博弈论复习题及答案分析Word下载.docx
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写出两人各自的全部策略，并用等价的博弈树来重新表示这个博弈（
6分）
ab
2,3
0,0
4,2
⑵找出该博弈的全部纯策略纳什均衡，并判断均衡的结果是否是Pareto有效（3）求出该博弈的混合策略纳什均衡。
（7分）
（1）策略
甲：
AB
乙：
博弈树（草图如下:
（2）PureNE（A,a）;
（B,b）
都是Pareto有效，仅（B,b）是K—H有效。
⑶MixedNE（（2/5,3/5）;
（2/3,1/3））5、用反应函数法求出下列博弈的所有纯战略纳什均衡
参与人2
D
解答：
3,2
3,4
0,3
4,4
5,2
0,1
1,2
3,1
4,1
1,4
10,2
-1,2
10,1
a
b
c
d
A
参与人B
1
C
纯策略纳什均衡为（B,&
）与（A,c）
分析过程：
设两个参与人的行动分别为
B,如果a2
playerl的反应函数R1（a2）元
A,如果a2
C或者D,如果a2=d
c,如果a1=A
player2的反应函数R2（aJ=
a,如果a1=B
c,如果a1=C
c,如果a^i=D
交点为（B,&
）与（A，c），因此纯策略纳什均衡为（B,&
）与（A,c）。
6（entrydeterrenee市场威慑）考虑下面一个动态博弈：
首先，在一个市场上潜在的进入者选择是否进入，然后市场上的已有企业（在位者）选择是否与新企业展开竞争。
在位者可能有两种类型，温柔型（左图）和残酷型（右图），回答下面问题。
（1）找出给定在位者的两种类型所分别对应的纳什均衡，以及子博弈精炼纳什均衡（12分）
（2）已有企业为温柔型的概率至少多少时，新企业才愿意进入（8分）
（1）温柔NE（in,accommodate）和（out,fight）。
SPNE为（in,
accommodate）
残酷NE（out,fight）.SPNE同理
⑵20p一10（1_p）xO得到p=1/38、博弈方1和博弈方2就如何分10,000元钱进行讨价还价。
假设确定了以下规则：
双方同时提出自己要求的数额A和B，0<
A,BW10,000。
如果A+B<
10,000,贝U两博弈方的要求得到满足，即分别得A和B，但如果A+B>
10,000,则该笔钱就没收。
问该博弈的纳什均衡是什么？
如果你是其中一个博弈方，你会选择什么数额？
为什么？
答十、纳什均衡有无数个。
最可能的结果是（5000,5000）这个聚点均衡。
9、北方航空公司和新华航空公司分享了从北京到南方冬天度假胜地的市场。
如果它们合作，各获得500000元的垄断利润，但不受限制的竞争会使每一方的利润降至60000元。
如果一方在价格决策方面选择合作而另一方却选择降低价格，则合作的厂商获利将为零，竞争厂商将获利900000元。
（1）将这一市场用囚徒困境的博弈加以表示。
（2）解释为什么均衡结果可能是两家公司都选择竞争性策略。
答：
（1）用囚徒困境的博弈表示如下表：
北方航空公司
合作
竞争
新华航空公司
500000,500000
0,900000
900000,0
60000,60000
（2）如果新华航空公司选择竞争，则北方航空公司也会选择竞争（60000>
0）;
若新华航空公司选择合作，北方航空公司仍会选择竞争（900000>
500000。
若北方航空公司选择竞争，新华航空公司也将选择竞争（60000>
若北方航空公司选择合作，新华航空公司仍会选择竞争（900000>
0）。
由于双方总偏好竞争，故均衡结果为两家公司都选择竞争性策略，每一家公司所获利润均为600000元。
各自选择是生产高价啤酒还是低价啤酒，相应的
12、设啤酒市场上有两家厂商,利润（单位：
万元）由下图的得益矩阵给出:
厂商B
低价定价
低价
厂商A
100i800
50t50
一20,-30
