最新华师版八年级数学第19章矩形菱形与正方形教案文档格式.docx

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解：

∵四边形ABCD是矩形，

∴AC与BD相等且互相平分．

∴OA=OB．又∠AOB=60°

，

∴△OAB是等边三角形．

∴OA=AB=4cm.

∴矩形的对角线长AC=BD=2OA=2×

4=8（cm）．

2.已知：

如图，矩形ABCD，AB长8cm，对角线比AD边长4cm．求AD的长及点A到BD的距离AE的长．

（1）因为矩形四个角都是直角，因此矩形中的计算经常要用到直角三角形的性质，而此题利用方程的思想，解决直角三角形中的计算，这是几何计算题中常用的方法．

设AD=xcm，则对角线BP长（x+4）cm，在Rt△ABD中，由勾股定理：

x2+82=（x+4）2，解得x=6．则AD=6cm．

“直角三角形斜边上的高”是一个基本条件，利用面积公式，可得到两直角边、斜边及斜边上的高的一个基本关系式：

AE×

DB=AD×

AB，解得AE=4.8cm．

3.已知：

如图，矩形ABCD中，E是BC上一点，DF⊥AE于F，若AE=BC．求证：

CE=EF．

CE、EF分别是BC，AE等线段上的一部分，若AF=BE，则问题解决，而证明AF=BE，只要证明△ABE≌△DFA即可，在矩形中容易构造全等的直角三角形．

证明：

∴∠B=90°

，且AD∥BC．

∴∠1=∠2．

∵DF⊥AE，∴∠AFD=90°

．

∴∠B=∠AFD．又AD=AE，

∴△ABE≌△DFA（AAS）．

∴AF=BE．

∴EF=EC．

此题还可以连接DE，证明△DEF≌△DEC，得到EF=EC．

【教学说明】给予学生足够的时间，让学生先独立思考后，小组合作，由不同学生表述自己的不同思路，展示不同的方法.使学生能做一题会一类，熟知矩形中的基本图形.

4.若矩形一个角的平分线分一边为4cm和3cm的两部分，则矩形的周长为22或20cm．

本题需分两种情况解答

即矩形的一个角的平分线分一边为4cm和3cm，或者矩形的角平分线分一边为3cm和4cm．

当矩形的一个角的平分线分一边为4cm和3cm时，矩形的周长为2×

（3+4）+2×

4=22cm；

当矩形的角平分线分一边为3cm和4cm时，矩形的周长为2×

3=20cm．

分两种情况

【教学说明】本题考查的是基本的矩形性质，学生需要注意的是分两种情况作答即可.

四、师生互动，课堂小结

1.师生回顾矩形的性质.

2.通过本节课的学习你还有哪些疑惑？

请与同伴交流.

1.布置作业:

教材P101练习.

2.完成同步练习册中本课时的练习.

本节课以“平行四边形变形为矩形的过程”的演示引入课题，将学生视线集中在数学图形上，思维集中在数学思考上，更好地突出了观察的对象，使学生容易把握问题的本质.真实、自然、和谐，体现了数学学习的内在需要，加强了学生对知识之间的理解和把握，形成了和本质相关的认知结构.

2.矩形的判定

1.理解并掌握矩形的判定方法．

2.使学生能应用矩形定义、判定等知识，解决简单的证明题和计算题，进一步培养学生的分析能力.

通过探索矩形判定的过程，培养学生实验探索的意识；

形成几何分析思路和方法.

培养推理能力，会根据需要选择有关的结论证明，体会来自于实践的需要.

理解并掌握矩形的判定方法及其证明，掌握判定的应用.

定理的证明方法及运用.

1．什么叫做平行四边形？

什么叫做矩形？

2．矩形有哪些性质？

3．矩形与平行四边形有什么共同之处？

有什么不同之处？

【教学说明】通过这些问题，教师可以检查学生学习的情况.

4．事例引入：

小华想要做一个矩形相框送给妈妈做生日礼物，于是找来两根长度相等的短木条和两根长度相等的长木条制作，你有什么办法可以检测他做的是矩形相框吗？

看看谁的方法可行？

【教学说明】事例引入，激发学生的兴趣.

