苏教版数学选修21讲义第1章+11+111+四种命题不作要求+1.docx

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苏教版数学选修21讲义第1章+11+111+四种命题不作要求+1

1.1　命题及其关系

1.1.1　四种命题（不作要求）

1.1.2　充分条件和必要条件

学习目标

核心素养

1.结合具体实例，理解充分条件、必要条件和充要条件的意义．（重点）

2．结合具体命题，学会判断充分条件、必要条件、充要条件的方法．（重点、难点）

3．培养辩证思维能力.

通过充要条件的学习，培养逻辑推理素养.

1．符号⇒与的含义

命题真假

“若p则q”为真

“若p则q”为假

表示方法

p⇒q

pq

读法

p推出q

p不能推出q

2.充分、必要条件的含义

条件关系

含义

p是q的充分条件

（q是p的必要条件）

p⇒q

p是q的充要条件

p⇔q

p是q的充分不必要条件

p⇒q，且qp

p是q的必要不充分条件

pq，且q⇒p

p是q的既不充分又不必要条件

pq，且qp

思考：

（1）p是q的充分条件与q是p的必要条件所表示的推出关系是否相同？

（2）以下五种表述形式：

①p⇒q；②p是q的充分条件；③q的充分条件是p；④q是p的必要条件；⑤p的必要条件是q.这五种表述形式等价吗？

[提示]　

（1）相同，都是p⇒q　

（2）等价

1．“x>2”是“x2－3x＋2>0”成立的（　　）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

A　[由x2－3x＋2>0得x>2或x<1，故选A.]

2．对于任意的实数a，b，c，在下列命题中，真命题是（　　）

A．“ac＞bc”是“a＞b”的必要条件

B．“ac＝bc”是“a＝b”的必要条件

C．“ac＜bc”是“a＜b”的充分条件

D．“ac＝bc”是“a＝b”的充分条件

B　[若a＝b，则ac＝bc；若ac＝bc，则a不一定等于b，故“ac＝bc”是“a＝b”的必要条件．]

3．设a，b是实数，则“a＋b＞0”是“ab＞0”的（　　）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分又不必要条件

D　[本题采用特殊值法：

当a＝3，b＝－1时，a＋b＞0，但ab＜0，故不是充分条件；当a＝－3，b＝－1时，ab＞0，但a＋b＜0，故不是必要条件．所以“a＋b＞0”是“ab＞0”的既不充分又不必要条件．]

4．用“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”和“既不充分也不必要”填空．

（1）“a2＋b2＝0”是“a＝b＝0”的________条件．

（2）两个三角形全等是这两个三角形相似的________条件．

（3）“a2>0”是“a>0”的________条件．

（4）“sinα>sinβ”是“α>β”的________条件．

（1）充要　

（2）充分不必要　（3）必要不充分　（4）既不充分也不必要　[

（1）a2＋b2＝0成立时，当且仅当a＝b＝0.故应填“充要”．

（2）因为两个三角形全等⇒两个三角形相似，但两个三角形相似D两个三角形全等，所以填“充分不必要”．

（3）因为a2＞0a＞0，如（－2）2＞0，但－2＞0不成立；又a＞0⇒a2＞0，所以“a2＞0”是“a＞0”的必要不充分条件．

（4）因为y＝sinx在不同区间的单调性是不同的，故“sinα>sinβ”是“α>β”的既不充分也不必要条件．]

充分条件、必要条件、充要条件的判断

【例1】　指出下列各题中，p是q的什么条件（在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充分必要条件”“既不充分也不必要条件”中选出一种作答）．

（1）在△ABC中，p：

∠A>∠B，q：

BC>AC；

（2）对于实数x，y，p：

x＋y≠8，q：

x≠2或y≠6；

（3）p：

（a－2）（a－3）＝0，q：

a＝3；

（4）p：

a＜b，q：

＜1.

[思路探究]　判断p⇒q与q⇒p是否成立，当p、q是否定形式，

可判断綈q是綈p的什么条件．

[解]　

（1）在△ABC中，显然有∠A>∠B⇔BC>AC，所以p是q的充分必要条件．

（2）因为x＝2且y＝6⇒x＋y＝8，即綈q⇒綈p，但綈p⇒綈q，所

以p是q的充分不必要条件．

（3）由（a－2）（a－3）＝0可以推出a＝2或a＝3，不一定有a＝3；由a＝3可以得出（a－2）（a－3）＝0.因此，p是q的必要不充分条件．

（4）由于a＜b，当b＜0时，＞1；

当b＞0时，＜1，故若a＜b，不一定有＜1；

当a＞0，b＞0，＜1时，可以推出a＜b；

当a＜0，b＜0，＜1时，可以推出a＞b.

因此p是q的既不充分也不必要条件．

充分条件与必要条件的判断方法

1．定义法

2．等价法：

将命题转化为另一个等价的又便于判断真假的命题．

3．逆否法：

这是等价法的一种特殊情况．

若綈p⇒綈q，则p是q的必要条件，q是p的充分条件；

若綈p⇒綈q，且綈q綈p，则p是q的必要不充分条件；

若綈p⇔綈q，则p与q互为充要条件；

若綈p綈q，且綈q綈p，则p是q的既不充分也不必要条件．

1．

（1）设a，b是实数，则“a>b”是“a2>b2”的（　　）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

D　[令a＝1，b＝－1，满足a>b，但不满足a2>b2，即“a>b”不能推出“a2>b2”；再令a＝－1，b＝0，满足a2>b2，但不满足a>b，即“a2>b2”不能推出“a>b”，所以“a>b”是“a2>b2”的既不充分也不必要条件．]