900.600
（1）有哪些结果是纳什均衡？
（2）两厂商合作的结果是什么？
答
（1）（低价，高价），（高价，低价）
（2）（低价，高价）
13、A、B两企业利用广告进行竞争。
若A、B两企业都做广告，在未来销售中，A企业可以获得20万元利润，B企业可获得8万元利润；
若A企业做广告，B企业不做广告，A企业可获得25万元利润，B企业可获得2万元利润；
若A企业不做广告，B企业做广告，A企业可获得10万元利润，B企业可获得12万元利润；
若A、B两企业都不做广告，A企业可获得30万元利润，B企业可获得6万元利润。
（1）画出A、B两企业的支付矩阵。
（2）求纳什均衡。
3.答：
（1）由题目中所提供的信息，可画出AB两企业的支付矩阵（如下表）。
B企业
做广告
不做广告
A企业
20,8
25,2
10,12
30,6
（2）因为这是一个简单的完全信息静态博弈，对于纯策纳什均衡解可运用划横线法求解。
如果A厂商做广告，则B厂商的最优选择是做广告，因为做广告所获得的利润8大于不做广告获得的利润2,故在8下面划一横线。
如果A厂商不做广告，则B厂商的最优选择也是做广告，因为做广告获得的利润为12,而不做广告的利润为6,故在12下面划一横线。
如果B厂商做广告，则A厂商的最优选择是做广告，因为做广告获得的利润20大于不做广告所获得的利润10，故在20下面划一横线。
如果B厂商不做广告,A厂商的最优选择是不做广告，因为不做广告获得的利润30大于做广告所获得的利润25,故在30下面划一横线。
在本题中不存在混合策略的纳什均衡解，因此，最终的纯策略纳什均衡就是
A、B两厂商都做广告。
15、求出下面博弈的纳什均衡
（含纯策略和混合策略）。
乙
L
R
甲
U
5,0
0,8
2,61
4,5
由划线法易知，该矩阵博弈没有纯策略Nash均衡
可得如下不等式组
Q=a+d-b-c=7,q=d-b=4,R=0+5-8-6=-9,r=-1
可得混合策略Nash均衡（（右訴7和
16、某产品市场上有两个厂商，各自都可以选择高质量，还是低质量。
相应的利润由如下得益矩阵给出：
（1）该博弈是否存在纳什均衡？
如果存在的话，哪些结果是纳什均衡？
参考答案：
由划线法可知，该矩阵博弈有两个纯策略Nash均衡，即（低质量，高质量），（高质量，低质量）。
乙企业
高质量彳氐质量
甲企
咼质量
50,50
100,800
业
低质
日
900,600
-20,-30
量
，可得^12,y63
97138
该矩阵博弈还有一个混合的纳什均衡
Q=a+d-b-c=-970,q=d-b=-120,R=-1380,r=-630
因此该问题的混合纳什均衡为瞬8!
）眉爲）
17、甲、乙两企业分属两个国家，在开发某种新产品方面有如下收益矩阵表示的博弈关系。
试求出该博弈的纳什均衡。
如果乙企业所在国政府想保护本国企业利益，可以米取什么措施？
开发不开发
开发
-10,-10
100,0
不开
0,100
发
解：
用划线法找出问题的纯策略纳什均衡点。
7-10-10100,01
!
0,1000,0」
所以可知该问题有两个纯策略纳什均衡点（开发,不开发）和（不开发,开发）。
该博弈还有一个混合的纳什均衡（（10,1）,（10,1））O
11111111
如果乙企业所在国政府对企业开发新产品补贴a个单位，则收益矩阵变为：
「00总0；
310^1,要使（不开发,开发）成为该博弈的唯一纳什均衡点,只需
a>
10o此时乙企业的收益为100+a。
18、博弈的收益矩阵如下表:
左
右
上
a，b
c，d
下
e，f
g，h
（1）如果（上，左）是占优策略均衡，则a、b、c、d、e、f、g、h之间必
然满足哪些关系？
（尽量把所有必要的关系式都写出来）
（2）如果（上，左）是纳什均衡，则
（1）中的关系式哪些必须满足？
（3）如果（上，左）是占优策略均衡，那么它是否必定是纳什均衡？
为什
么？
（4）在什么情况下，纯战略纳什均衡不存在?
