第一章13131第一课时 函数的单调性Word下载.docx

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（2）×

　（3）×

2.函数y＝f（x）的图象如图所示，其增区间是（　　）

A．[－4,4]

B．[－4，－3]∪[1,4]

C．[－3,1]

D．[－3,4]

C

3．下列函数f（x）中，满足对任意x1，x2∈（0，＋∞），当x1<

x2时，都有f（x1）>

f（x2）的是（　　）

A．f（x）＝x2　　　　　　　　B．f（x）＝

C．f（x）＝|x|D．f（x）＝2x＋1

B

4．函数f（x）＝－x2－2x的单调递增区间是________．

（－∞，－1]

函数单调性的判定与证明

[例1]　求证：

函数f（x）＝在（0，＋∞）上是减函数，在（－∞，0）上是增函数．

[证明]　对于任意的x1，x2∈（－∞，0），且x1<

x2，有f（x1）－f（x2）＝－＝＝.

∵x1<

x2<

0，

∴x2－x1>

0，x1＋x2<

0，xx>

0.

∴f（x1）－f（x2）<

0，即f（x1）<

f（x2）．

∴函数f（x）＝在（－∞，0）上是增函数．

对于任意的x1，x2∈（0，＋∞），且x1<

x2，有

f（x1）－f（x2）＝.

∵0<

x1<

x2，∴x2－x1>

0，x2＋x1>

∴f（x1）－f（x2）>

0，即f（x1）>

f（x2）．

∴函数f（x）＝在（0，＋∞）上是减函数．

利用定义证明函数单调性的4个步骤

[活学活用]

1．证明函数f（x）＝x＋在（0,1）上是减函数．

证明：

设x1，x2是区间（0,1）上的任意两个实数，且x1<

x2，则f（x1）－f（x2）＝－＝（x1－x2）＋＝（x1－x2）＋＝

（x1－x2）＝.

1，

∴x1－x2<

0,0<

x1x2<

1，则－1＋x1x2<

∴>

f（x2），

求函数的单调区间

∴f（x）＝x＋在（0,1）上是减函数.

[例2]　画出函数y＝－x2＋2|x|＋1的图象并写出函数的单调区间．

[解]　y＝

即y＝

函数的大致图象如图所示，单调增区间为（－∞，－1]，[0,1]，单调减区间为（－1,0），（1，＋∞）．

求函数单调区间的2种方法

法一：

定义法．即先求出定义域，再利用定义法进行判断求解．

法二：

图象法．即先画出图象，根据图象求单调区间．　　　　

2．如图所示为函数y＝f（x），x∈[－4,7]的图象，则函数f（x）的单调递增区间是________．

解析：

由图象知单调递增区间为[－1.5,3]和[5,6]．

[－1.5,3]和[5,6]

3．求函数f（x）＝的单调减区间．

解：

函数f（x）＝的定义域为（－∞，1）∪（1，＋∞），

设x1，x2∈（－∞，1），且x1<

x2，则

f（x1）－f（x2）＝－＝.

因为x1<

1，所以x2－x1>

0，x1－1<

0，x2－1<

所以f（x1）－f（x2）>

所以函数f（x）在（－∞，1）上单调递减，同理函数f（x）在（1，＋∞）上单调递减．

综上，函数f（x）的单调递减区间是（－∞，1），（1，＋∞）.

函数单调性的应用

题点一：

利用单调性比较大小

1．若函数f（x）在区间（－∞，＋∞）上是减函数，则下列关系式一定成立的是（　　）

A．f（a）>

f（2a）　　　　B．f（a2）<

f（a）

C．f（a2＋a）<

f（a）D．f（a2＋1）<

f（a2）

选D　因为f（x）是区间（－∞，＋∞）上的减函数，且a2＋1>

a2，所以f（a2＋1）<

f（a2）．故选D.

