突破高考+数学总复习+选修部分41几何证明选讲 备考基础查清+热点命题悟通学生版.docx

突破高考+数学总复习+选修部分41几何证明选讲 备考基础查清+热点命题悟通学生版.docx

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突破高考+数学总复习+选修部分41几何证明选讲备考基础查清+热点命题悟通学生版

编写说明：

考虑到复习实际，本书将选修4－5不等式选讲与前面第六章不等式、推理与证明整合编写。

选修部分选修4－1　几何证明选讲

高考分值比例12分左右，涵盖内容广、公式较多。

高考难易难度中等以上。

本章是所有考生容易忽略的章节，所以熟练比较重要。

本教案主要内容：

备考基础查清+热点命题悟通。

下面内容是

必记知识点+必明易错点+必会方法

目录：

选修4－1　几何证明选讲

第一节相似三角形的判定及有关性质-----------------------------2页

第二节直线与圆的位置关系----------------------------------------5页

编写说明：

考虑到复习实际，本书将选修4－5不等式选讲与前面第六章不等式、推理与证明整合编写。

选修4－1　几何证明选讲

第一节相似三角形的判定及有关性质

1．平行线等分线段定理

如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等．

推论1：

经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边．

推论2：

经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰．

2．平行线分线段成比例定理

三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．

推论：

平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例．

3．相似三角形的判定与性质

（1）判定定理：

内容

判定定理1

两角对应相等的两个三角形相似

判定定理2

两边对应成比例，并且夹角相等的两个三角形相似

判定定理3

三边对应成比例的两个三角形相似

（2）性质定理：

内容

性质定理1

相似三角形对应高、中线、角平分线和它们周长的比都等于相似比

性质定理2

相似三角形的面积比等于相似比的平方

结论

相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比，外接圆的面积比等于相似比的平方

射影定理

直角三角形中，每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项；斜边上的高是两条直角边在斜边上的射影的比例中项

1．在使用平行线截割定理时易出现对应线段、对应边对应顺序混乱，导致错误．

2．在解决相似三角形的判定或应用时易出现对应边和对应角对应失误．

[试一试]

1．如图，F为▱ABCD的边AD延长线上的一点，DF＝AD，BF分别交DC，AC于G，E两点，EF＝16，GF＝12，则BE的长为________．

2．在△ABC中，点D在线段BC上，∠BAC＝∠ADC，AC＝8，BC＝16，则CD＝________.

1．判定两个三角形相似的常规思路

（1）先找两对对应角相等；

（2）若只能找到一对对应角相等，则判断相等的角的两夹边是否对应成比例；

（3）若找不到角相等，就判断三边是否对应成比例，否则考虑平行线分线段成比例定理及相似三角形的“传递性”．

2．借助图形判断三角形相似的方法

（1）有平行线的可围绕平行线找相似；

（2）有公共角或相等角的可围绕角做文章，再找其他相等的角或对应边成比例；

（3）有公共边的可将图形旋转，观察其特征，找出相等的角或成比例的对应边．

[练一练]

1.如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC上的点，DE∥BC且＝2，那么△ADE与四边形DBCE的面积比是________．

2.如图，已知在△ABC中，CD⊥AB于D点，BC2＝BD·AB，则∠ACB＝______.

考点一

平行线分线段成比例定理的应用

1.如图，在▱ABCD中，E是BC上一点，BE∶EC＝2∶3，AE交BD于F，则BF∶FD＝________.

2.（2013·惠州调研）如图，在△ABC中，DE∥BC，DF∥AC，AE∶AC＝3∶5，DE＝6，则BF＝________.

3.如图，在四边形ABCD中，EF∥BC，FG∥AD，则＋＝________.

[类题通法]

比例线段常用平行线产生，利用平行线转移比例是常用的证题技巧，当题中没有平行线条件而有必要转移比例时，也常添加辅助平行线，从而达到转移比例的目的.

考点二

相似三角形的判定及性质

[典例]　（2013·陕西高考）如图，弦AB与CD相交于⊙O内一点E，过E作BC的平行线与AD的延长线交于点P.已知PD＝2DA＝2，则PE＝________.

[类题通法]

1．判定两个三角形相似要注意结合图形特征灵活选择判定定理，特别要注意对应角和对应边．

2．相似三角形的性质可用来证明线段成比例、角相等；也可间接证明线段相等．

[针对训练]

（2013·佛山质检）如图，∠B＝∠D，AE⊥BC，∠ACD＝90°，且AB＝6，AC＝4，AD＝12，则BE＝________.

考点三

射影定理的应用

[典例]　如图所示，在△ABC中，∠CAB＝90°，AD⊥BC于D，BE是∠ABC的平分线，交AD于F，求证：

＝.

[类题通法]

1．在使用直角三角形射影定理时，要学会将“乘积式”转化为相似三角形中的“比例式”．

2．证题时，要注意作垂线构造直角三角形是解直角三角形时常用的方法．

[针对训练]

在Rt△ACB中，∠C＝90°，CD⊥AB于D，若BD∶AD＝1∶9，则tan∠BCD＝________.