（1）ae,cg,bd,fh。
本题另外一个思考角度是从占优策略均衡的定义出发。
对乙而言，占优策略为（b,f）.（d,h）;
而对甲而言，占优策略为（a,c）.（e,g）。
综合起来可得到所需结论。
（2）纳什均衡只需满足：
甲选上的策略时，bd，同时乙选左的策略时，ae<
故本题中纳什均衡的条件为：
bd，ae。
（3）占优策略均衡一定是纳什均衡，因为占优策略均衡的条件包含了纳什均衡的条件。
（4）当对每一方来说，任意一种策略组合都不满足纳什均衡时，纯战略纳什均衡就不存在。
19、Smith和John玩数字匹配游戏，每个人选择1、2、3，如果数字相同，John给Smith3美元，如果不同，Smith给John1美元。
（1）列出收益矩阵。
（2）如果参与者以1/3的概率选择每一个数字，证明该混合策略存在一个纳什均衡，它为多少？
（1）此博弈的收益矩阵如下表。
该博弈是零和博弈，无纳什均衡。
John
2
3
Smith
3,-3
-1,1
（2）Smith选（1/3，1/3，1/3）的混合概率时,
John选1的效用为：
山」（-3），1111=-1
3333
John选2的效用为：
U2=丄1-（-3）」1=-1
John选3的效用为：
U3」111-（-3）=-]
类似地，John选（1/3，1/3，1/3）的混合概率时,
Smith选1的效用为：
u1』31（T）丄（T）J
Smith选2的效用为：
U2」（T）」3-（-1）」
Smith选3的效用为：
U3J（T）1（-1）13」
因为U1=U2=U3,U1=U2=U3，所以:
，i）是纳什均衡，策略值分别为John：
U=E；
Smith:
u'
=g。
20、假设双头垄断企业的成本函数分别为：
Ci=20Qi，C2=2Q2，市场需求曲线
为P=400-2Q，其中，Q=QiQ2。
（1）求出古诺（Cournot）均衡情况下的产量、价格和利润，求出各自的反应和等利润曲线，并图示均衡点。
（2）求出斯塔克博格（Stackelberg）均衡情况下的产量、价格和利润，并以图形表示。
（3）说明导致上述两种均衡结果差异的原因。
（1）对于垄断企业1来说：
max[400-2（QiQ2）]Qi-20Qii90-Q2
=■Qi:
这是垄断企业i的反应函数。
其等利润曲线为：
二i=380Qi—2QiQ2-2Qi2
对垄断企业2来说：
max[400—2（QiQ2）]Q2-2Q22=Q2=50-Q1
4
这是垄断企业2的反应函数。
其等利润曲线为:
■：
\2=400Q2-2QiQ2-4Q2
190-50
Qi:
Q2=30
均衡时的价格为:
P=400-2（8030）=180
在达到均衡时，有:
50Qi
50|
I4丿,Qi=80
两垄断企业的利润分别为：
二i=38080-28030-2802=i2800
二2=40030-28030-4302=3600
均衡点可图示为:
（2）当垄断企业1为领导者时，企业2视企业1的产量为既定，其反应函数为：
Q?
二50-Qi/4
则企业1的问题可简化为：
max400-2Qi-50-色Qi-20Qi
—[Qi=280/3—'
Q2=80/3
均衡时价格为：
P=400—2罟罟=i60
利润为：
m=39200/3，兀2=25600/9
该均衡可用下图表示：
企业2领先时可依此类推。
（3）当企业i为领先者时，其获得的利润要比古诺竞争下多。
而企业2获得的利润较少。
这是因为，企业i先行动时，其能考虑企业2的反应，并以此来制定自己的生产计划，而企业2只能被动地接受企业i的既定产量，计划自己的产出，这是一种“先动优势”
21、在一个由三寡头操纵的垄断市场中，逆需求函数为p=a-qi-qaq3,这里qi是
企业i的产量。
每一企业生产的单位成本为常数c。
三企业决定各自产量的顺序如下：
（1）企业1首先选择qi>
0;
⑵企业2和企业3观察到qi，然后同时分别选择q2和q3。
试解出该博弈的子博弈完美纳什均衡。
该博弈分为两个阶段，第一阶段企业1选择产量qi，第二阶段企业2和3观测到q1后，他们之间作一完全信息的静态博弈。
我们按照逆向递归法对博弈进行求解。
（1）假设企业1已选定产量q1，先进行第二阶段的计算。
设企业2,3的利润函数分别为：
二2=（a-q1-q2-q3）q2-cq2
二3=（a_q1-q2—^3）42—'
cq3
由于两企业均要追求利润最大，故对以上两式分别求一阶条件：
a-q1-2q?
