王亚薇单电子辐射跃迁选择定则的讨论.docx

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王亚薇单电子辐射跃迁选择定则的讨论

单电子辐射跃迁选择定则的讨论

（理学院物理系物理学）

摘　要

原子辐射跃迁选择定则是原子物理学中的一个重要原则。

本文主要采用两种方法对单电子辐射跃迁选择定则进行讨论。

第一种方法，利用量子方法讨论；第二种方法，利用半经典方法讨论；两种方法分别对电子的轨道和自旋有无耦合的情况下进行了推导。

用两种不同的方法，得到了一致的结果。

关键词：

电偶极辐射；跃迁几率；角动量守恒；量子数；选择定则

DiscussionofSingleElectron’stransitionSelectionRule

（DepartmentofPhysics,Collegeofscience,Physics）

Abstract

Selectionruleofatomtransitionisoneoftheimportantprinciplesintheatomphysics.Thispaperadoptstwomethodstodiscusstheselectionruleofthesingleelectrontransition.Inthefirstmethod,quantummethodisusedtoanalyzetheproblem.Inthesecondmethod,semiclassicalmethodisusedtodiscussthethesis.Twocasesthattheelectricorbitandspinhavecouplingandnocouplingarerespectivelydiscussedinbothmethods.Bytwodifferentmethods,thesameresultisconclued.

Keywords：

Electricdipoleradiation；Transitionprobability；Conservationofangularmomentum；Quantumnumber；Selectionrule

目录

1引言.....................................................................1

2量子方法讨论选择定则.....................................................1

2.1电子的轨道和自旋无耦合的情况.........................................1

2.2电子的轨道和自旋有耦合的情况.........................................3

3半经典方法讨论选择定则...................................................7

3.1角动量的矢量合成法则.................................................7

3.2电子组态变动定则.....................................................7

3.3无耦合的跃迁选择定则............................................9

3.4有耦合的跃迁选择定则...........................................10

4结论....................................................................11

参考文献..................................................................12

致谢......................................................................13

1引言

微观粒子（分子、原子、原子核、基本粒子等）的运动规律，是本世纪二十年代在总结大量实验事实和旧量子论的基础上建立起来的。

随着它的出现，人类对于物质微观结构的认识日益深入，从而能较深刻地掌握物质的微观理论，为用于生产开辟了广阔的途径。

电子跃迁就是微观状态发生跳跃式变化的过程。

由于微观粒子的状态常常是分立的，所以从一个状态到另一个状态的变化常常是跳跃式的。

跃迁选择定则有很多种，不同跃迁遵从不同的跃迁选择定则。

从跃迁的性质来分，主要分为电性和磁性两种。

在原子物理中涉及的L-S耦合跃迁选择定则指的是电偶极矩跃迁，原因是电偶极矩跃迁强度比磁极跃迁和多极矩跃迁强度大得多（倍）。

原子的辐射跃迁选择定则也是指电偶极辐射跃迁选择定则。

本文采用量子和半经典两种方法，分别从电子的轨道和自旋（L-S）有无耦合的情况下对电偶极辐射跃迁选择定则加以讨论。

使人们对单电子辐射跃迁选择定则有更加深入的理解。

2量子方法讨论选择定则

下面分别从电子的轨道和自旋有无耦合的情况下对单电子辐射跃迁选择定则进行讨论。

2.1电子的轨道和自旋无耦合的情况

原子对光的发射和吸收是原子体系与光相互作用所产生的现象。

当光照射到原子上时，光波中的电场和磁场都对原子中的电子有作用，但和电场的作用相比较，磁场对电子的作用可以忽略，所以只考虑光波中的电场对电子的作用。

对于入射光为各向同性，且偏振是无规则的，则原子体系在单位时间内由态跃迁到态的几率为：

（1）

由此可知，当且仅当不为零,即其三个直角坐标系分量和不全为零时，原子光吸收的跃迁几率方不为零。

再由：

（2）

（3）

两式可知原子受激发射和自发发射的跃迁几率也不为零。

其中表示吸收系数，表示受激发射系数，表示自发发射系数。

这称原子在和两能级之间的跃迁是允许的。

否则，辐射跃迁是禁戒的。

因此这个条件，可以得出产生原子跃迁选择定则。

我们具体讨论氢原子、类氢离子及碱金属原子。

其哈密顿算符写成为

其本征矢量若用电子自旋——轨道角动量无耦合的态矢量，在和共

同表象写为：

（4）

则的具体形式是:

（5）

利用球谐函数的一个递推公式：

（6）

及球谐函数的正交归一化表示式，可知若满足：

（7）

时，则矩阵元

同样，和的具体形式分别为：

（8）

（9）

利用球谐函数的另一个递推公式：

（10）

及球谐函数的正交归一化表示式可知，若

（11）

时，则矩阵元

综合（7）（11）两式可知：

为跃迁的电偶极辐射选择定则。

原子的两个定态和之间如果满足上式，则在电偶极近似下光吸收和发射的跃迁几率不等于零，会有光谱线产生。

2.2电子的轨道和自旋有耦合的情况

原子由一种态跃迁到另一种态有一定的几率，设电子的自旋和轨道有耦合作用下电子的本征态为。

则电子由态跃迁到电偶极自发跃迁几率为:

（12）

其中各代表4个量子数，。

上式中

（13）

三个矩阵元中至少有一个不等于零，跃迁才是允许的。

可以表示为：

（14）

其中为径向波函数，为的共同本征函数，可以分成两类：

（15）

（16）

利用式（14），矩阵元可以分离变量地表示成：

（17）

其中径向积分通常与选择定则无关。

利用公式

（18）

（19）

即得

，（20）

类似地，可得

（21）

再利用（18）式，可得

（22）

（23）

利用Pauli矩阵的具体形式为：

，，

以及的正交归一性和式（15）（16）（17）三式就可算出这些矩阵元。

这样计算较之直接利用的递推公式要方便得多，特别是有利于确定选择定则，但是定性地利用的递推公式还是有益的，它们是：

（24）

（25）

由此可见，量子数的选择定则是。

下面分类讨论

（1）

（a）型

中球谐函数的阶为；中球谐函数的阶为。

中球谐函数的阶为；中球谐函数的阶为。

作用的结果，并不改变球谐函数的阶,属于不同阶的球谐函数是互相正交的，因此式（22）右端第二项为0，从而

容易看出，仅当时，上式才不等于0，故的选择定则为：

（b）型

根据式（20），只需将情况（a）所得公式中换成可得到相应的矩阵元公式，即

容易看出，仅当时，上式才不等于0，故的选择定则为

（c）型

根据式（23）取，利用球谐函数的正交性，易得的选择定则仍为：

（d）型

由（21）及（23）得到

中球谐函数的阶为，中球谐函数的阶为，中球谐函数的阶为，中球谐函数的阶为。

由球谐函数的正交性，易见上式右端等于0，故的跃迁是禁戒的。

总结以上即得，跃迁的选择定则为：

（2）

计算类似于

（1），选择定则为：

综合

（1）

（2）可知的选择定则为：

。

3半经典方法讨论选择定则

3.1角动量的矢量合成法则

假设、分别是量子数为、的两个角动量矢量，其角动量大小分别表示为和，则它们的合矢量也是量子化的，且由和按矢量的平行四边形法则相加，其大小表示为，其中。

3.2电子变动组态定则

原子中的辐射属电磁相互作用过程，所以辐射前后体系的宇称守恒。

当单个电子在某中心场中运动时，其状态可由下述波函数描写为：

（26）

其中为径向波函数，为球谐函数，为电子的自旋波函数。

在球坐标系下对（26）作空间反演变换。

不难推知：

（27）

可见，波函数（即电子）的宇称决定于电子的轨道量子数，当为奇数时，宇称为寄；当为偶数时，宇称为偶。

用符号标记宇称，则在中心场中运动的电子的宇称：

（28）

对核外有个电子的原子，忽略电子间的相互作用，则原子的总体波函数为：

（29）

其中。

由（28）知，第个电子的宇称为，而（29）式右端展开式中的每一项都是个单电子波函数的乘积，很明显的宇称必为：

（30）

即原子的宇称为原子内有单电子的宇称之积。

设辐射前后原子的宇称分别为、，因辐射出的光子的宇称为，则由宇称守恒定律得，用（30）式的形式表示、，则:

它等价于

偶性态（偶数）奇性态（奇数）（31）

这就是关于电子组态变动的定则。

3.3无耦合的跃迁选择定则

设电子在辐射前后的角动量和自旋角动量分别为、、、。

辐射出的光子的角动量为，其中。

在电偶极辐射中角动量守恒

（32）

根据准备知识3.1可知，由于，则有：

（33）

讨论：

①当时，，即。

②当时，由于轨道角动量量子数是大于或等于零的整数，所以。

由（33）式得，所以。

综合①②及准备知识3.2可得选择定则：

辐射前后电子的角动量沿场方向的角动量也守恒：

（34）

即（35）

对于光子代入（35）整理得

在电偶极辐射中，由于电偶极算符与自旋无关，所以它恒不改变电子的自旋状态，应用自旋角动量的矢量模型，可以认为辐射前后原子的自旋角动量矢量相同，即：

（36）

辐射前后电子的自旋角动量沿场方向也守恒：

（37）

故有

（38）

所以

3.4有耦合的跃迁选择定则

所谓耦合是根据角动量合成法则，将原子的轨道角动量和自旋角动量合成原子的总角动量。

设、、、、、分别为辐射前后电子的总角动量、轨道角动量、自旋角动量，辐射出的光子的角动量为，其中,电极辐射前后角动量守恒：

（39）

根据准备知识3.1可知的取值是，由于，则有：

（40）

讨论：

①当时，。

即。

②当时，由于总角动量量子数只能是大于零的整数或半整数，的可能取值只能是。

故由（40）式可知,即。

综