93直线与平面垂直.docx

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93直线与平面垂直

高三数学（直线与平面垂直）一轮复习讲义

高考要求

　　1理解直线和平面垂直的概念掌握直线和平面垂直的判定定理；

2掌握三垂线定理及其逆定理

3掌握直线和平面垂直的判定定理和性质定理

4通过例题的讲解给学生总结归纳证明线面垂直的常见方法：

（1）证直线与平面内的两条相交直线都垂直；

（2）证与该线平行的直线与已知平面垂直；（3）借用面面垂直的性质定理；（4）同一法；

知识点归纳

1线面垂直定义：

如果一条直线和一个平面相交，并且和这个平面内的任意一条直线都垂直，我们就说这条直线和这个平面互相垂直其中直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面交点叫做垂足直线与平面垂直简称线面垂直，记作：

a⊥α

2直线与平面垂直的判定、性质定理：

判定方法

图形

符号语言

三

垂

线

定

理

如果平面内的一条直线垂直于一条斜线在平面内的射影，那么这条直线垂直于斜线。

如果平面内的一条直线垂直于平面的一条斜线，那么这条直线垂直于斜线在平面内的射影。

直线与平面垂直

定义：

如果一条直线垂直于平面内的任意一条直线，那么，这条直线就垂直于这一平面。

如果一条直线垂直于平面内的两条相交直线，那么这条直线就垂直于这个平面。

13、直线和平面所成的角：

（1）定义：

平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫这条直线和这个平面所成的角。

（2）范围：

；（3）求法：

作出直线在平面上的射影；（4）斜线与平面所成的角的特征：

斜线与平面中所有直线所成角中最小的角。

【基础训练】

（1）.“直线l垂直于平面α内的无数条直线”是“l⊥α”的

A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件

（2）下列命题中，正确的是

Ａ、若直线平行于平面内的一条直线b,则//　

Ｂ、若直线垂直于平面的斜线b在平面内的射影，则⊥b　　

Ｃ、若直线垂直于平面,直线b是平面的斜线，则与b是异面直线　　Ｄ、若一个棱锥的所有侧棱与底面所成的角都相等，且所有侧面与底面所

成的角也相等，则它一定是正棱锥；

（3）正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，并且总保持AP⊥BD1，则动点P的轨迹是___________

（4）如果命题“若∥z，则”不成立，那么字母x、y、z在空间所表示的几何图形一定是_____；

（5）已知a，b，c是直线，α、β是平面，下列条件中能得出直线a⊥平面α的是　A、a⊥b，ａ⊥ｃ其中ｂα，ｃα　　B、a⊥b，ｂ∥α　C、α⊥β，ａ∥β　D、ａ∥ｂ，ｂ⊥α；

（6）在正三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AB=1，D在棱BB1上，BD=1，则AD与平面AA1C1C所成的角为______；

（7）正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是AB、C1D1的中点，则棱A1B1与截面A1ECF所成的角的余弦值是______；

（8）是从点引出的三条射线，每两条的夹角都是，则直线与平面所成角的余弦值为______；

（9）若一平面与正方体的十二条棱所在直线都成相等的角θ，则sinθ的值为______。

（10）.设正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，则

（1）A点到CD1的距离为________；

（2）A点到BD1的距离为________；

（3）A点到面BDD1B1的距离为_____________；

（4）A点到面A1BD的距离为_____________；

（5）AA1与面BB1D1D的距离为__________.

【典型例题】

例1已知直线a⊥平面α，直线b⊥平面α，O、A为垂足.求证：

a∥b.

例2已知PA⊥⊙O所在的平面，AB是⊙O的直径，C是⊙O上任意一点，过A点作AE⊥PC于点E，求证：

AE⊥平面PBC

证明：

例3在直三棱柱ABC—A1B1C1中，B1C1=A1C1，A1B⊥AC1，

求证：

A1B⊥B1C

例4如图9-12,矩形所在平

面,分别是和的中点.

