最新数学建模汇总.docx
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最新数学建模汇总
2002（数学建模）
2002年全国大学生数学建模竞赛
（封面）
选择题号:
普通组
大专组
A√
B
C
D
（根据所选竞赛题目在方框内打√）
学校名称_____××××××××_____________
学生姓名×××、×××、×××
指导老师×××
全国大学生数学建模竞赛浙江赛区组委会
二〇〇二年九月
摘要：
本文主要研究了车灯线光源长度在满足光照强度的设计要求下和功率节能的最优解策略。
分别用正向光线追迹、逆向光线追迹、方程组模型求解。
得到的结果基本一致，但计算复杂度逐级下降、求解精度逐级上升，最后得出线性光源长度为4.060（mm）。
由得出的解绘出测试屏上光强分布图十分附和车灯实际照射情况。
最后，对设计规范从照射车距（安全性）、视认度（驾驶员）、车灯功率（节能原则）来评价其合理性。
关键字：
光线追迹离散化等价光源
车灯线光源的优化设计模型
×××（计算机系2000）×××（计算机系2000）×××（计算机系2000）
指导老师×××
摘要本文主要研究了车灯线光源长度在满足光照强度的设计要求和功率节能的最优解策略。
分别用正向光线追迹、逆向光线追迹、方程组模型求解。
得到的结果基本一致，但计算复杂度逐级下降、求解精度逐级上升，最后得出线性光源长度为4.060（mm）。
由得出的解绘出测试屏上光强分布图十分附和车灯实际照射情况。
最后，对设计规范从照射车距（安全性）、视认度（驾驶员）、车灯功率（节能原则）来评价其合理性。
关键字光线追迹离散化等价光源
一、问题重述
安装在汽车头部的车灯的形状为一旋转抛物面，车灯的对称轴水平地指向正前方,其开口半径36毫米，深度21.6毫米。
经过车灯的焦点，在与对称轴相垂直的水平方向，对称地放置一定长度的均匀分布的线光源。
要求在某一设计规范标准下确定线光源的长度。
该设计规范在简化后可描述如下。
在焦点F正前方25米处的A点放置一测试屏，屏与FA垂直，用以测试车灯的反射光。
在屏上过A点引出一条与地面相平行的直线，在该直线A点的同侧取B点和C点，使AC=2AB=2.6米。
要求C点的光强度不小于某一额定值（可取为1个单位），B点的光强度不小于该额定值的两倍（只须考虑一次反射）。
二、模型假设
假设1：
线光源是理想的线光源，分布均匀且无粗细。
假设2：
只考虑经过一次反射。
假设3：
所有的反射都符合反射定律。
即，入射光线与反射光线的方向与反射面的法线矢量的夹角相等，并且所有的光线都在同一个平面内。
并且属无损反射。
假设4：
电能全部转化成灯丝的光能。
假设５：
不考虑配光镜对光线传输方向上的影响
三、问题分析
由抛物面的已知数据：
开口半径36毫米，深度21.6毫米。
可以马上得出抛物面方程：
z2＋y2＝60x
（由抛物线：
y2＝60x，z＝0，和焦点坐标是（15,0），沿中轴线z轴旋转而成）用METLAB软件可以绘出抛物面的大致立体图形。
如图：
模型要求分析
根据题意要求，在测试屏上要求C点的光强度不小于某一额定值（可取为1个单位），B点的光强度不小于该额定值的两倍。
根据上图，分析抛物面对光反射的特性和由假设2可知，B点和C点的光强度取决于两种光的叠加——经过反射镜反射后射入B（或C）的光线和线光源直接射入B（或C）的光线。
问题1，从线光源发出，经过反射镜后，照射在B,C上光强度。
问题2，由线光源直接照射到测试屏上B,C点的光强度。
汽车灯内部分析
对车灯内部结构分析之后我们可以得到如下特性：
1．电压U是恒定的。
2．灯丝横截面面积为恒定极小S。
（由假设1可得）
3．在稳定发光时由于温度不变，则电阻率ρ恒定。
电阻R=ρl/S也恒定。
因为车灯发光电路是一个非纯电阻电路。
