有限元理论与方法第1讲文档格式.docx

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讲授内容

备注

第1讲（第1周）

第一章有限元法及ANSYS概述

CAE即计算机辅助工程，指工程设计中的分析计算与仿真。

CAE软件可分为专用和通用两类，前者主要是针对特定类型的工程或产品用于产品性能分析、预测和优化的软件。

它以在某个领域中的应用深入而见长，如美国ETA公司的汽车专用CAE软件LS／DYNA3D及ETA／FEMB等。

通用软件可对多种类型的工程和产品的物理力学性能进行分析、模拟、预测、评价和优化，以实现产品技术创新。

它以覆盖的应用范围广而著称，如ANSYS、PATRAN、NASTRAN和MARC等。

目前在工程技术领域内常用的数值模拟方法有：

有限单元法（FiniteElementMethod，FEM）、边界元法（BoundaryElementMethod，BEM）和有限差分法（FiniteDifferenceMethod，FDM）等，但就其实用性和应用的广泛性而言，主要还是有限单元法。

作为一种离散化的数值解法，有限单元法首先在结构分析，然后又在其他领域中得到广泛应用。

1.1发展与现状

离散化的思想可以追溯到20世纪40年代。

1941年A.Hrennikoff首次提出用离散元素法求解弹性力学问题，当时仅限于用杆系结构来构造离散模型，但能很好地说明有限元的思想。

如果原结构是杆系，这种方法的解是精确的，发展到现在就是大家熟知的矩阵分析法。

究其实质这还不能说就是有限单元法的思想，但结合以后的有限元理论，统称为广义有限单元法。

1943年R．Courant在求解扭转问题时为了表征翘曲函数而将截面分成若干三角形区域，在各三角形区域设定一个线性的翘曲函数，这实质上就是有限单元法的基本思想（对里兹法的推广），这一思想真正用于工程中是在电子计算机出现后。

20世纪50年代因航空工业的需要，美国波音公司的专家首次采用三节点三角形单元，将矩阵位移法用到平面问题上。

同时，联邦德国斯图加特大学的J.H.Argyris教授发表了一组能量原理与矩阵分析的论文，为这一方法的理论基础作出了杰出贡献。

1960年美国的R.W.Clough教授在一篇题为“平面应力分析的有限单元法”的论文中首先使用“有限单元法（theFiniteElementMethod）”一词，此后这一名称得到广泛承认。

20世纪60年代有限单元法发展迅速，除力学界外，许多数学家也参与了这一工作，奠定了有限单元法的理论基础，搞清了有限单元法与变分法之间的关系，发展了各种各样的单元模式，扩大了有限单元法的应用范围。

20世纪70年代以来，有限单元法进一步得到蓬勃发展，其应用范围扩展到所有工程领域，成为连续介质问题数值解法中最活跃的分支。

由变分法有限元扩展到加权残数法与能量平衡法有限元，由弹性力学平面问题扩展到空间问题、板壳问题，由静力平衡问题扩展到稳定性问题、动力问题和波动问题，由线性问题扩展到非线性问题，分析的对象从弹性材料扩展到塑性、粘弹性、粘塑性和复合材料等，由结构分析扩展到结构优化乃至于设计自动化，从固体力学扩展到流体力学、传热学、电磁学等领域。

它使许多复杂的工程分析问题迎刃而解。

有限单元法的基本思想是将物体（即连续的求解域）离散成有限个且按一定方式相互联结在一起的单元的组合，来模拟或逼近原来的物体，从而将一个连续的无限自由度问题简化为离散的有限自由度问题求解的一种数值分析法。

物体被离散后，通过对其中各个单元进行单元分析，最终得到对整个物体的分析。

网格划分中每一个小的块体称为单元。

确定单元形状、单元之间相互联结的点称为节点。

单元上节点处的结构内力为节点力，外力（有集中力、分布力等）为节点荷载。

数值模拟技术通过计算机程序在工程中得到广泛的应用。

到20世纪80年代初期，国际上较大型的面向工程的有限元通用程序达到几百种，其中著名的有：

ANSYS，NASTRAN，ABAQUS，ASKA，ADINA，SAP与COSMOS等，它们功能越来越完善，不仅包含多种条件下的有限元分析程序，而且带有功能强大的前处理和后处理程序。

由于有限元通用程序使用方便、计算精度高，计算结果已成为各类工业产品设计和性能分析的可靠依据。

大型通用有限元分析软件不断吸取计算方法和计算机技术的最新进展，将有限元分析、计算机图形学和优化技术相结合，已成为解决现代工程学问题必不可少的有力工具。

ANSYS软件是融结构、流体、电磁场、声场和耦合场分析于一体的大型通用有限元分析软件。

由世界上最大的有限元分析软件公司之一的美国ANSYS开发，它能与多数CAD软件接口，实现数据的共享和交换，如Pro/E、UG、I－DEAS、CADDS及AutoCAD等，是现代产品设计中的高级CAD工具之一。