第二节直线与圆的位置关系

1．圆周角定理

（1）圆周角定理

圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．

（2）圆心角定理

圆心角的度数等于它所对弧的度数．

推论1：

同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等．

推论2：

半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径．

2．圆内接四边形的性质与判定定理

（1）性质

定理1：

圆内接四边形的对角互补．

定理2：

圆内接四边形的外角等于它的内角的对角．

（2）判定

判定定理：

如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆．

推论：

如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆．

3．圆的切线性质及判定定理

（1）性质：

性质定理：

圆的切线垂直于经过切点的半径．

推论1：

经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．

推论2：

经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．

（2）判定定理：

经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．

（3）弦切角定理：

弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角．

4．与圆有关的比例线段

（1）相交弦定理：

圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．

（2）割线定理：

从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等．

（3）切割线定理：

从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．

（4）切线长定理：

从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．

1．易混圆心角与圆周角，在使用时注意结合图形作出判断．

2．在使用相交弦定理、割线定理、切割线定理时易出现比例线段对应不成比例而失误．

[试一试]

1.如图，P是圆O外一点，过P引圆O的两条割线PB、PD，PA＝AB＝，CD＝3，则PC＝________.

2.如图，EB，EC是⊙O的两条切线，B，C是切点，A，D是⊙O上两点，如果∠E＝46°，∠DCF＝32°，则∠BAD＝________.

1．与圆有关的辅助线的五种作法

（1）有弦，作弦心距．

（2）有直径，作直径所对的圆周角．

（3）有切点，作过切点的半径．

（4）两圆相交，作公共弦．

（5）两圆相切，作公切线．

2．证明四点共圆的常用方法

（1）利用圆内接四边形的判定定理，证明四点组成的四边形的对角互补；

（2）证明它的一个外角等于它的内对角；

（3）证明四点到同一点的距离相等．

当证明四点共圆以后，圆的各种性质都可以得到应用．

3．圆幂定理与圆周角、弦切角联合应用时，要注意

找相等的角，找相似三角形，从而得出线段的比，由于圆幂定理涉及圆中线段的数量计算，所以应注意代数法在解题中的应用．

[练一练]

1．（2013·荆州模拟）如图，PA是⊙O的切线，切点为A，过PA的中点M作割线交⊙O于点B和C，若∠BMP＝110°，∠BPC＝30°，则∠MPB＝________.

2．（2013·长沙一模）如图，过圆O外一点P分别作圆的切线和割线交圆于点A，点B，且PB＝7，C是圆上一点，使得BC＝5，∠BAC＝∠APB，则AB＝________.

考点一

圆周角、弦切角和圆的切线问题

1.（2013·天津高考）如图，△ABC为圆的内接三角形，BD为圆的弦，且BD∥AC.过点A作圆的切线与DB的延长线交于点E，AD与BC交于点F.若AB＝AC，AE＝6，BD＝5，则线段CF的长为________．

2．（2013·广东高考）如图，AB是圆O的直径，点C在圆O上．延长BC到D使BC＝CD，过C作圆O的切线交AD于E.若AB＝6，ED＝2，则BC＝________.

3.（2014·岳阳模拟）如图所示，⊙O的两条切线PA和PB相交于点P，与⊙O相切于A，B两点，C是⊙O上的一点，若∠P＝70°，则∠ACB＝________.

[类题通法]

1．圆周角定理及其推论与弦切角定理及其推论多用于推出角的关系，从而证明三角形全等或相似，可求线段或角的大小．

2．涉及圆的切线问题时要注意弦切角的转化；关于圆周上的点，常作直径（或半径）或向弦（弧）两端作圆周角或弦切角．

考点二

圆内接四边形的性质及判定

[典例]　（2013·郑州模拟）如图，AB是⊙O的直径，G是AB延长线上的一点，GCD是⊙O的割线，过点G作AG的垂线，交直线AC于点E，交直线AD于点F，过点G作⊙O的切线，切点为H.

（1）求证：

C，D，E，F四点共圆；

（2）若GH＝6，GE＝4，求EF的长．

[类题通法]

证明多点共圆，当它们在一条线段同侧时，可证它们对此线段张角相等，也可以证明它们与某一定点距离相等；如两点在一条线段异侧，则证明它们与线段两端点连成的凸四边形对角互补．

[针对训练]

如图所示，在四边形ABCP中，线段AP与BC的延长线交于点D，已知AB＝AC且A，B，C，P四点共圆．

考点三

与圆有关的比例线段

[典例]　（2013·辽宁模拟）如图，在△ABC中，CD是∠ACB的平分线，△ACD的外接圆交BC于点E，AB＝2AC.

（1）求证：

BE＝2AD；

（2）当AC＝1，EC＝2时，求AD的长．

[类题通法]

1．应用相交弦定理、切割线定理要抓住几个关键内容：

如线段成比例与相似三角形、圆的切线及其性质、与圆有关的相似三角形等．

2．相交弦定理、切割线定理主要用于与圆有关的比例线段的计算与证明．解决问题时要注意相似三角形知识与圆周角、弦切角、圆的切线等相关知识的综合应用．

[针对训练]

（2014·郑州模拟）如图，已知⊙O和⊙M相交于A，B两点，AD为⊙M的直径，直线BD交⊙O于点C，点G为弧BD的中点，连接AG分别交⊙O，BD于点E，F，连接CE.

求证：

（1）AG·EF＝CE·GD；

（2）＝.