不考虑热效应，所以电源供给的能量完全转化为光幅射能。
（由假设4可得）。
由P=U2/R，我们可以推出P=U2/（ρl/S）
转换后：
Pl=U2S/ρ
∴由上1，2，3，可得U2S/ρ为常量C
由此，我们可以得出线光源与功率成反比的关系
Pl=C
根据式子要想功率尽可能的小，线光源要尽可能的大，且要满足在测试屏上B和C点的光强比要求。
四、模型的建立和求解
1，建立空间坐标系
由题目中可知，因为这个状如抛物面的车灯的开口半径为36毫米,深度为21.6。
则设车灯抛物面的对称轴为X轴，车灯的抛物面的顶点作为我们的坐标原点。
建立三维空间坐标系。
根据已知条件，设在X-Y平面里的抛物线方程为y2＝2px,且过点（21.6，36）（单位：
毫米）则，可以求得p=30，那么，抛物线为y2＝60x，z＝0。
该抛物线沿中轴线x轴旋转，可以得出车灯的抛物面：
z2＋y2＝60x。
空间图形如图：
模型一：
进行正向仿真设计光线追迹[4]
主要思路：
1．计算反射光强度
我们把线光源和抛物面都离散化成为离散点，针对离散后的线光源上的每一个点，与抛物面上的各个离散点，可以求出入射光线。
由于我们已知了抛物面的曲面方程，也就可以求得该抛物面上点的法向量。
根据反射定律，由下面的公式
（1），根据入射光线和法向量可以求得反射光线。
公式
（1）『1』
推导和证明见附录1
然后，由反射光线直线和25米处的测试屏相交，可求得交点坐标。
用双重循环，遍历线光源上和抛物面上的所有点，记录测试屏上通过B,C点（在误差应许的范围内，也可以是Ｂ，Ｃ附近的点）处光线的数量N。
２．计算直射光强度
为使直射光线与反射光线含同样的光强量。
（也就是跟反射的光线统一单位）。
只有这样才能考虑叠加效果。
只要把直射的光强也按反射光线同样的离散度转化为光线，这样就能统一单位了。
而反射光线是根据抛物面的离散程度来转化的，所以直射光线也需要经过抛物面来转化。
转化方法如下：
把测试屏上的B（或C）点与抛物面上的各个离散点直接相连。
得到直线方程，与线光源线段去交，（方法同上）
若有交点,则认为线光源上有一份光线对B（或C）点的光强有贡献。
若无,检测抛物面上的下一点,重复上述步骤.直到遍历完抛物线上所有点。
（记录个数M（直射））
３．求出最终结果
所得到的经过B点（或C）的光线数的和M+N，就可以表示线光源直射和反射到B（或C）点的光强。
同样,求出C点光强,叠加后,比较B与C点的光强之比。
重复上述步骤１，２，３，线光源线段（15,y,0）范围线光源按步长1——>0.001由大变小，逐步搜索，最终得出最优解为3.9280。
计算机实现[2]：
1．将抛物反射面离散化，划分为m个面积相同的网格，取得每个网格中心点的空间坐标数据。
2．线光源从一定步长d增长，没增加一个步长，将此时长度的线光源离散化为n个点。
取的它的空间坐标数据。
3．对线光源上的离散点和抛物面上的离散点进行两两连接，这样就取得此时长度下线光源发出的射向抛物面的所有入射光线。
4．利用MATLAB上的函数surfnorm求得抛物面（曲面）上每个离散点的法线向量。
5．根据入射光线和法线向量，也就是相当于已知入射光线向量和法线向量，通过公式
（1），我们可以求得每条入射光线通过抛物面反射面反射后的反射光线。
6．根据已知条件，测试屏上的两点B（25000，1300，0）和C（25000，2600，0），所以我们在空间上取x＝25000这个平面做为测试屏。
对5步鄹所求得的所有反射光线求取其在x＝25000平面上的交点，记录下所有点的坐标数据。
7．以B点和C点为圆心，在平面x＝25000上做一微小半径r的圆，记录在此小圆内的通过6步鄹求得的交点的个数，分别做为此时长度线光源通过反射在B点和C点产生的光强度（即反射光强度）的衡量值Bf和Cf。