1.矩形的四个角都是直角，反过来，一个四边形至少有几个角是直角时，这个四边形就是矩形呢？

请证明你的结论，并与同伴交流.

【归纳结论】有三个角是直角的四边形是矩形.

2.动手操作：

拿一个活动的平行四边形教具，轻轻拉动一个点.

思考：

（1）随着∠ａ的变化，两条对角线的长度将发生怎样的变化？

（2）当两条对角线的长度相等时，平行四边形有什么特征？

你能证明吗？

【教学说明】让学生动脑思考，动手操作.为下面的学习做好知识上的准备；

【归纳结论】对角线相等的平行四边形是矩形

1._________________的平行四边形是矩形.

_________________的四边形是矩形.

2.下列说法正确的是（）

A.一组对边平行且相等的四边形是矩形

B.一组对边平行且有一个角是直角的四边形是矩形

C.对角线互相垂直的平行四边形是矩形

D.一个角是直角且对角线互相平分的四边形是矩形

矩形的判定定理有：

（1）对角线相等的平行四边形是矩形

（2）有三个角是直角的四边形是矩形；

据此判断．

A、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故A错误；

B、一组对边平行且相等有一个是直角的四边形是矩形，也有可能为梯形,故B错误；

C、对角线相等的平行四边形是矩形（或“对角线互相平分且相等的四边形是矩形”），故C错误；

D、对角线互相平分且相等的四边形是矩形，故D正确．

【教学说明】学生口答展示第1、2道题，训练学生的语言表达能力，

3.如图所示，□ABCD的四个内角的平分线分别相交于E，F，G，H，试说明四边形EFGH是矩形．

∵∠HAB+∠HBA=90°

∴∠H=90°

同理可求得

∠HEF=∠F=∠FGH=90°

∴四边形EFGH是矩形．

4.（一题多解题）如图所示，△ABC为等腰三角形，AB=AC，CD⊥AB于D，P为BC上的一点，过P点分别作PE⊥AB，PF⊥CA，垂足分别为E，F，则有PE+PF=CD，你能说明为什么吗？

解法一：

能．如图所示，过P点作PH⊥DC，垂足为H,

可得四边形PHDE是矩形

∴PE=DH，PH∥BD

∴∠HPC=∠B

又∵AB=AC

∴∠B=∠ACB

∴∠HPC=∠FCP．

又∵PC=CP，∠PHC=∠CFP=90°

∴△PHC≌△CFP

∴PF=HC

∴DH+HC=PE+PF

即：

DC=PE+PF．

解法二：

能．延长EP，过C点作CH⊥EP，垂足为H，如图所示，

∵可得四边形HEDC是矩形

∴EH=PE+PH=DC，CH∥AB

∴∠HCP=∠B．

∴△PHC≌△PFC

∴PH=PF

∴PE+PF=DC．

【教学说明】到黑板展示第3、4道题，有多种证明方法的题目学生口答展示，教师予以总结.既训练了学生的语言表达能力，也训练了学生的书写能力和分析问题的能力.

1.师生共同回顾矩形有哪些判定定理？

教材“习题19.1”中的第1、2、3、5题.

2.完成本课时对应练习.

本节课用逻辑推理的方法对以前曾用直观感知，操作说明而得到的矩形判定进行重新研究，让学生充分感受到逻辑推理是研究几何的重要方法.尽可能地提供多种机会让学生自己去理解、感悟、体验，从而加深学生对数学的认识，激发学生的数学兴趣，提高学生的数学水平.

19.2菱形

1.菱形的性质

理解菱形的概念，掌握菱形的性质

经过探索菱形的性质和基本概念的过程，在操作、观察、分析过程中培养学生思维意识，体会几何说理的基本方法．

培养学生主动探究的习惯和严密的思维意识、审美观、价值观

理解并掌握菱形的性质

形成合情推理的能力

分四人小组，先在组内交流自己收集的有关菱形的图片，实物等．然后进行全班性交流．

引入定义：

有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．

【教学说明】认识菱形，感受菱形的生活价值．

教师拿出平行四边形木框（可活动的），操作给学生看，让学生体会到：

平移平行四边形的一条边，使它与相邻的一条边相等，可以得到一个菱形，说明菱形也是平行四边形的特例，因此，菱形也具有平行四边形的所有性质．

【教学说明】通过教师的教具操作感受菱形的定义．

如图：

将一张矩形的纸对折再对折，然后沿着图中的虚线剪下，再打开.