（1）求证:

平面

（2）求证:

（3）若,求证:

平面

【巩固练习】

1.给出下列命题，其中正确的两个命题是

①直线上有两点到平面的距离相等，则此直线与平面平行②夹在两个平行平面间的两条异面线段的中点连线平行于这两个平面③直线m⊥平面α，直线n⊥m，则n∥α④a、b是异面直线，则存在唯一的平面α，使它与a、b都平行且与a、b距离相等

A.①②B.②③C.③④D.②④

2.在正方形SG1G2G3中，E、F分别是G1G2、G2G3的中点，D是EF的中点，沿SE、SF及EF把这个正方形折成一个四面体，使G1、G2、G3三点重合，重合后的点记为G，那么，在四面体S—EFG中必有

A.SG⊥平面EFGB.SD⊥平面EFGC.FG⊥平面SEFD.GD⊥平面SEF

3.△ABC的三个顶点A、B、C到平面α的距离分别为2cm、3cm、4cm，且它们在α的同侧，则△ABC的重心到平面α的距离为_____________.

4.如下图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M为CC1的中点，AC交BD于点O，求证：

A1O⊥平面MBD.

5.在三棱锥S—ABC中，N是S在底面ABC上的射影，且N在△ABC的AB边的高CD上，点M∈SC，截面MAB和底面ABC所成的二面角M—AB—C等于∠NSC，求证：

SC⊥截面MAB.

6.如下图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=8，∠BAC=60°，PC⊥平面ABC，PC=4，M为AB边上的一个动点，求PM的最小值.

7.如下图，P为△ABC所在平面外一点，PA⊥平面ABC，∠ABC=90°，AE⊥PB于E，AF⊥PC于F，求证：

（1）BC⊥平面PAB；

（2）AE⊥平面PBC；

（3）PC⊥平面AEF.

8.在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形，AB=2，BC=a，又侧棱PA⊥底面ABCD.

（1）当a为何值时，BD⊥平面PAC?

试证明你的结论.

（2）当a=4时，求证：

BC边上存在一点M，使得PM⊥DM.

（3）若在BC边上至少存在一点M，使PM⊥DM，求a的取值范围.

分析：

本题第

（1）问是寻求BD⊥平面PAC的条件，即BD垂直平面PAC内两相交直线，易知BD⊥PA，问题归结为a为何值时，BD⊥AC，从而知ABCD为正方形.

（1）解：

当a=2时，ABCD为正方形，则BD⊥AC.

又∵PA⊥底面ABCD，BD平面ABCD，

∴BD⊥PA.∴BD⊥平面PAC.

故当a=2时，BD⊥平面PAC.

（2）证明：

当a=4时，取BC边的中点M，AD边的中点N，连结AM、DM、MN.

∵ABMN和DCMN都是正方形，

∴∠AMD=∠AMN+∠DMN=45°+45°=90°，即DM⊥AM.又PA⊥底面ABCD，由三垂线定理得，PM⊥DM，故当a=4时，BC边的中点M使PM⊥DM.

（3）解：

设M是BC边上符合题设的点M，

∵PA⊥底面ABCD，∴DM⊥AM.

因此，M点应是以AD为直径的圆和BC边的一个公共点，则AD≥2AB，即a≥4为所求.

评述：

本题的解决中充分运用了平面几何的相关知识.因此，立体几何解题中，要注意有关的平面几何知识的运用.事实上，立体几何问题最终是在一个或几个平面中得以解决的.

9.正方形ABCD中，AB=2，E是AB边的中点，F是BC边上一点，将△AED及△DCF折起（如下图），使A、C点重合于A′点.

（1）证明：

A′D⊥EF；

（2）当F为BC的中点时，求A′D与平面DEF所成的角；

（3）当BF=BC时，求三棱锥A′—EFD的体积.

（1）证明：

∵A′D⊥A′E，A′D⊥A′F，

∴A′D⊥平面A′EF.∴A′D⊥EF.

（2）解：

取EF的中点G，连结A′G、DG.

∵BE=BF=1，∠EBF=90°，∴EF=.

又∵A′E=A′F=1，

∴∠EA′F=90°，A′G⊥EF，得A′G=.