8．将抛物面上的所有离散点和B点以及C点连线，分别计算连接B点的直线与线光源线段的交点个数和连接C点的直线与线光源线段的交点个数，分别做为此时长度线光源通过直射在B点和C点产生的光强度（直射光强度）的衡量值Bz和Cz。
9．因为线光源长度是以一定的步长增加的，所以可以取得满足条件（Bf＋Bz）>=2（Cf+Cz）（即B点光强不小于C点光强的两倍）的一系列长度值。
取得长度最大的一个长度值做为线光源的最优长度值，此时所需的功率是满足条件（Bf＋Bz）>=2（Cf+Cz）下的最小功率。
10．解过程中的数据图标如下：
B点光强
627
627
627
627
627
C点光强
292
297
297
297
297
强度比
2.14726
2.11111
2.11111
2.11111
2.11111
线光源长度
3.91
3.912
3.914
3.916
3.918
627
627
632
632
632
297
297
297
302
302
2.11111
2.11111
2.12795
2.09272
2.09272
3.92
3.922
3.924
3.926
3.928
11．根据以上数据和算法原理，我们得出线光源长度的最优解为3.9280mm。
此时B点的光强度和C点的光强度的比值为2.09272。
（源程序见附录2）
模型二：
逆向光线追迹法
主要思路：
根据光路可逆原理，从B，C点出发进行逆向光线追迹，即由反射光线去寻找入射光线。
入射光线与线光源之间的公共点的存在，即表示所考虑的光线对B，C点的光强有贡献。
再由B，C点光强数（光线数）和倍数关系，以及功率越小越好的约束条件，线光源逐步长搜索最优长度。
详细步骤：
对于某一定长的线光源，因为线光源上的各个的点光源的光照强度一样，那么，在点Ｂ，Ｃ处的光照强度的比值就等于分别对于Ｂ，Ｃ点光源有贡献的光线数的比值，分析光线射到B点的照射情况：
１．考虑反射效果
由B（或C）点与抛物面上的离散点Ｍ（x0,y0,z0 ），那么就可以求出入射光线了。
由于抛物面的方程：
F=z2＋y2-60x，
那么，在M（x0,y0,z0）处的法向量为：
（FX，FY，FZ）=（-30，y0,z0）
由计算原理中的公式（１）
可求出反射光线,该反射光线方程与线光源所在的直线去交。
并且，y取值范围就是线光源的长度.若有交点,则认为光线对B（或C）处的光强有贡献。
遍历抛物面上的所有离散点，记录下这些对Ｂ（或Ｃ）有贡献的光线的个数。
（记录个数N（反射））
２．考虑直射效果
为使直射光线与反射光线含同样的光强量。
（也就是跟反射的光线统一单位）。
只有这样才能考虑叠加效果。
只要把直射的光强也按反射光线同样的离散度转化为光线，这样就能统一单位了。
而反射光线是根据抛物面的离散程度来转化的，所以直射光线也需要经过抛物面来转化。
转化方法如下：
把测试屏上的B（或C）点与抛物面上的各个离散点直接相连。
得到直线方程，与线光源线段去交，（方法同上）
若有交点,则认为线光源上有一份光线对B（或C）点的光强有贡献。
若无,检测抛物面上的下一点,重复上述步骤.直到遍历完抛物线上所有点。
（记录个数M（直射））
３．求出最终结果
所得到的经过B点（或C）的光线数的和M+N，就可以表示线光源直射和反射到B（或C）点的光强。
同样,求出C点光强,叠加后,比较B与C点的光强之比。
然后，重复上述步骤１，２，３线光源线段（15,y,0）范围线光源长由大变小，逐步搜索，比较.最后可得出最优长度为４.06（mm）。
模型二的计算机实现[2]：
1．将反射面（抛物面）分解为721«SkipRecordIf...»721个等面积的网格，得到721«SkipRecordIf...»721个网格中心点的坐标数据集合X[721,7
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