三角形的外接圆与外心北京习题集教师版.docx
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三角形的外接圆与外心北京习题集教师版
三角形的外接圆与外心（北京习题集）（教师版）
一．选择题（共3小题）
1．（2019秋•北京期末）如图，是的外接圆，，则的度数是
A．B．C．D．
2．（2020•丰台区模拟）已知，，是等圆，内接于，点，分别在，上．如图，
①以为圆心，长为半径作弧交于点，连接；
②以为圆心，长为半径作弧交于点，连接；
下面有四个结论：
①
②
③
④
所有正确结论的序号是
A．①②③④B．①②③C．②④D．②③④
3．（2019秋•海淀区期中）下列是关于四个图案的描述．
图1所示是太极图，俗称“阴阳鱼”，该图案关于外圈大圆的圆心中心对称；
图2所示是一个正三角形内接于圆；
图3所示是一个正方形内接于圆；
图4所示是两个同心圆，其中小圆的半径是外圈大圆半径的三分之二．
这四个图案中，阴影部分的面积不小于该图案外圈大圆面积一半的是
A．图1和图3B．图2和图3C．图2和图4D．图1和图4
二．填空题（共8小题）
4．（2019秋•石景山区期末）如图，等边内接于，若的半径为3，则阴影部分的面积为 ．
5．（2019秋•昌平区校级期末）锐角三角形的外心在 ，直角三角形的外心在 ，钝角三角形的外心在 ．
6．（2020•西城区校级模拟）已知：
如图，在中，是边上一点，圆过、、三点，．如果，圆的半径为2，则的长为 ．
7．（2019•顺义区一模）如图，等边三角形内接于，点在上，，则 ．
8．（2019秋•海淀区校级月考）如图，内接于将沿翻折，交于点，连接，若，则的度数为 ．
9．（2019春•海淀区校级月考）如图，是的外接圆，若，则的度数为 ．
10．（2019春•海淀区校级期末）已知的三个顶点的坐标分别为，，则外接圆半径的长度为
11．（2019秋•大兴区校级期中）如图，是等边的外接圆，其半径为3．图中阴影部分的面积是 ．
三．解答题（共4小题）
12．（2020•朝阳区校级模拟）如图，中，．平分交于点，交的外接圆于点，过点作交的延长线于点．请补全图形后完成下面的问题：
（1）求证：
是外接圆的切线；
（2）若，，求的长．
13．（2019秋•房山区期末）如图，内接于，，高的延长线交于点，，．
（1）求的半径；
（2）求的长．
14．（2019秋•平谷区期末）如图，是的外接圆，圆心在的外部，，，求的半径．
15．（2019•朝阳区模拟）如图，是的外接圆，，连接并延长交于点．
（1）求证：
；
（2）若，，求的半径．
三角形的外接圆与外心（北京习题集）（教师版）
参考答案与试题解析
一．选择题（共3小题）
1．（2019秋•北京期末）如图，是的外接圆，，则的度数是
A．B．C．D．
【分析】根据圆周角定理即可得到结论．
【解答】解：
，
，
故选：
．
【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
2．（2020•丰台区模拟）已知，，是等圆，内接于，点，分别在，上．如图，
①以为圆心，长为半径作弧交于点，连接；
②以为圆心，长为半径作弧交于点，连接；
下面有四个结论：
①
②
③
④
所有正确结论的序号是
A．①②③④B．①②③C．②④D．②③④
【分析】根据圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理即可得到结论．
【解答】解：
由题意得，，，
，
；
，，是等圆，
，，
，
；
，，
，
；
，，
，
，
正确结论的序号是②③④，
故选：
．
【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理，熟练掌握圆心角、弧、弦的关系是解题的关键．
3．（2019秋•海淀区期中）下列是关于四个图案的描述．
图1所示是太极图，俗称“阴阳鱼”，该图案关于外圈大圆的圆心中心对称；
图2所示是一个正三角形内接于圆；
图3所示是一个正方形内接于圆；
图4所示是两个同心圆，其中小圆的半径是外圈大圆半径的三分之二．
这四个图案中，阴影部分的面积不小于该图案外圈大圆面积一半的是
A．图1和图3B．图2和图3C．图2和图4D．图1和图4
【分析】分别计算出各阴影部分的面积即可得到结论．
【解答】解：
设外圈大圆的半径为，
则外圈大圆的面积，
图1所示是太极图，俗称“阴阳鱼”，该图案关于外圈大圆的圆心中心对称，
阴影部分的面积大圆面积一半；
图2所示是一个正三角形的面积；
图3所示是一个正方形的面积；
图4所示是两个同心圆，其中小圆的半径是外圈大圆半径的三分之二，
小圆的面积，
故选：
．
【点评】本题考查了正多边形与圆，正多边形的面积的计算，正确的计算正多边形的面积是解题的关键．
二．填空题（共8小题）
4．（2019秋•石景山区期末）如图，等边内接于，若的半径为3，则阴影部分的面积为 ．
【分析】根据等边三角形的性质和扇形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：
等边内接于，
，
阴影部分的面积，
故答案为：
．
【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，扇形的面积的计算，熟练掌握扇形的面积公式是解题的关键．
5．（2019秋•昌平区校级期末）锐角三角形的外心在 三角形内 ，直角三角形的外心在 ，钝角三角形的外心在 ．
【分析】本题根据概念解答即可．锐角三角形的外心在三角形内，直角三角形的外心在斜边上，钝角三角形的外心在三角形外．
【解答】解：
三角形内，斜边上，三角形外．
【点评】三角形的三边的垂直平分线交于一点，这一点叫三角形的外心；作图得出结论：
锐角三角形的外心在三角形内，直角三角形的外心就是斜边的中点，钝角三角形的外心在三角形外．
6．（2020•西城区校级模拟）已知：
如图，在中，是边上一点，圆过、、三点，．如果，圆的半径为2，则的长为 2 ．
【分析】可以连接，根据．得，进而得，，，证明是等边三角形，即可求得的长．