1.这是一个什么样的图形呢？

2.有几条对称轴？

3.对称轴之间有什么位置关系？

4.菱形中有哪些相等的线段？

【教学说明】充分地应用直观学具的制作，发现菱形所具有的性质，激发课堂学习的热情．

【归纳结论】菱形具有平行四边形的一切性质，另外，菱形的四条边相等、对角线互相垂直.

1.如图，菱形ABCD中，AB=15，∠ADC=120°

，则B、D两点之间的距离为（A）

A．15B．1523

C．7.5D．153

【教学说明】本题考查有一个角是60°

的菱形，有一条对角线等于菱形的边长．

2.如图所示，在菱形ABCD中，∠ABC=60°

，DE∥AC且DE交BC的延长线于点E．

求证：

DE=

BE．

由四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°

，易得BD⊥AC，∠DBC=30°

，又由DE∥AC，即可证得DE⊥BD，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可证得DE=

方法一：

如下图，连接BD，

∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°

∴BD⊥AC，∠DBC=30°

，∵DE∥AC，

∴DE⊥BD，即∠BDE=90°

∴DE=

方法二：

∴AD∥BC，AC=AD，∵AC∥DE，

∴四边形ACED是菱形，

∴DE=CE=AC=AD，又四边形ABCD是菱形，

∴AD=AB=BC=CD，

∴BC=EC=DE，即C为BE中点，

∴DE=BC=

【教学说明】此题考查了菱形的性质，直角三角形的性质等知识．此题难度不大，注意数形结合思想的应用．

3.如图，在菱形ABCD中，∠A=60°

，AB=4，O为对角线BD的中点，过O点作OE⊥AB，垂足为E．

（1）求∠ABD的度数；

（2）求线段BE的长．

（1）根据菱形的四条边都相等，又∠A=60°

，得到△ABD是等边三角形，∠ABD是60°

；

（2）先求出OB的长和∠BOE的度数，再根据30°

角所对的直角边等于斜边的一半即可求出．

（1）在菱形ABCD中，AB=AD，∠A=60°

∴△ABD为等边三角形，

∴∠ABD=60°

（2）由

（1）可知BD=AB=4，

又∵O为BD的中点，

∴OB=2，

又∵OE⊥AB，及∠ABD=60°

∴∠BOE=30°

∴BE=1．

【教学说明】本题利用等边三角形的判定和直角三角形30°

角所对的直角边等于斜边的一半求解，需要熟练掌握．学生自主完成，对有一定难度可相互交流，最后由教师总结.

先小组内交流收获和感想,而后以小组为单位派代表进行总结，教师作以补充.

教材P113“练习”

在本节课中，重在经历探索菱形性质的过程，在操作活动和观察分析过程中发展学生的主动审美意识，进一步体会和理解说理的基本步骤，了解菱形的现实应用和常用方法.

2.菱形的判定

1.理解并掌握菱形的定义及两个判定方法.

2.会用菱形的两个判定方法进行有关的论证和计算.

经历探索菱形判定思想的过程，领会菱形的概念以及应用方法，发展学生主动探究的思想和说理的能力.

培养良好的思维意识以及合情推理的能力，感悟其应用价值及培养学生的观察能力、动手能力及逻辑思维能力．

菱形的两个判定方法．

判定方法的证明方法及运用．

回顾：

（1）菱形的定义：

一组邻边相等的平行四边形；

（2）菱形的性质：

性质1菱形的四条边都相等；

性质2菱形的对角线互相平分，并且每条对角线平分一组对角；

（3）运用菱形的定义进行菱形的判定，应具备几个条件？

（判定：

2个条件）

【教学说明】通过对菱形的性质复习回顾，让学生养成勤复习的习惯.温故而知新.

1.试一试.

如图作一个四条边都相等的四边形.

步骤：

（1）画两条相等的线段AB、AD；

（2）分别以点B和点D为圆心，AB长为半径画弧，两条相交于点C；

（3）连结BC、CD，即得一个四条边都相等的四边形ABCD.