ANSYS公司成立于1970年，总部位于美国宾西法尼亚州的匹兹堡，致力于CAE技术的研究和发展。

ANSYS软件的创始人是美国匹斯堡大学力学系教授、著名有限元权威JohnSwanson博士。

如今，ANSYS软件已经成功地应用于世界工业的各个领域，它融结构、热、流体、电池、交通、土木工程、电子、造船等一般工业及科学研究。

ANSYS程序是一个功能强大、应用灵活的设计分析及优化软件包，可以浮动运行于从PC机、工作站到巨型计算机的各种计算机及操作系统。

日前，ANSYS公司发布了ANSYS9.0新版本（本文所述无特别说明外针对该版本），它是世界上第一个在ANSYSWorkbench产品研发平台上整合了电磁、计算流体动力学以及网格划分技术的软件，从而大大拓展了工程仿真的应用领域。

用户可以通过它来完成CAD的数据读取、几何处理、网格划分、物理环境设置、求解控制以及后处理，而不再需要在完全不同的产品中切换和处理数据库文件。

用户可以通过一个非常直接的、方便的界面完成多载荷步加载、求解以及后处理。

此外，增强功能还包括梁应力工具、ANSYSAPDL的自定义命令行、接触建模，以及用于提高用户仿真效率的其他工具。

ANSYS9.0在Workbench平台上开辟了整合核心技术的新天地。

1.2矩阵分析法及有限元法分析的一般步骤

矩阵分析法适用于由连杆或梁等单元组成的杆件结构，是一种具有朴素的有限元思想的非连续介质的力学分析方法，下面以此为例说明有限元分析的一般步骤。

1.2.1矩阵分析法

杆系结构的矩阵分析方法从广义上说，也可以包括在有限单元法中，并且可以比较形象地说明有限单元法的概念，在实际工程中也有很大的应用价值。

水平杆单元刚度矩阵

如图1-1所示桁架，杆的两端都可以产生位移。

为了循序渐进，先研究水平直杆ij，如图1-2所示。

图1-1桁架

图1-2水平杆单元

杆单元两端各有一个水平节点位移ui和uj，即具有两个自由度。

两端结节点力分别为Ui和Uj。

杆的受力情况可分解为两种状态。

∙状态一：

ui=ui，uj=0。

这时，节点j被固定。

单元应变：

单元应力：

材料力学中以拉应力为正，而有限单元法中，以向右的节点力为正，所以下式中加一负号。

单元左端节点力：

单元右端节点力：

∙状态二：

ui=0，uj=uj。

这种状态与状态一正好相反。

把以上两种状态的结果叠加起来，得到左、右两端都可变位情况下单元节点力为

写成矩阵形式得到

（1-2-1）

其中

（1-2-2）

式（1-2-2）称为单元刚度矩阵。

刚度矩阵在有限单元法中是一个比较重要的概念，能体现出任何一个自由度方向的节点力与所有节点位移之间的关系。

单元轴力可写为

（1-2-3）

其中

（1-2-4）

在杆件结构中，通常以轴力作为广义应力，因此矩阵S称为单元应力矩阵。

实际，在节点i和j，除了水平位移外，还可产生垂直位移（但在小变形条件下，垂直节点位移对铰接杆的内力无影响）。

引入垂直节点位移vi、vj和垂直节点力Vi、Vj，把单元刚度矩阵扩展为四阶形式，单元节点力为

（1-2-5）

或

（1-2-6）

其中，

为节点力；

为节点位移

单元刚度矩阵

（1-2-7）

单元轴力

（1-2-8）

倾斜杆单元刚度矩阵

图1-3局部坐标与整体坐标

如图1-3所示，局部坐标

、

与整体坐标x、y之间的位移

与

之间存在如下变换关系

（1-2-9）

式中，转换矩阵

为正交矩阵，其中α=cosθ，β=sinθ。

则局部坐标系中节点力

与整体坐标系中的节点力

之间关系为

（1-2-10）

局部坐标系中的节点力

（1-2-11）

局部坐标系中的刚度矩阵

见式（1-2-7）。

将式（1-2-9）和（1-2-10）代入（1-2-11）得

或记为

（1-2-12）

上式反映了单元节点位移与单元节点力的关系，称为单元刚度方程。

，为整体坐标系中的单元刚度矩阵，即

（1-2-13）

并将式（1-2-12）记为

（1-2-14）

其中，i点节点力Fi=[UiVi]T，j点节点力Fj=[UjVj]T，i点节点位移δi=[uivi]T，j点节点位移δj=[ujvj]T，

，

。

刚度系数Kij的意义是节点j的单位节点位移在节点i上产生的节点力，其余类推。