【解答】解：
如图，
连接，
．
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
．
故答案为2．
【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，解决本题的关键是掌握三角形的外接圆的性质．
7．（2019•顺义区一模）如图，等边三角形内接于，点在上，，则 95 ．
【分析】根据等边三角形的性质得到，根据圆周角定理得到，然后根据圆内接四边形的性质计算的度数．
【解答】解：
为等边三角形，
，
，
，
，
．
故答案为95．
【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心：
三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．也考查了圆周角定理和等边三角形的性质．
8．（2019秋•海淀区校级月考）如图，内接于将沿翻折，交于点，连接，若，则的度数为 ．
【分析】根据折叠的性质和圆内接四边形的性质得到，根据邻补角的定义和三角形的内角和即可得到结论．
【解答】解：
将沿翻折，交于点，
，
设，
，
，
，
，
故答案为：
．
【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，折叠的性质，圆周角定理，三角形的内角和，正确的识别图形是解题的关键．
9．（2019春•海淀区校级月考）如图，是的外接圆，若，则的度数为 ．
【分析】先根据，可得出，故可得出的度数，再由圆周角定理即可得出结论．
【解答】解：
连接，如图，
，，
，
，
．
故答案为：
．
【点评】本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．
10．（2019春•海淀区校级期末）已知的三个顶点的坐标分别为，，则外接圆半径的长度为
【分析】三角形的外心是三边中垂线的交点，设的外心为；由、、的坐标知：
、的垂直平分线正好经过，由此可得到，由勾股定理即可求得的半径长．
【解答】解：
设的外心为，如图：
，，，
、的垂直平分线过，故；
就是的半径长，
由勾股定理得：
，
即的外接圆半径为．
故答案为：
．
【点评】本题考查了三角形外心的定义和性质．能够根据三角形外心的性质来判断出外心的位置是解答此题的关键．
11．（2019秋•大兴区校级期中）如图，是等边的外接圆，其半径为3．图中阴影部分的面积是 ．
【分析】先根据等边三角形的性质得到，再利用圆周角定理得到，然后根据扇形的面积公式计算图中阴影部分的面积．
【解答】解：
为等边三角形，
，
，
图中阴影部分的面积，
故答案为：
．
【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心：
经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆．三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．也考查了圆周角定理．
三．解答题（共4小题）
12．（2020•朝阳区校级模拟）如图，中，．平分交于点，交的外接圆于点，过点作交的延长线于点．请补全图形后完成下面的问题：
（1）求证：
是外接圆的切线；
（2）若，，求的长．
【分析】
（1）根据已知条件得到的外接圆圆心是斜边的中点．连接，根据等腰三角形的性质和角平分线的定义得到．求得．于是得到结论；
（2）根据三角函数的定义得到．根据勾股定理得到．根据矩形的性质即可得到结论．
【解答】
（1）证明：
补全图形如图所示，
是直角三角形，
的外接圆圆心是斜边的中点．
连接，
．
，
平分，
，
．
．
，
，
是外接圆的切线；
（2）解：
在中，，，
．
，
．
，
四边形是矩形．
，．
．
【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，勾股定理，矩形的判定和性质，切线的判定，正确的画出图形是解题的关键．
13．（2019秋•房山区期末）如图，内接于，，高的延长线交于点，，．
（1）求的半径；
（2）求的长．
【分析】
（1）作直径，连接，求得，根据三角函数的定义即可得到结论；
（2）如图，过作于，于，得到，四边形是矩形，求得，于是得到结论．
【解答】解：
（1）如图，作直径，连接，
，
，
，
的半径为；
（2）如图，过作于，于，
，四边形是矩形，
，
，，
，
，
，
，
．
【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，矩形的性质，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．
14．（2019秋•平谷区期末）如图，是的外接圆，圆心在的外部，，，求的半径．
【分析】连接，交于点，连接，由垂径可求，，即可求，由勾股定理可求的长，圆的半径．
【解答】解：
连结，交于点，练结．
，
．1
又是半径，
，．2
，
．3
在中，，
，，
设半径为．
在中，
，
，
的半径为4．
【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，等腰三角形的性质，勾股定理，熟练运用勾股定理求线段的长是本题的关键．
15．（2019•朝阳区模拟）如图，是的外接圆，，连接并延长交于点．
（1）求证：
；
（2）若，，求的半径．
【分析】
（1）连接，，可证，所以，因为，所以，即可得出；
（2）作的直径，连接，则，，在中，利用锐角三角函数的定义即可得出的半径．
【解答】解：
（1）如图1，连接，，
，，，
，
，
，
，
；
（2）如图2，作的直径，连接，
则，，
，，
，
，
的半径为5．
【点评】本题考查圆周角定理，三角形全等的判定和性质，锐角三角函数的定义．作的直径是解决
（2）问的关键．
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