∵A′G⊥EF，A′D⊥EF，A′G∩A′D=A′，

∴EF⊥平面A′DG.

∴平面DEF⊥平面A′DG.

作A′H⊥DG于H，得A′H⊥平面DEF，

∴∠A′DG为A′D与平面DEF所成的角.

在Rt△A′DG中，A′G=，A′D=2，

∴∠A′DG=arctan.

（3）解：

∵A′D⊥平面A′EF，

∴A′D是三棱锥D—A′EF的高.

又由BE=1，BF=推出EF=，

可得S=，

VA′－EFD=VD－A′EF=·S·A′D=··2=.

【例1】（2003年全国）下列五个正方体图形中，l是正方体的一条对角线，点M、N、P分别是其所在棱的中点，能得出l⊥平面MNP的图形的序号是_____________.

解析：

对①，易用三垂线定理证明l⊥MN，l⊥PM，故l⊥平面MNP；对②，易知l⊥平面ABC，但点M、N位于该平面的两侧，故平面MNP不平行平面ABC，从而l不垂直平面MNP；同理，③也不垂直；对④，易证l⊥MN，l⊥MP，故④正确；对⑤，易知平面MNP∥平面ABC，而l⊥平面ABC，故⑤正确.

答案：

①④⑤

【例2】（2004年春季上海）如下图，点P为斜三棱柱ABC—A1B1C1的侧棱BB1上一点，PM⊥BB1交AA1于点M，PN⊥BB1交CC1于点N.

（1）求证：

CC1⊥MN；

（2）在任意△DEF中有余弦定理：

DE2=DF2+EF2－2DF·EFcos∠DFE.拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角之间的关系式，并予以证明.

（1）证明：

∵CC1∥BB1CC1⊥PM，CC1⊥PN，

∴CC1⊥平面PMNCC1⊥MN.

（2）解：

在斜三棱柱ABC—A1B1C1中，有S=S2+S2－2S·Scosα，其中α为平面CC1B1B与平面CC1A1A所成的二面角.

∵CC1⊥平面PMN，∴上述的二面角为∠MNP.

在△PMN中，PM2=PN2+MN2－2PN·MNcos∠MNPPM2CC12=PN2CC12+MN2CC12－

2（PN·CC1）·（MN·CC1）cos∠MNP.

由于S=PN·CC1，S=MN·CC1，S=PM·BB1，

∴有S=S2+S2－2S·Scosα.

答案：

B

（答：

D）（答：

线段B1C）（答：

x、y是直线，z是平面）（答：

D）（答：

arcsin）（答：

）（答：

）（答：

）答案：

（1）

（2）（3）（4）（5）证明：

以O为原点直线a为z轴，建立空间直角坐标系，i、j、k为坐标向量，直线a、b的向量分别为a、b.设b=（x，y，z），∵b⊥α，∴b·i=x=0，b·j=y=0，b=（0，0，z）=zk.∴b∥k，a∥b.

评述：

因证明两直线平行，也就是证明其方向向量共线，所以，利用两向量共线的充要条件证明两直线平行是新教材基本的数学方法，应做到熟练运用.

证明：

∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC

又∵AB是⊙O的直径，∴BC⊥AC

而PC∩AC=C，∴BC⊥平面PAC

又∵AE在平面PAC内，∴BC⊥AE

∵PC⊥AE，且PC∩BC=C，

∴AE⊥平面PBC

点评：

证明直线与平面垂直的常用方法有：

利用线面垂直的定义；利用线面垂直的判定定理；利用“若直线a∥直线b，直线a⊥平面α，则直线b⊥平面α”

证明：

取A1B1的中点D1，连结C1D1

∵B1C1=A1C1，∴C1D1⊥ABB1A1

连结AD1，则AD1是AC1在平面ABB1A1内的射影，

∵A1B⊥AC1，

∴A1B⊥AD1

取AB的中点D，连结CD、B1D，

则B1D∥AD1，且B1D是B1C在平面ABB1A1内的射影

∵B1D⊥A1B，∴A1B⊥B1C