-q3_c=0.:
q2
3=a—q1-q2—2q3-c=0
求解
（1）、
（2）组成的方程组有：
**a-q1-c
q2=q33—
（2）现进行第一阶段的博弈分析：
对与企业1,其利润函数为；
二1=（a-'
q1-'
q2~'
q3）q1—cq1
将（3）代入可得:
_q1（a_q1_c）
1=
式（4）对q1求导:
解得:
*1
q1=2（a_©
（2）
（3）
（4）
（5）
此时,
（3）将式
12
“（a—c）
12
（5）代回（3）和（4）有该博弈的子博弈完美纳什均衡:
*1**1
q1m（a—c）,q2=q3%a—c）
25、某寡头垄断市场上有两个厂商，总成本均为自身产量的20倍，市场需求函数为Q=200-P。
求
（1）若两个厂商同时决定产量，产量分别是多少？
（2）若两个厂商达成协议垄断市场，共同安排产量，则各自的利润情况如何？
（1）分别求反应函数，180-2Q1-Q2=0,180-Q1-2Q2=0,Q仁Q2=60
（2）200-2Q=20,Q=9QQ仁Q2=45
26、一个工人给一个老板干活，工资标准是100元。
工人可以选择是否偷懒，老板则选择是否克扣工资。
假设工人不偷懒有相当于50元的负效用，老板想克扣工资则总有借口扣掉60元工资，工人不偷懒老板有150元产出，而工人偷懒时老板只有80元产出，但老板在支付工资之前无法知道实际产出，这些情况双方都知道。
请问：
（1）如果老板完全能够看出工人是否偷懒，博弈属于哪种类型？
用得益矩阵或扩展形表示
该博弈并作简单分析。
（2）如果老板无法看出工人是否偷懒，博弈属于哪种类型？
用得益矩阵或扩展形表示该博
弈并作简单分析。
（1）完全信息动态博弈。
（40*驰｝
（100.-20JC-10p110）
博弈结果应该是工人偷懒，老板克扣。
（2）完全信息静态博弈，结果仍然是工人偷懒，老板克扣
老板
克扣不克扣
工人
愉懒
不耐
—20,-30
900,600
50>
50
28、给定两家酿酒企业AB的收益矩阵如下表:
白酒
啤酒
700，600
900，1000
800，900
600，800
表中每组数字前面一个表示B企业的收益，后一个数字表示B企业的收益。
（1）求出该博弈问题的均衡解，是占优策略均衡还是纳什均衡？
（2）存在帕累托改进吗？
如果存在，在什么条件下可以实现？
福利增量是多少？
（3）如何改变上述A、B企业的收益才能使均衡成为纳什均衡或占优策略均衡？
如何改变上述A、B企业的收益才能使该博弈不存在均衡？
（1）有两个纳什均衡，即（啤酒，白酒）、（白酒，啤酒），都是纳什均衡而不是占优策略均衡。
（2）显然，（白酒，啤酒）是最佳均衡，此时双方均获得其最大收益。
若均衡解为（啤酒，白酒），则存在帕累托改善的可能。
方法是双方沟通，共同做出
理性选择，也可由一方向另一方支付报酬。
福利由800+900变为900+1000,增
量为200。
（3）如将（啤酒，白酒）支付改为（1000,1100），则（啤酒，白酒）就成为占优策略均衡。
比如将（啤酒，白酒）支付改为（800，500），将（白酒，啤酒）支付改为（900,500），则该博弈就不存在任何占优策略均衡或纳什均衡。
30、在纳税检查的博弈中，假设A为应纳税款，C为检查成本，F是偷税罚款,且C<
A+FS为税务机关检查的概率，E为纳税人逃税的概率；
不存在纯战略纳什均衡。
（1）写出支付矩阵。
（2）分析混合策略纳什均衡。
（1）该博弈的支付矩阵如下表：
纳税人
逃税
不逃税
税收机关
检杳
A-C+F,-A-F
A-C,-A
不检杳
0,0
A,-A
（2）先分析税收检查边际：
因为S为税务机关检查的概率，E为纳税人逃税的概率。
给定E,税收机关选择检查与否的期望收益为：
K（1,E）=（A-C-F）E（A-C）（1-E）二EFA-C
K（0,E）=0EA（1-E）A（1-E）
解K（1,E）=K（0,E），得：
E二C/（A-F）。
如果纳税人逃税概率小于E,税收机关的最优决策是不检查，否则是检查。
再分析逃税边际：
给定S,纳税人选择逃税与否的期望收益是：
K（S,1）=（-A-F）S0（1-S）--（AF）S
K（S,0）--AS•（-A）（1-S）--A
解K（S,1）=K（S,0），得：
S=A/（A，F）。
即如果税收机关检查的概率小于S,纳
税人的最优选择是逃税，否则是交税。
因此，混合纳什均衡是（S,E）,即税收机关以S的概率查税，而纳税人以E的概率逃税。
34、假设古诺的双寡头模型中双寡头面临如下一条线性需求曲线：
P=30-Q
TRi二PQ［二（30一，Q）Q［二30Q—•Q1Q2
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