完整版数列通项的十一种求法Word文档格式.docx

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3n1）

（23n

-n1

2（3

2塑

（2

an2）L

3n21）

c2J\

33）

1）3

（a3

a2）

（a2a1）

1）（231

所以an3nn1.

评注：

已知a1aan1an

f（n），其中f（n）可以是关于n的一次函数、二次函数、指数函

数、分式函数，求通项an

①若

f（n）是关于

n的一次函数,

累加后可转化为等差数列求和

②若

n的二次函数,

累加后可分组求和

③若

n的指数函数,

累加后可转化为等比数列求和

④若

n的分式函数,

累加后可裂项求和。

例3.已知数列

{an}中,

an0且

，求数列｛an｝的通项公式.

由已知

2（an

丄）Sn

an得

i（Sn

化简有

S：

s；

n,由类型

（1）有

又S1

a1得a11

2n（n1）

，所以2

，又an

寸'

2n（n1）

J2n（n1）J2n（n1）

此题也可以用数学归纳法来求解

二、累乘法

1.适用于：

an1f（n）an

这是广义的等比数列

累乘法是最基本的二个方法之二。

2.若

f（n），则

f（1f

（2）丄L，

两边分别相乘得,

f（k）

已知数列｛an｝满足an

12（n1）5nan,

ai3，求数列｛an｝的通项公式。

因为

1）5nan,

a13，所以an

0,则亠

2（n1）5n，故

an2

[2（n2n1[n（n

1）5^1][2（n21）5n2]L

1）L32]5（n1）（n2）L

n（n1）

5丁n!

[2（21）52][2（11）51]3

213

所以数列｛an｝的通项公式为an32n

2n!

例5.设an是首项为1的正项数列，且

1an1nanan1an

n=1,

2,3，…）,

则它的通项公式是a

本题解题的关键是把原来的递推关系式an1nann1,转化为

an11n（an1）,若令bnan1,则问题进一步转化为bn1nbn形式，进而应用累乘法求

4/22

出数列的通项公式.

三、待定系数法适用于an1qanf（n）

基本思路是转化为等差数列或等比数列，而数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。

1.形如

an1Cand,（C0其中a1a）型

（3）

0时，数列｛an｝为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造辅助数列

来求.

an1anC（a2

a1）,再利用类型

（1）即可求得通项公式.我们看到此方法比较复杂

例6已知数列｛an｝中，a11,an2an11（n2），求数列an的通项公式。

Qan2an11（n2）,如12（^11）

an12n，即an2"

解法二：

Qan2an11（n2）,a.12an

两式相减得an1an2（anan1）（n

2），故数列an1an是首项为2，公比为2的等

比数列，再用累加法的

即:

iii.待定系数法：

目的是把所求数列构造成等差数列

n1/

设an1qP（an

pn）

P丿.通过比较系数，求出

，转化为等比数列求通项

注意：

应用待定系数法时，要求

Pq,否则待定系数法会失效。

例7已知数列｛an｝满足an1

2an43a11，求数列an的通项公式。

解法一（待定系数法）

设an

1132（an

3n1）

，比较系数得14,22

则数列an43

是首项为

5，公比为

2的等比数列,

-^n1

所以an43

52n1

即an43

解法二（两边同除以

）：

两边同时除以

3n1得:

3n1

2an

333，下面解法略

解法三（两边同除以

设a°

为常数

cn1/FT

2得:

an3n12an1（nN）

an-[3n

（1）n12n]

（1）n

a°

3.形如

an1pan

knb

（其中k,b是常数，且

方法1:

逐项相减法

（阶差法）

方法2:

待定系数法

通过凑配可转化为

（an

y）P（an1

解题基本步骤：

1、确定f（n）

=kn+b

2、设等比数列

y），公比为p

3、列出关系式

y）

p（an1x（n

4、比较系数求

x,y

1）y）即bnpbn1

x（n1）

an4/3\n

—（—/

2n32，下面解法略

证明对任意n>

）

y）.