（2）对于二次函数f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0），下列结论正确的是（　　）

①Δ＝b2－4ac≥0是函数f（x）有零点的充要条件；

②Δ＝b2－4ac＝0是函数f（x）有零点的充分条件；

③Δ＝b2－4ac>0是函数f（x）有零点的必要条件；

④Δ＝b2－4ac<0是函数f（x）没有零点的充要条件．

A．①④B．①②③

C．①②③④D．①②④

D　[①Δ＝b2－4ac≥0⇔方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）有实根⇔f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0）有零点，故①正确．

②若Δ＝b2－4ac＝0，则方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）有实根，因此函数f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0）有零点，故②正确．

③函数f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0）有零点时，方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）有实根，未必有Δ＝b2－4ac>0，也可能有Δ＝0，故③错误．

④Δ＝b2－4ac<0⇔方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）无实根⇔函数f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0）无零点，故④正确．]

充要条件的探求与证明

（1）“x2－4x<0”的一个充分不必要条件为（　　）

A．0

C．x>0D．x<4

（2）已知x，y都是非零实数，且x>y，求证：

<的充要条件是xy>0.

[思路探究]　

（1）先解不等式x2－4x<0得到充要条件，则充分不必要条件应是不等式x2－4x<0的解集的子集．

（2）充要条件的证明可用其定义，即条件⇒结论且结论⇒条件．如果每一步的推出都是等价的（⇔），也可以把两个方面的证明合并在一起，用“⇔”写出证明．

[解析]　

（1）由x2－4x<0得0

[答案]　B

（2）法一：

充分性：

由xy>0及x>y，得>，

即<.

必要性：

由<，得－<0，即<0.

因为x>y，所以y－x<0，所以xy>0.

所以<的充要条件是xy>0.

法二：

<⇔－<0⇔<0.

由条件x>y⇔y－x<0，故由<0⇔xy>0.

所以<⇔xy>0，

即<的充要条件是xy>0.

1．探求充要条件一般有两种方法：

（1）探求A成立的充要条件时，先将A视为条件，并由A推导结论（设为B），再证明B是A的充分条件，这样就能说明A成立的充要条件是B，即从充分性和必要性两方面说明．

（2）将原命题进行等价变形或转换，直至获得其成立的充要条件，探求的过程同时也是证明的过程，因为探求过程每一步都是等价的，所以不需要将充分性和必要性分开来说明．

2．充要条件的证明

（1）证明p是q的充要条件，既要证明命题“p⇒q”为真，又要证明“q⇒p”为真，前者证明的是充分性，后者证明的是必要性．

（2）证明充要条件，即说明原命题和逆命题都成立，要注意“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”这两种说法的差异，分清哪个是条件，哪个是结论．

2．

（1）不等式x（x－2）<0成立的一个必要不充分条件是（　　）

A．x∈（0,2）　　　　　B．x∈[－1，＋∞）

C．x∈（0,1）D．x∈（1,3）

B　[由x（x－2）<0得0

（2）求证：

关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1的充要条件是a＋b＋c＝0.

[证明]　假设p：

方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1，

q：

a＋b＋c＝0.

①证明p⇒q，即证明必要性．

∵x＝1是方程ax2＋bx＋c＝0的根，

∴a×12＋b×1＋c＝0，即a＋b＋c＝0.

②证明q⇒p，即证明充分性．

由a＋b＋c＝0，得c＝－a－b.

∵ax2＋bx＋c＝0，

∴ax2＋bx－a－b＝0，

即a（x2－1）＋b（x－1）＝0.

故（x－1）（ax＋a＋b）＝0.

∴x＝1是方程的一个根．

故方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1的充要条件是a＋b＋c＝0.

充分、必要条件的应用

[探究问题]

1．若集合AB，那么“x∈A”是“x∈B”的什么条件？

“x∈B”是“x∈A”的什么条件？

[提示]　因为AB，所以x∈A成立时，一定有x∈B，反之不一定成立，所以“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，而“x∈B”是“x∈A”的必要不充分条件．

2．对于集合A和B，在什么情况下，“x∈A”是“x∈B”的既不充分也不必要条件？

[提示]　当AB且BA时，“x∈A”是“x∈B”的既不充分也不必要条件．

3．集合A＝{x|x≥a}，B＝{x|x≥2}．若A是B的充要条件，实数a的值确定吗，若集合A是B的充分不必要条件？

实数a的值确定吗？

[提示]　当A是B的充要条件时，A＝B，这时a的值是确定的，即a＝2；当A是B的充分不必要条件时，AB，这时a的值不确定，实数a的取值范围是（2，＋∞）．

【例3】　已知p：

x2－8x－20≤0，q：

x2－2x＋1－m2≤0（m>0），且p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围为________．

[思路探究]　→→

{m|m≥9}（或[9，＋∞））　[由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，由x2－2x＋1－m2≤0（m>0），得1－m≤x≤1＋m（m>0）．

因为p是q的充分不必要条件，所以p⇒q且qDp.

即{x|－2≤x≤10}是{x|1－m≤x≤1＋m，m>0}的真子集，

所以或解得m≥9.

所以实数m的取值范围为{m|m≥9}．]

1．本例中“p是q的充分不必要条件”改为“p是q的必要不充分条件”，其他条件不变，试求m的取值范围．

[解]　由x2－8x－20≤0得－2≤x≤10，由x2－2x＋1－m2≤0（m>0）得1－m≤x≤1＋m（m>0）

因为p是q的必要不充分条件，所以q⇒p，且pq.

则{x|1－m≤x≤1＋m，m>0}{x|－2≤x≤10}

所以，解得0

即m的取值范围是（0,3]．

2．若本例题改为：

已知P＝{x|a－4

[解]　因为“x∈P”是x∈