观察你所画的图形，它是菱形吗？

你能证明你的结论吗？

【归纳结论】菱形判定方法1：

对角线互相垂直的平行四边形是菱形．

注意此方法包括两个条件：

（1）是一个平行四边形；

（2）两条对角线互相垂直．

【教学说明】首先教师活动让学生观察，而后让学生自己动手亲自体验活动，从而猜想出结论来.

已知：

在□ABCD中，AC⊥BD

□ABCD是菱形

数学语言:

∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD;

∴□ABCD是菱形.

2.画一画

如图，作一个两条对角线互相垂直的平行四边形.

（1）作两条互相垂直的直线m,n，记交点为点O；

（2）以点O为圆心、适当长为半径画弧，在直线m上截取相等的两条线段OA、OC；

（3）以点O为圆心，另一适当长为半径画弧，在直线上截取相等的两条线段OB、OD；

（4）连结A,B,C,D四点，即得到一个对角线互相垂直且平分的四边形ABCD，显然，它是一个对角线互相垂直的平行四边形.

和你的同伴交流一下，看看它是否也是一个菱形.

四边形ABCD是什么四边形？

【归纳结论】菱形的判定方法2：

四条边相等的四边形是菱形.

∵在四边形ABCD中,

AB=BC=CD=DA

∴四边形ABCD是菱形.

【教学说明】让学生自己动手亲自体验活动,从而猜想出结论来并进行证明.从而加深印象.

1.如图，在菱形ABCD中，E、F、G、H分别是菱形四边的中点，连结EG与FH交于点O，则图中的菱形共有（B）

A．4个B．5个

C．6个D．7个

2.下列说法正确的是（B）

A．对角线互相垂直且相等的四边形是菱形

B．对角线互相垂直的平行四边形是菱形

C．对角线互相平分且相等的四边形是菱形

D．对角线相等的四边形是菱形

如图□ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于E、F．

四边形AFCE是菱形．

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AE∥FC．

又∠AOE=∠COF，AO=CO，

∴△AOE≌△COF．

∴EO=FO．

∴四边形AFCE是平行四边形．又EF⊥AC，

∴□AFCE是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）．

4.如图，在△ABC中，∠BAC=90°

，AD⊥BC于D，CE平分∠ACB，交AD于G，交AB于E，EF⊥BC于F，求证：

四边形AEFG是菱形；

∵CE平分∠ACB，EA⊥CA，EF⊥BC，∴AE=FE，

∵∠1=∠2，

∴△AEC≌△FEC，

∴AC=FC，

∵CG=CG，

∴△ACG≌△FCG，

∴∠5=∠7=∠B，

∴GF∥AE，

∵AD⊥BC，EF⊥BC，

∴AG∥EF，

∵AG=GF（或AE=EF），

∴四边形AGFE是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）

【教学说明】让学生先独立完成，而后将不会的问题各小组交流讨论得出结果.让学生养成从题目中找解题信息，从图形中找解决问题的突破口.

1.师生回顾判定一个四边形是菱形的方法：

有一组邻边相等的平行四边形是菱形；

2.通过本节课的学习，你还有哪些疑惑？

教材“习题19.2”中第2、3、4题.

本节课让学生动手操作，不仅可以调动学生的积极性，而且通过动手做一做，然后再说一说的过程，巩固了菱形的判定.只有这样，才能使学生在今后的学习中有更严密的思维，使他们的抽象概括能力有更好的提升.

19.3正方形

1.掌握正方形的概念、性质和判定，并会用它们进行有关的论证和计算．

2.理解正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系和区别.

经历探索正方形有关性质、判定重要条件的过程.在观察中寻求新知，在探索中发展推理能力，逐步掌握说理的基本方法.

通过正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系的教学对学生进行辩证唯物主义教育，提高学生的逻辑思维能力．

正方形的判定方法.

1.在我们的生活中，除了平行四边形、矩形、菱形外，还有什么特殊的平行四边形呢？

2.出示正方形图片，学生观察它们有什么共同特征？

【教学说明】学生回答后，再举例.使学生感受生活中到处存在数学，激发其学习热情.