5、解得数列（anXny）的通项公式

6、解得数列n的通项公式

例8在数列｛an｝中，a11，an13an2n，求通项an.（逐项相减法）

解:

an13an2n,

n2时，an3an1

两式相减得an1an

3（an

2令bnan1

an则bn3bn12

利用类型5的方法知bn

53n

53n11

an-

再由累加法可得2

亦可联立

②解出an23

例9.在数列｛an｝中,

i2an

16n3

，求通项

an.（待定系数法）

原递推式可化为2（an

x（n

比较系数可得：

x=-6,y=9,上式即为

2bn

所以

bn是一个等比数列，首项

6n9

an6n

（2）n

2,公比为

故an

（1）n6n9

4•形如an1Pananbnc

（其中a,b,c是常数，且a0）

基本思路是转化为等比数列，而数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。

设an1x（n1）2y（n1）z2（an

xn2

z）

比较系数得x3,y10,z18,

所以an13（n1）210（n1）182（an

10n

18）

由q31210118131320,

得an

10n180

则an13（nY一10（nB182，故数列

an3n10n18

an1an为等比数列。

例11已知数列｛an｝满足an2

5an16an,a1

1月2

2，求数列｛an｝的通项公式。

设an2an1（5

）（an

1an）

比较系数得

2，不妨取

（取-3结果形式可能不同，但本质相同）

则an22an13（an1

2an），则an1

是首项为4，公比为3的等比数列

9/22

an12an43

1.n1厂^n1

，所以an4352

四、迭代法an1

Pan（其中p,r为常数）型

例12已知数列｛an｝满足an1

a3（n1）2n

5，求数列｛an｝的通项公式。

3（n1）2n

因为an1an

，所以

a3n2n1ra3（n1）2

61L62

[a3（n2）2n3]32（n1）n2（n2）（n1）

33（n2）（n1）n2（n3）（n2）（n1）

an3

32（n1）n2（n

2）（n

anL

123LL（n2）（n1）n212LL（

n3）

（n2）（n1）

n（n1）

1n!

2^—

又q5，所以数列｛an｝的通项公式为an

3n1n!

2^—

注：

本题还可综合利用累乘法和对数变换法求数列的通项公式。

例13.已知数列｛an｝的各项都是正数，且满足:

ao1,an1

an（4an）,n

（1）证明Kan1

2,nN;

（2）求数列｛an｝的通项公式

an.

（1）略

（2）an

2an（4

an）

1[（an2）4]，所以

2（an12）

2）2

令bn

2,则bn

-bn1

中12

bn2'

又bn=—1,

所以bn

12n1

（2），即an2bn2

e）2n1

本题用归纳-猜想-证明，也很简捷，请试一试.解法3:

设

bn，则

，转化为上

面类型

（1）来解

五、对数变换法适用于an1

pan（其中p,r为常数）型p>

0,an0

例14.设正项数列

an满足a1

1an

2a21

（n>

2）.求数列an

的通项公式.

两边取对数得:

Iogan1

2Iogan1

Iogan

12（Iogan1

设bn

Iogan

1，则

2bn1

是以2为公比的等比数列,

b1log2

12n

Iog；

2*1

2n11.an22"

练习

数列

an中,

an2Jan1（nA2）,

求数列an

答案：

例15已知数列｛an｝满足an

-J5

23an,

7,求数列｛an｝的通项公式。

因为an123na；

7，所以an

an10。

两边取常用对数得Igan1

5lg

nlg3

lg2

设Igan1x（n1）y5（Igan

xny）

（同类型四）

比较系数得,

Ig3

T，y

Ig2

由Iga1

Ig7

0,得Igan—

{Igan

则Igan

Ig3dn

ig2

^}是以Ig7

（Ig7

也

Ig3Ig3Ig2

416

Igan（Ig7

Ig3Ig3Ig2n1

）5

[Ig（7

Ig（7

34316

164

24）]5n

1-cn1

24）5

n丄丄

Ig©

；

3^2：

Ig（34316

24）

I/r5n1

5n4n15n1

11/

）5n1

为首项，以

5为公比的等比数列,

，因此

5n4n1

cn1-

则an753

因为bn

则2bn1

bn3，即

bn12bn2

可化为bn132（bn3），

所以｛bn3｝是以bl3J124q3

7124132为首项，以-为公比的等比数列，因此

23，即J124an

bn32

（2）n1

（2）n2，则bn

（2）n

21n1n1

an3（4）

（2）3。

八、数学归纳法通过首项和递推关系式求出数列的前n

法加以证明。

例18已知数列｛an｝满足an1an

8（n1）

22，

（2n1）2（2n3）2

-,求数列｛an｝的通项公式。

由

（2n1）2（2n3）2

及a1—，得

8（11）

（211）2（213）2

8（21）

8_82

（221）2（223）2

8（31）

2549

（231）2（233）2

4981

（2nD21，下面用数学归纳法证明这个结论。

（2n1）

（1）

当n1时，q邑丄D21

（21

1）2

-，所以等式成立。

（2kD21，则当nk1时,（2k1）

ak1

8（k1）

（2k1）2（2k3）2[（2k1）21]（2k3）2

（2k1）2（2k3）2

（2k1）2（2k3）2（2k1）2

（2k1）2（2k3）2

（2k3）21

（2k3）2

[2（k1）1]21

[2（k1）1]2

由此可知，当nk1时等式也成立。

根据

（1），

（2）可知，等式对任何nN

都成立。

九、阶差法（逐项相减法）

1、递推公式中既有Sn,又有an

分析：

把已知关系通过an'

