中考数学浙江省数学《第5讲二次根式及其运算》总复习讲解.docx
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中考数学浙江省数学《第5讲二次根式及其运算》总复习讲解
第5讲 二次根式及其运算
1．二次根式的有关概念
考试内容
考试
要求
二次
根式
一般地，形如（）的式子叫做二次根式．
a
最简二
次根式
必须同时满足：
（1）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；
（2）被开方数的因数是整数，因式是整式（分母中不应含有根号）．
2.二次根式的性质
考试内容
考试
要求
两个重要的性质
（）2＝a（a____________________）；
＝|a|＝
a
积的算术平方根
＝·（a≥0，b≥0）．
商的算术平方根
＝（a≥0，b>0）．
3.二次根式的运算
考试内容
考试
要求
二次根式的加减
先将各根式化为，然后合并被开方数的二次根式．
b
二次根式的乘法
·＝（a≥0，b≥0）．
二次根式的除法
＝（a≥0，b＞0）．
二次根式的混合运算
与实数的运算顺序相同，先算乘方，再算，最后算加减，有括号的先算括号里面的（或先去括号）．
考试内容
考试
要求
基本
方法
1.整式运算法则也适用于二次根式的运算．
c
2.估算一个根号表示的无理数可用“逐步逼近”的方法，即首先找出与该数邻近的两个完全平方数，可估算出该无理数的整数部分，然后再取一位小数进一步估算即可．
3.绝对值：
|a|；偶次幂：
a2n；非负数的算术平方根：
（a≥0）是常见的三种非负数形式．非负数具有以下两条重要性质：
①非负数形式有最小值为零；②几个非负数的和等于零，那么每个非负数都等于零．
1．（2015·湖州）4的算术平方根是（ ）
A．±2B．2C．－2D.
2．（2017·宁波）要使二次根式有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≠3B．x＞3C．x≤3D．x≥3
3．（2016·杭州）下列各式变形中，正确的是（ ）
A．x2·x3＝x6
B.＝|x|
C.÷x＝x－1
D．x2－x＋1＝＋
4．（2017·宁波）实数－8的立方根是____________________．
5．（2017·湖州）计算：
2×（1－）＋.
【问题】下列各式已给出计算结果：
①－＝； ②＝－3；③×＝； ④÷＝4
（1）其中正确的是____________；
（2）对于错误的结果，请给出正确答案；
（3）通过以上的解答，联想二次根式有哪些性质、运算法则？
【归纳】通过开放式问题，归纳、疏理二次根式的性质和运算法则，以及注意的问题．
类型一 平方根、算术平方根、立方根
（1）（2015·黄冈）9的平方根是（ ）
A．±3B．±C．3D．－3
（2）（2017·黄冈）16的算术平方根是________．
（3）（2016·宁波）实数－27的立方根是________．
【解后感悟】一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根；注意算术平方根易与平方根的概念混淆而导致错误；开立方和立方互为逆运算是解题的关键．
1．
（1）（2016·唐山模拟）下列式子中，计算正确的是（ ）
A．－＝－0.6B.＝－13
C.＝±6D．－＝－3
（2）如果一个正数的两个平方根为a＋1和2a－7，则这个数为____________________．
类型二 二次根式的有关概念与性质
（1）式子有意义的x的取值范围是________；
（2）（2017·邵阳模拟）将化成最简二次根式是________．
（3）计算：
＝________.
【解后感悟】
（1）此类有意义的条件问题主要是根据：
①二次根式的被开方数大于或等于零；②分式的分母不为零列不等式组，转化为求不等式组的解集．
（2）此题根据二次根式的性质化简，是解本题的关键．
2．
（1）（2017·荆州）下列根式是最简二次根式的是（ ）
A.B.C.D.
（2）k、m、n为三个整数，若＝k，＝15，＝6，则下列有关于k、m、n的大小关系，何者正确（ ）
A．k＜m＝nB．m＝n＜k
C．m＜n＜kD．m＜k＜n
（3）（2016·金华）能够说明“＝x不成立”的x的值是____________________（写出一个即可）．
（4）若实数a、b满足＋＝0，则＝____________________.
（5）若整数x满足|x|≤3，则使为整数的x的值是____________________（只需填一个）．
类型三 二次根式的运算与求值
（1）（2017·滨州）下列计算：
（1）（）2＝2，
（2）＝2，（3）（－2）2＝12，（4）（＋）（－）＝－1，其中结果正确的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
（2）计算：
－3＋＝______；
（3）化简：
（－）－－|－3|＝________.
【解后感悟】
（1）二次根式的加减运算，关键是掌握二次根式的化简及同类二次根式的合并；
（2）二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键．
3．
（1）下列计算正确的是（ ）
A．4－3＝1B.＋＝
C．2＝D．3＋2＝5
（2）算式（＋×）×之值为（ ）
A．2B．12C．12D．18
4．
（1）计算（－3）2018·（＋3）2017＝____________________；
（2）（2016·聊城）计算：
·÷＝ .
