列式，当n较大时，计算量非常大。
我们将在下一节介绍更好的方法。
定理2.3设A、B都是n阶矩阵，则BA的充分必要条件是ABE或者BAE。
证必要性显然，只证充分性。
若ABE，取行列式得AB1，故
A0，则根据定理2.2，A存在。
等式两端左乘A，立得111
BAABAEA。
BAE的情况相同，证毕。
定理2.3表明，检验或者证明B是否A的逆矩阵，只要做一个乘法即可。
比
如从公式（
2.4）
很容易求得对角矩阵的逆矩阵。
印
1a1
1a2
（2.9）
1an
其中a1a2
三•逆矩阵的性质
（1）若A可逆，则A1也可逆，且（A1A。
证根据定理（2.3）,只需做一个乘法：
因为AA1E，故得证。
（2）若A可逆，则AT也可逆，且（AT）1（A1）T。
证因为At（A1）t（A1A）tEtE，故得证。
（3）若A、B是同阶矩阵且都可逆，则（AB）1B1A1。
证因为（AB）（B1A1）A（BB1）A1AEA1AA1E，故得证。
2.4矩阵的初等变换
一•矩阵的初等行变换
在第一章中，我们已经看到了行（列）变换在行列式计算中的重要作用。
对矩阵也有类似的变换。
对矩阵施行下列三种变换，统称为矩阵的初等行变换：
（1）换行变换：
将矩阵的两行互换位置。
（2）倍缩变换：
以非零数k乘矩阵某一行的所有元素。
（3）消去变换：
把矩阵某一行所有元素乘同一数k加到另一行对应的元素上去。
例如对下列矩阵
车作初等行
变换:
先将第
3行乘
2加t
到第1行，再将第1、3
行互换，得到0
由于矩阵的初等变换改变了矩阵的元素，因此初等变换前后的矩阵是不相等的，应该用“”连接而不可用“=”连接。
矩阵的初等变换可以链锁式地反复进行,以便达到简化矩阵的目的。
类似地可引入初等列变换的概念。
.初等变换的标准程序
3，求A1。
例2.7已知A
解将矩阵A和单位矩阵E拼成一个36矩阵AE。
类似于行列式的
降阶变换（参看
■§
1.2）,对
E施行
系列初等行变换：
AE
[1]
[4]1
14
34
74
52
7,4
1.2
可以验证，最后的矩阵中，右侧的矩阵就是逆矩阵，即
A134
1.4
本例的结果不是偶然的。
在论证这一方法之前，我们先结合例2.7介绍矩阵
初等变换的标准程序：
（1）变换分步进行，每步选一非零元素，称为主元。
利用行倍缩变换把主
元变为1,并且通过行消去变换把主元所在列的其它元素全都变为0。
（2）所选的主元必须位于不同的行。
逐步重复上述变换，直至选不出新的主元为止。
（3）穿插换行变换，使主元呈左上到右下排列。
简单地说，标准程序就是通过初等行变换（不允许做列变换），变出一个一
个不同的基本单位列，直至变不出新的基本单位列为止。
基本单位列是指一个元
素为1其余元素全都为0的列向量。
比如在例2.7的运算中，带“*”号的第二步是以元素1为主元，将第2行乘1和2分别加到第1、3行上去；
最后一步（第四步）并未选主元，而是作了一个互换第1、3行的换行变换。
在所有的行消去变换中，主元都用“[]”号作了标
记。
标准程序体现了初等变换的目的性和条理性。
矩阵的初等变换将贯穿本书的始终，初等变换的标准程序也将反复多次得到应用。
三•用初等变换法求逆矩阵
设A是n阶矩阵，E是n阶单位矩阵，对n2n矩阵AE按标准程序作初等行变换，主元在左半部分（即前n列）的围选取。
当把子块A变成单位矩阵
E的同时，右半部分必然变成了A（参看例2.7）o
例2.8设A4
6,
问A
是否存在？
解运用初等变换法
AE4
60
0[
3]
90
53
230
43
130
标准程序已执行完毕，但子块A未变成单,
位矩阵，即
卩在未
选主元1
的行中没有非零
元素，无法选出新的主元，此时可以断定A不可逆。
其理由如下：
设想对行列式A施行初等变换。
如果将换行变换、倍缩变换或消去变换施加于行列式，则行列式的值仅仅是改变符号、非零倍缩或保持不变，总之初等变换不改变行列式的非零性，因此能通过初等变换检验矩阵的可逆性（参看定理2.2）o
例2.8说明用初等变换法求逆矩阵，不必事先知道矩阵是否可逆。
四•初等矩阵
对单位矩阵E施行一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵。
例如下面三个矩
阵
02
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