，"

SnSi1,n

2转化为数列an或Sn的递推关系，然后采用相应的

方法求解。

例19已知数列｛an｝的各项均为正数，且前

n项和Sn满足Snhan1）&

2），且a2,a4,a9成

等比数列，求数列

•••对任意

1）（an

2）

•••当n=1时,

a16（a11）（a1

解得a,1或印2

当nA2时,

6（an11）（an1

⑴-⑵整理得:

（anan1）（anan1

3）0

•-｛an｝各项均为正数，•••anan1

当a1时，an3n2，此时a4

a2a9成立

当q2时，an3n1，此时a：

a2a9不成立，故a,2舍去

所以an3n2

1）2,求数列｛an｝的通项公式.

练习。

已知数列｛an｝中，an0且Sn—（an

SnSn1an

（an1）2

（an11）2

an2n1

2、对无穷递推数列

例20已知数列｛an｝满足a1

1,ana12a2

3a3

L（n

1）ani（n2），求｛an｝的通项公式。

因为ana12a23a3

L（n1）an1（n

所以an1a12a2

3a3L

（n1）an

1nan

用②式-①式得an1

annan.

则an1（n1）an（n

故

n1（n

所以an

anan1

[n（n

1）L4

Cln!

3]a2孑.

由an

a12a23a3L

1（n

则a2

1，代入③得an

1345L

所以，

an匸.

an1an2

2），取n2得a2

。

十、不动点法目的是将递推数列转化为等比（差）数列的方法

不动点的定义：

函数f（x）的定义域为D,若存在f（x）x0

f（x）的不动点或称（Xo,f（Xo））为函数f（X）的不动点。

由f（x）X求出不动点Xo，在递推公式两边同时减去

类型一：

形如an1qand

例21已知数列｛an｝中，印1,an2an11（n

2），求数列

a12a2，则a2a1，又知a11，

D，使f（Xo）Xo成立，则称Xo为

Xo，在变形求解。

an的通项公式。

递推关系是对应得递归函数为f（X）2x1，

由f（x）X得，不动点为-1

--an112（an

1）,

类型二：

形如an

aanb

cand

f（x）OJXb

（1）若有两个相异的不动点

递归函数为

p,q时，将递归关系式两边分别减去不动点

p,q，再将两式相除得

an1pk，其中k

qanq

apc（agpq）kn1（ajpq）

，•-an

aqc

（dp）kn1（aiq）

若有两个相同的不动点

P,则将递归关系式两边减去不动点P,然后用1除，得

—k，其中k

an1PanP

例22.设数列｛an｝满足a12,an1

5an

7,求数列｛an｝的通项公式.

此类问题常用参数法化等比数列求解解：

对等式两端同时加参数t,得：

5an4

（2t5）an7t

（2t

解之得

t=1,-2

代入

7t4

2t5,7

（2t5）詐得

92an7

相除得

an11

an12

即｛旦

2an

a11

a12

公比为

的等比数列，

an1=1

an24

31n

解得an

43n

方法2：

3^^

2an7

两边取倒数得一1一

3（an1）

1）9

3n11

，则bn--

3bn,,转化为累加法来求.

例23

已知数列

｛an｝满足an

21a24

2n,a14，求数列｛an｝的通项公式。

4an1

令

21x

—，得4x2

4x1

20x240，则xi2,X2

3是函数f（x）

21x24

x24的两个不

动点。

anJ

21an242

4an1

21an24

4an

21an242（4an1）

21an

3（4an1）

13an26

9an27

13a2

n-。

a13

的等比数

故^^-2

畤）.1

已知

｛an｝满足a1

（1）n

练习2。

练习3.

2,an

2），求｛an｝的通项

10n6

4an

丄5N*），求数列

｛an｝的通项an

an｝满足，a1=1a2

2,an+2

乩壬,nN*.

1an,证明：

｛bn｝是等比数列;

（n）求an｝的通项公式。

（1）bn是以1为首项,

1为公比的等比数列。

（2）an

特征方程法

形如an2pan1qan（p,q是常数）的数列

形如aimi,a2

m2,an2pan1qan（p,q是常数）的二阶递推数列都可用特征根法求得通项

an,其特征方程为

Xpxq…①

若①有二异根

，则可令an

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