类型四 二次根式的大小比较
已知甲、乙、丙三数，甲＝5＋，乙＝3＋，丙＝1＋，则甲、乙、丙的大小关系，下列何者正确（ ）
A．丙＜乙＜甲B．乙＜甲＜丙
C．甲＜乙＜丙D．甲＝乙＝丙
【解后感悟】比较两个二次根式大小时要注意：
（1）负号不能移到根号内；
（2）根号外的正因数要平方后才能从根号外移到根号内．
5．
（1）（2015·河北）在数轴上标注了四段范围，如图，则表示的点落在（ ）
A．段①B．段②C．段③D．段④
（2）（2015·杭州）若k＜＜k＋1（k是整数），则k＝（ ）
A．6B．7C．8D．9
（3）（2017·白银）估计与0.5的大小关系是：
____________________0.5.（填“＞”、“＝”、“＜”）
类型五 二次根式的综合型问题
（1）已知实数x，y满足＋＝0，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是________．
（2）在日常生活中，取款、上网都需要密码，有的人把自己的出生年月作为密码，有的人把生活中的重要数字或自己认为吉利的数字作为密码，这样很容易被知情人窃用．有一种用二次根式法产生的密码，如：
对于二次根式，计算的结果是11，取被开方数和计算结果，再在中间加一个数字0，于是就得到一个六个数字的密码“121011”．对于二次根式，用上述方法产生的密码是________．
【解后感悟】常见的非负数有三种形式：
|a|，，a2；若几个非负数的和等于零，则这几个数都为零．
6．
（1）矩形相邻两边长分别为，，则它的周长是____________________，面积是____________________．
（2）观察分析下列数据，寻找规律：
0，，，3，2，…，那么第10个数据应是____________________．
（3）若y＝＋＋x3，则10x＋2y的平方根为____________________．
7．已知x＝＋1，y＝－1，求下列各式的值：
（1）x2＋2xy＋y2；
（2）x2－y2.
【探索规律题】
如图，以O（0，0）、A（2，0）为顶点作正△OAP1，以点P1和线段P1A的中点B为顶点作正△P1BP2，再以点P2和线段P2B的中点C为顶点作△P2CP3，…，如此继续下去，则第六个正三角形中，不在第五个正三角形上的顶点P6的坐标是________．
【方法与对策】根据O（0，0），A（2，0）为顶点作△OAP1，再以P1和P1A的中点B为顶点作△P1BP2，再以P2和P2B的中点C为顶点作△P2CP3，…，如此继续下去，结合图形求出点P6的坐标．本题由特殊到一般的规律解题是关键，这类题型是中考的热点．
【二次根式的化简符号不明确】
下列各式中，正确的是（ ）
A.＝－3 B．－＝－3C.＝±3 D.＝±3
参考答案
第5讲 二次根式及其运算
【考点概要】
1．a≥0
2.≥0 a －a
3.最简二次根式 相同 乘除
【考题体验】
1．B
2.D
3.B
4.－2
5.原式＝2－2＋2＝2.
【知识引擎】
【解析】
（1）③；
（2）①－＝，②＝3，④÷＝2； （3）主要从二次根式性质、运算法则方面去思考．
【例题精析】
例1
（1）A；
（2）4；（3）－3 例2
（1）根据题意得，2x＋1≥0且x－1≠0，解得x≥－且x≠1.
（2）3；（3）－1. 例3
（1）D；
（2）原式＝2－＋＝，故答案为：
；（3）（－）－－|－3|＝－3－2－（3－）＝－6.故答案为：
－6.
例4 ∵3＝<<＝4， ∴8＜5＋＜9，∴8＜甲＜9.∵4＝＜＜＝5，∴7＜3＋＜8，∴7＜乙＜8.∵4＝＜＜＝5，∴5＜1＋＜6，∴5＜丙＜6.∴丙＜乙＜甲．故选A. 例5
（1）由＋＝0得，x－4＝0，y－8＝0，即x＝4，y＝8.若4是腰长，则三角形的三边长为：
4、4、8，不能组成三角形．若4是底边长，则三角形的三边长为：
4、8、8，能组成三角形，周长为4＋8＋8＝20；即等腰三角形的周长是20.
（2）＝0.9，所以得到一个六个数字的密码081009.
【变式拓展】
1．
（1）D
（2）9 2.
（1）C
（2）D （3）－1 （4）1（5）－2
3.
（1）C
（2）D
4.
（1）－3
（2）12
5．
（1）C
（2）D（3）＞
6.
（1）6 4
（2）3（3）±6
7.
（1）因为x＝＋1，y＝－1，所以x＋y＝2，x－y＝2.则
（1）x2＋2xy＋y2＝（x＋y）2＝
（2）2＝12.
（2）x2－y2＝（x＋y）（x－y）＝4.
【热点题型】
【分析与解】每一个正三角形的边长都是上个三角形的边长的，第六个正三角形的边长是，故顶点P6的横坐标是，P5纵坐标是－－＝，P6的纵坐标为＋＝，故答案为：
（，）．
【错误警示】
＝＝＝3，选项A错误；＝＝＝3，选项C错误；＝3，选项D错误．故选B.
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