题点二：

利用单调性解不等式

2．已知函数y＝f（x）是（－∞，＋∞）上的增函数，且f（2x－3）>

f（5x＋6），求实数x的取值范围．

∵函数y＝f（x）是（－∞，＋∞）上的增函数，且f（2x－3）>

f（5x＋6），∴2x－3>

5x＋6，解得x<

－3.∴x的取值范围为（－∞，－3）．

题点三：

已知单调性求参数范围

3．已知函数f（x）＝x－＋在（1，＋∞）上是增函数，求实数a的取值范围．

设1<

x2，∴x1x2>

1.

∵函数f（x）在（1，＋∞）上是增函数，

∴f（x1）－f（x2）＝x1－＋－

＝（x1－x2）<

∵x1－x2<

0，∴1＋>

0，即a>

－x1x2.

∵1<

x2，x1x2>

1，∴－x1x2<

－1，∴a≥－1.

∴a的取值范围是[－1，＋∞）．

（1）函数单调性定义的“双向性”：

利用定义可以判断、证明函数的单调性，反过来，若已知函数的单调性可以确定函数中参数的取值范围．

（2）若一个函数在区间[a，b]上是单调的，则此函数在这一单调区间内的任意子集上也是单调的．　　

层级一　学业水平达标

1．如图是函数y＝f（x）的图象，则此函数的单调递减区间的个数是（　　）

A．1　　　　　　　　　　B．2

C．3D．4

选B　由图象，可知函数y＝f（x）的单调递减区间有2个．故选B.

2．下列函数中，在区间（0,1）上是增函数的是（　　）

A．y＝|x|B．y＝3－x

C．y＝D．y＝－x2＋4

选A　因为－1<

0，所以一次函数y＝－x＋3在R上递减，反比例函数y＝在（0，＋∞）上递减，二次函数y＝－x2＋4在（0，＋∞）上递减．故选A.

3．函数y＝的单调递减区间是（　　）

A．（0，＋∞）B．（－∞，0）

C．（－∞，0）和（0，＋∞）D．（－∞，0）∪（0，＋∞）

选C　函数y＝的定义域是（－∞，0）∪（0，＋∞）．由函数的图象可知y＝在区间（－∞，0）和（0，＋∞）上分别是减函数．

4．若函数f（x）＝（2a－1）x＋b在R上是单调减函数，则有（　　）

A．a≥B．a≤

C．a>

D．a<

选D　函数f（x）＝（2a－1）x＋b在R上是单调减函数，则2a－1<

0，即a<

.故选D.

5．函数f（x）＝|x|，g（x）＝x（2－x）的递增区间依次是（　　）

A．（－∞，0]，（－∞，1]B．（－∞，0]，（1，＋∞）

C．[0，＋∞），（－∞，1]D．[0，＋∞），[1，＋∞）

选C　分别作出f（x）与g（x）的图象得：

f（x）在[0，＋∞）上递增，g（x）在（－∞，1]上递增，选C.

6．若f（x）在R上是减函数，则f（－1）________f（a2＋1）（填“>

”或“<

”或“≥”或“≤”）．

∵f（x）在R上是减函数，∴对任意x1，x2，若x1<

x2均有f（x1）>

f（x2）．又∵－1<

a2＋1，∴f（－1）>

f（a2＋1）．　

>

7．已知函数f（x）为定义在区间[－1,1]上的增函数，则满足f（x）<

f的实数x的取值范围为________．

由题设得

解得－1≤x<

.

8．如果二次函数f（x）＝x2－（a－1）x＋5在区间上是增函数，则实数a的取值范围为________．

∵函数f（x）＝x2－（a－1）x＋5的对称轴为x＝且在区间上是增函数，

∴≤，即a≤2.

