山东肥城市九年级上学期数学期中模拟试题含答案青岛版Word下载.docx

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半径为2的圆内接正三角形，正四边形，正六边形的边心距之比为______．

如图14，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，O为矩形ABCD的中心，以D为圆心1为半径作⊙D，P为⊙D上的一个动点，连接AP、OP，则△AOP面积的最大值为________

图13图14

三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）

（10分）某中学九年级数学兴趣小组想测量建筑物AB的高度．他们在C处仰望建筑物顶端，测得仰角为48°

，再往建筑物的方向前进6米到达D处，测得仰角为64°

，求建筑物的高度．（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米）

（参考数据：

sin48°

&

asymp;

7/10，tan48°

11/10，sin64°

9/10，tan64°

2）

（12分）在Rt△ABC中，&

ACB=90°

，CD&

AB，垂足为D，E，F分别是AC，BC边上一点．

（1）求证：

AC/BC=CD/BD；

（2）若CE=1/3AC，BF=1/3BC，求&

EDF的度数．

（12分）如图，在△BCE中，点A是边BE上一点，以AB为直径的⊙O与CE相切于点D，AD∥OC，点F为OC与⊙O的交点，连接AF．

CB是⊙O的切线；

（2）若&

ECB=60°

，AB=6，求图中阴影部分的面积．

（12分）如图，正方形ABCD、等腰Rt△BPQ的顶点P在对角线AC上（点P与A、C不重合），QP与BC交于E，QP延长线与AD交于点F，连接CQ．

（1）①求证：

AP=CQ；

②求证：

PA2=AFAD；

（2）若AP：

PC=1：

3，求tan&

CBQ．

（12分）如图，在⊙O中，直径CD垂直于不过圆心O的弦AB，垂足为点N，连接AC，点E在AB上，且AE=CE

AC2=AEAB；

（2）过点B作⊙O的切线交EC的延长线于点P，试判断PB与PE是否相等，并说明理由；

（3）设⊙O半径为4，点N为OC中点，点Q在⊙O上，求线段PQ的最小值．

emsp;

答案和解析

1.【答案】B

【解析】

解：

根据勾股定理，，BC=，

所以，夹直角的两边的比为，

观各选项，只有B选项三角形符合，与所给图形的三角形相似．

故选：

B．

可利用正方形的边把对应的线段表示出来，利用三边对应成比例两个三角形相似，分别计算各边的长度即可解题．

此题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，三角形对应边比值相等判定三角形相似的方法，本题中根据勾股定理计算三角形的三边长是解题的关键．

2.【答案】D

在Rt△ABC中，&

C=90°

，sinA==，BC=6，

there4;

AB===10，

D．

在直角三角形ABC中，利用锐角三角函数定义表示出sinA，将sinA的值与BC的长代入求出AB的长即可．

此题考查了解直角三角形，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键．

3.【答案】A

∵&

DAE=&

CAB，

当&

AED=&

B或&

ADE=&

C时，△ABC∽△AED；

当=即=时，△ABC∽△AED．

A．

根据相似三角形的判定定理进行判定即可．

本题考查了相似三角形的判定：

两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；

有两组角对应相等的两个三角形相似．

4.【答案】A

①过平面上不在同一直线上的三点可以作一个圆，错误；

②平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故错误；

③在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等，错误；

④三角形的内心到三角形各边的距离相等，正确，

正确的有1个，

故选A．

利用确定圆的条件、垂径定理、圆周角定理及三角形的内心的性质分别判断后即可确定正确的选项；

本题考查了确定圆的条件、垂径定理、圆周角定理及三角形的内心的性质等知识，解题的关键是能够了解有关的定义及定理，难度不大．

5.【答案】B

∵BE、CD是△ABC的中线，

DE是△ABC的中位线，

，①正确；

=，②错误；

∵D是AB的中点，

=，

由题意得，点O是△ABC的重心，

，③正确；

=，④错误，

根据三角形的重心的概念和性质、相似三角形的性质计算即可．

本题考查的是三角形的重心的概念和性质、相似三角形的性质，掌握三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍是解题的关键．