【归纳结论】有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.

1.正方形是我们熟悉的图形，它是轴对称图形吗？

是中心对称图形吗？

2.正方形有哪些性质？

正方形可以看成哪些图形？

【归纳结论】正方形的四个角都是直角，四条边相等.正方形的对角线相等且互相垂直平分.

正方形可以看成是：

有一个角是直角的菱形；

有一组邻边相等的矩形.

3.议一议：

平行四边形、菱形、矩形、正方形之间有什么关系？

你能用一个图直观地说明吗？

【教学说明】小组交流，引导学生从角、对角线的角度归纳总结.使学生感受变化过程，更清晰地了解各种四边形之间的联系与区别.

1.如图，△ABC是一个等腰直角三角形，DEFG是其内接正方形，H是正方形的对角线交点；

那么，由图中的线段所构成的三角形中相互全等的三角形的对数为（）

A.12B.13

C.26D.30

根据全等三角形的判定可以确定全等三角形的对数，由于图中全等三角形的对数较多，可以根据斜边长的不同确定对数，可以做到不重不漏．

设AB=3，图中所有三角形均为等腰直角三角形，其中，斜边长为1的有5个，它们组成10对全等三角形；

斜边长为

的有6个，它们组成15对全等三角形；

斜边长为2的有2个，它们组成1对全等三角形；

共计26对．

故选C．

2.已知正方形ABCD在直角坐标系内，点A（0，1），点B（0，0），则点C，D坐标分别为________和________．（只写一组）

首先根据正方形ABCD的点A（0，1），点B（0，0），在坐标系内找出这两点，根据正方形各边相等，从而可以确定C，D的坐标．

∵正方形ABCD的点A（0，1），点B（0，0），

∴AD∥x轴，CD∥y轴，这样画出正方形，即可得出C与D的坐标，分别为：

C（1，0），D（1，1）．或C（-1,0）,D（-1,1）.（写其中一组即可）

3.如图，点E、F分别在正方形ABCD的边DC、BC上，AG⊥EF，垂足为G，且AG=AB，求∠EAF度数.

根据角平分线的判定，可得出△ABF≌△AGF，故有∠BAF=∠GAF，再证明△AGE≌△ADE，有∠GAE=∠DAE；

所以可求∠EAF=45°

在Rt△ABF与Rt△AGF中，

∵AB=AG，AF=AF，∠B=∠AGF=90°

∴△ABF≌△AGF（HL），

∴∠BAF=∠GAF，

同理易得：

△AGE≌△ADE，

有∠GAE=∠DAE；

即∠EAF=∠EAG+∠FAG=

∠DAG+

∠BAG=

∠DAB=45°

故∠EAF=45°

.

4.如图，正方形ABCD中，AB=3，点E、F分别在BC、CD上，且∠BAE=30°

，∠DAF=15°

（1）求证：

DF+BE=EF；

（2）求∠EFC的度数；

（1）延长EB至G，使BG=DF，连接AG．利用正方形的性质，证明△A′BG≌△ADF，△FAE≌△GAE，得出DF+BE=EF；

（2）根据△AGE≌△AFE及角之间的关系从而求得∠EFC的度数；

（1）延长EB至G，使BG=DF，连结AG

∵正方形ABCD，

∴AB=AD，∠ABG=∠ADF=∠BAD=90°

∵BG=DF，

∴△ABG≌△ADF，

∴AG=AF，∠GAB=∠DAF.

∵∠BAE=30°

∴∠FAE=∠GAE=45°

∵AE=AE，

∴△FAE≌△GAE，

∴EF=EG=GB+BE=DF+BE；

（2）∵△AGE≌△AFE，

∴∠AFE=∠AGE=75°

∵∠DFA=90°

-∠DAF=75°

∴∠EFC=180°

-∠DFA-∠AFE=180°

-75°

=30°

∴∠EFC=30

5.已知：

如图，D是△ABC的BC边上的中点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别是E、F.且BF=CE.

△ABC是等腰三角形；

（2）当∠A=90°

时，试判断四边形AFDE是怎样的四边形，证明你的结论．

先利用HL判定Rt△BDF≌Rt△CDE，从而得到∠