（－∞，2]

9．判断并证明函数f（x）＝－＋1在（0，＋∞）上的单调性．

函数f（x）＝－＋1在（0，＋∞）上是增函数．证明如下：

设x1，x2是（0，＋∞）上的任意两个实数，且x1<

x2，则f（x1）－f（x2）＝－＝，

由x1，x2∈（0，＋∞），得x1x2>

又由x1<

x2，得x1－x2<

于是f（x1）－f（x2）<

0，即f（x1）<

∴f（x）＝－＋1在（0，＋∞）上是增函数．

10．作出函数f（x）＝的图象，并指出函数f（x）的单调区间．

f（x）＝的图象如图所示．

由图可知，函数f（x）＝的单调减区间为（－∞，1]和（1,2），单调增区间为[2，＋∞）．

层级二　应试能力达标

1．若函数f（x）在区间（a，b）上是增函数，在区间（b，c）上也是增函数，则函数f（x）在区间（a，b）∪（b，c）上（　　）

A．必是增函数　　　　　　　B．必是减函数

C．是增函数或减函数D．无法确定单调性

选D　函数在区间（a，b）∪（b，c）上无法确定单调性．如y＝－在（0，＋∞）上是增函数，在（－∞，0）上也是增函数，但在（－∞，0）∪（0，＋∞）上并不具有单调性．

2．下列四个函数在（－∞，0）上为增函数的是（　　）

①y＝|x|＋1；

②y＝；

③y＝－；

④y＝x＋.

A．①②B．②③

C．③④D．①④

选C　①y＝|x|＋1＝－x＋1（x<

0）在（－∞，0）上为减函数；

②y＝＝－1（x<

0）在（－∞，0）上既不是增函数也不是减函数；

③y＝－＝x（x<

0）在（－∞，0）上是增函数；

④y＝x＋＝x－1（x<

0）在（－∞，0）上也是增函数．

3．已知函数f（x）＝是R上的减函数，则实数a的取值范围是（　　）

A．（0,3）B．（0,3]

C．（0,2）D．（0,2]

选D　依题意得实数a满足解得0<

a≤2.

4．若函数f（x）＝8x2－2kx－7在[1,5]上为单调函数，则实数k的取值范围是（　　）

A．（－∞，8]B．[40，＋∞）

C．（－∞，8]∪[40，＋∞）D．[8,40]

选C　由题意知函数f（x）＝8x2－2kx－7的图象的对称轴为x＝，因为函数f（x）＝8x2－2kx－7在[1,5]上为单调函数，所以≤1或≥5，解得k≤8或k≥40，所以实数k的取值范围是（－∞，8]∪[40，＋∞）．故选C.

5．若函数y＝－在（0，＋∞）上是减函数，则b的取值范围是________．

设0<

x2，由题意知

f（x1）－f（x2）＝－＋＝>

x2，∴x1－x2<

0，x1x2>

∴b<

（－∞，0）

6．设f（x）是定义在R上的增函数，f（xy）＝f（x）＋f（y），f（3）＝1，则不等式f（x）＋f（－2）>

1的解集为________．

由条件可得f（x）＋f（－2）＝f（－2x），又f（3）＝1，∴不等式f（x）＋f（－2）>

1，即为f（－2x）>

f（3）．

∵f（x）是定义在R上的增函数，∴－2x>

3，

解得x<

－.故不等式f（x）＋f（－2）>

1的解集为.　

7．已知y＝f（x）在定义域（－1,1）上是减函数，且f（1－a）<

f（2a－1），求a的取值范围．

由题意可知解得0<

a<

1.①

又f（x）在（－1,1）上是减函数，

且f（1－a）<

f（2a－1），∴1－a>

2a－1，即a<

，②

由①②可知，a的取值范围是.

8．设函数f（x）＝（a>

b>

0），求f（x）的单调区间，并说明f（x）在其单调区间上的单调性．

在定义域内任取x1，x2，且使x1<

x2，

则f（x2）－f（x1）＝－

＝

＝.

∵a>

0，x1<

x2，∴b－a<

0，x2－x1>

只有当x1<

－b或－b<

x2时，函数才单调．

当x1<

x2时，f（x2）－f（x1）<

∴y＝f（x）在（－∞，－b）上是单调减函数，在（－b，＋∞）上也是单调减函数．

∴y＝f（x）的单调减区间是（－∞，－b）和（－b，＋∞），无单调增区间．