6.【答案】C

∵，

sinA=，cosB=，

A=60°

，&

B=60°

，

故可得&

C=180°

-&

A-&

．

故选C．

根据绝对值及完全平方的非负性可得出sinA及cosB的值，继而可得出&

A及&

B的度数，利用三角形的内角和定理求解即可．

此题考查了特殊角的三角函数值、非负数的性质，属于基础题，解答本题的关键是根据特殊角的三角函数值得出&

B的度数．

7.【答案】C

∵DE=20m，DE：

AE=4：

3，

AE=15m，

∵CF=DE=20m，CF：

BF=1：

2，

BF=40m，

AB=AE+EF+BF=15+10+40=65m．

利用坡比的比值关系，求出AE与BF的长度即可得出下底的长．

本题考查了坡度和坡角的知识，解答本题的关键是根据坡比和已知条件求出三角形的边长．

8.【答案】A

过C作CD&

AB于D，如图所示：

∵在Rt△ABC中，&

C=90，AC=4，BC=3，

AB==5，

∵△ABC的面积=ACBC=ABCD，

34=5CD，

CD=2.4＜2.5，

即d＜r，

以2.5为半径的⊙C与直线AB的关系是相交；

AB于D，根据勾股定理求出AB，根据三角形的面积公式求出CD，得出d＜r，根据直线和圆的位置关系即可得出结论．

本题考查了直线和圆的位置关系，用到的知识点是勾股定理，三角形的面积公式；

解此题的关键是能正确作出辅助线，并进一步求出CD的长，注意：

直线和圆的位置关系有：

相离，相切，相交．

9.【答案】B

取AB的中点O、AE的中点E、BC的中点F，连结OC、OP、OM、OE、OF、EF，如图，

∵在等腰Rt△ABC中，AC=BC=2，

AB=BC=4，

OC=AB=2，OP=AB=2，

∵M为PC的中点，

OM&

PC，

CMO=90°

点M在以OC为直径的圆上，

当P点在A点时，M点在E点；

当P点在B点时，M点在F点，

易得四边形CEOF为正方形，EF=OC=2，

M点的路径为以2为直径的半圆，

点M运动的路径长=&

2=&

故选B．

取AB的中点O、AE的中点E、BC的中点F，连结OC、OP、OM、OE、OF、EF，如图，利用等腰直角三角形的性质得到AB=BC=4，则OC=AB=2，OP=AB=2，再根据等腰三角形的性质得OM&

PC，则&

，于是根据圆周角定理得到点M在以OC为直径的圆上，由于点P点在A点时，M点在E点，点P点在B点时，M点在F点，则利用四边形CEOF为正方得到EF=OC=2，所以M点的路径为以2为直径的半圆，然后根据圆的周长公式计算点M运动的路径长．

本题考查了轨迹：

点按一定规律运动所形成的图形为点运动的轨迹．解决此题的关键是利用等腰三角形的性质和圆周角定理确定M点的轨迹为以2为直径的半圆．

10.【答案】B

∵OA&

ADC=&

AOB=35°

先根据垂径定理得出=，再由圆周角定理即可得出结论．

本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．

11.【答案】B

连接AD，OD，

∵等腰直角△ABC中，

ABD=45°

∵AB是圆的直径，

ADB=90°

△ABD也是等腰直角三角形，

=．

∵AB=8，

AD=BD=4，

S阴影=S△ABC-S△ABD-S弓形AD

=S△ABC-S△ABD-（S扇形AOD-S△ABD）

=88-44-+44=16-4&

+8

=24-4&

连接AD，因为△ABC是等腰直角三角形，故&

，再由AB是圆的直径得出&

，故△ABD也是等腰直角三角形，所以=，S阴影=S△ABC-S△ABD-S弓形AD由此可得出结论．

本题考查的是扇形面积的计算，根据题意作出辅助线，构造出三角形及扇形是解答此题的关键．

12.【答案】C

∵△BPC是等边三角形，

BP=PC=BC，&

PBC=&

PCB=&

BPC=60°

在正方形ABCD中，

∵AB=BC=CD，&

A=&

BCD=90°

ABE=&

DCF=30°

BE=2AE；

故①正确；

∵PC=CD，&

PCD=30°

PDC=75°

FDP=15°

DBA=45°

PBD=15°

FDP=&

PBD，

DFP=&

△DFP∽△BPH；

故②正确；

ADB=45°

PDB=30°

，而&

DFP=60°

PFD&

ne;

PDB，

△PFD与△PDB不会相似；

故③错误；

PDH=&

DPH=&

DPC，

△DPH∽△CPD，

DP2=PHPC，故④正确；

由正方形的性质和相似三角形的判定与性质，即可得出结论．

本题考查的正方形的性质，等边三角形的性质以及相似三角形的判定和性质，解答此题的关键是熟练掌握性质和定理．

13.【答案】4或9

【分析】

此题主要考查了相似三角形的判定与性质，利用倒推法以及分类讨论得出是解题关键．分别根据当△ADP∽△ACB时，当△ADP∽△ABC时，求出AP的长即可.

【解答】

当△ADP∽△ACB时，

解得：

AP=9，

当△ADP∽△ABC时，

AP=4，

当AP的长度为4或9时，△ADP和△ABC相似．

故答案为4或9.

14.【答案】11

此题主要考查了相似三角形的判定与性质，解题首先利用平行四边形的构造相似三角形的相似条件，然后利用其性质即可求解．由于四边形ABCD是平行四边形，所以得到BC∥AD、BC=AD，而CE=2EB，由此即可得到△AFD∽△CFE，它们的相似比为3：

2，最后利用相似三角形的性质即可求解．

∵四边形ABCD是平行四边形，

BC∥AD、BC=AD，

而CE=2EB，

△AFD∽△CFE，且它们的相似比为3：

S△AFD：

S△EFC=（）2，

而S△AFD=9，

S△EFC=4，

S△DFC=9=6，

S△ADC=15，

S四边形ABEF=15-4=11.

故答案为11．

15.【答案】

（1，2）或（-1，-2）

∵点B的坐标为（-2，-4），以原点为位似中心将△ABC缩小，位似比为1：

点B的对应点的坐标为（1，2）或（-1，-2），

故答案为：

（1，2）或（-1，-2）．

根据在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k解答．

本题考查的是位似变换的概念和性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k．

16.【答案】9&

3+9

如图，作AD&

BC，BH&

水平线，

由题意得：

ACH=75°

BCH=30°

，AB∥CH，

ABC=30°

ACB=45°

∵AB=312=36m，

AD=CD=18m，BD=ABcos30°

=18m，

BC=CD+BD=（18+18）m，

BH=BCsin30°

=（9+9）m．

9+9．

作AD&

水平线，根据题意确定出&

ABC与&

ACB的度数，利用锐角三角函数定义求出AD与BD的长，由CD+BD求出BC的长，即可求出BH的长．

此题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键．

17.【答案】4/5

连接EC，由&

EOC=90°

得到BC为圆A的直径，

EC过点A，

又OE=3，OC=4，根据勾股定理得：

EC=5，

OBE和&

OCE为所对的圆周角，

OBE=&

OCE，

则cos&

OBE=cos&

OCE==．

连接EC，由90°

的圆周角所对的弦为直径，根据&

得到EC为圆A的直径，所以点A在EC上且为EC中点，在直角三角形EOC中，由OE和OC的长，利用勾股定理求出EC的长，根据同弧所对的圆周角都相等得到&

EBO与&

ECO相等，而&

ECO在直角三角形EOC中，根据余弦函数定义即可求出cos&

ECO的值，进而得到cos&

EBO．

此题考查学生掌握90°

的圆周角所对的弦为直径以及同弧所对的圆周角相等，考查了数形结合以及转化的数学思想，是一道中档题．连接EC且得到EC为圆A的直径是解本题的突破点．

18.【答案】5

根据垂线段最短知，当OM&

AB时，OM有最小值，

此时，由垂径定理知，点M是AB的中点，

连接OA，AM=AB=4，

由勾股定理知，OA2=OM2+AM2．

即OA2=42+32，

解得OA=5．

所以⊙O的半径为5；

故答案为5．

AB时，OM有最小值．根据垂径定理和勾股定理求解．

本题考查了垂径定理和勾股定理，根据垂线段最短知，当OM&

AB时，OM有最小值是解题的关键．

19.【答案】1：

2：

3

由题意可得，

正三角形的边心距是：

2sin30°

=2=1，

正四边形的边心距是：

2sin45°

=2，

正六边形的边心距是：

2sin60°

半径为2的圆内接正三角形，正四边形，正六边形的边心距之比为：

1：

：

根据题意可以求得半径为2的圆内接正三角形，正四边形，正六边形的边心距，从而可以求得它们的比值．

本题考查正多边形和圆，解答本题的关键是明确题意，求出相应的图形的边心距．

20.【答案】17/4.

本题考查了圆的切线的性质，矩形的性质，平行线的性质，勾股定理的应用以及三角形相似的判定和性质，本题的关键是判断出P处于什么位置时面积最大.当P点移动到平行于OA且与⊙D相切时，△AOP面积的最大，由于P为切点，得出MP垂直与切线，进而得出PM&

AC，根据勾股定理先求得AC的长，进而求得OA的长，根据△ADM∽△ACD，求得DM的长，从而求得PM的长，最后根据三角形的面积公式即可求得.

当P点移动到平行于OA且与⊙D相切时，△AOP面积的最大，如图，

菁优网

∵P是⊙D的切线，

DP垂直与切线，延长PD交AC于M，则DM&

AC，

∵在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，

.

AMD=&

ADC=90°

DAM=&

CAD，

△ADM∽△ACD，

∵AD=4，CD=3，AC=5，

DM=，

△AOP的最大面积=.

故答案为.

21.【答案】解：

根据题意，得&

ADB=64°

ACB=48°

在Rt△ADB中，tan64°

=AB/BD，

则BD=AB/（tan〖64〗^&

）&

1/2AB，

在Rt△ACB中，tan48°

=AB/CB，

则CB=AB/（tan〖48〗^&

10/11AB，

CD=BC-BD

即6=10/11AB-1/2AB

AB=132/9&

14.7（米），

建筑物的高度约为14.7米．

Rt△ADB中用AB表示出BD、Rt△ACB中用AB表示出BC，根据CD=BC-BD可得关于AB的方程，解方程可得．

本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解题的关键是利用数形结合的思想找出各边之间的关系，然后找出所求问题需要的条件．

22.【答案】解：

（1）∵CD&

AB，

A+&

ACD=90°

又∵&

B=90°

B=&

ACD

Rt△ADC∽Rt△CDB

（2）∵CE/BF=（1/3AC）/（1/3BC）=AC/BC，

ACD=&

B，

△CED∽△BFD；

CDE=&

BDF；

EDF=&

EDC+&

CDF=&

BDF+&

CDB=90°

（1）证相关线段所在的三角形相似即可，即证Rt△ADC∽Rt△CDB；

（2）易证得CE：

BF=AC：

BC，联立

（1）的结论，即可得出CE：

BF=CD：

BD，由此易证得△CED∽△BFD，即可得出&

BDF，由于&

BDF和&

CDF互余，则&

EDC和&

CDF也互余，由此可求得&

此题考查的是相似三角形的判定和性质；

识别两三角形相似，除了要掌握定义外，还要注意正确找出两三角形的对应边、对应角，可利用数形结合思想根据图形提供的数据计算对应角的度数、对应边的比．

23.【答案】

（1）证明：

连接OD，与AF相交于点G，

∵CE与⊙O相切于点D，

OD&

CE，

CDO=90°

∵AD∥OC，

ADO=&

DOC，&

DAO=&

BOC，

∵OA=OD，

DAO，

DOC=&

在△CDO和△CBO中，\

{■（CO=CO@&

BOC@OD=OB）┤，

△CDO≌△CBO，

CBO=&

CB是⊙O的切线．

（2）由

（1）可知&

DOA=&

BOC，&

DCO=&

BCO=1/2&

ECB=30°

BOC=60°

DOA=60°

△OAD是等边三角形，

AD=OD=OF，∵&

GOF=&

ADO，