高数二重积分习题解答文档格式.docx
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0,故小>
看"
，所以IBE
6.利用二重积分性质，估计下列二重积分的值
I=jjsin（x2+y2）dcr,D=^（x,y）|<
x2+y2卜
⑴际而db,D={（x,y）||x|+|yM
⑷I=JJex'
"
y'
dcr,D=1（x,y）|x2+y2<
}
（1）由于口={（*丫）|04乂《4,04丫08}的面积为32,在其中」_-——
11116111（4+x+y）1114
而等号不恒成立，故高<
1（捻
（2）由于D={（x,y）《（X?
+寸V智的面积为#,在其中孝（sind+y?
）K1,而等号不
入一卡小壶T兀-
怛成U,故^—<
1<
一；
42
（3）由于D={（x,y）||x|+|y区1}的面积为2,在其中」一《-<
—,而等号
102100+cos'
x+cos-y100
不恒成立，故上<
-!
-：
5150
注：
原题有误？
还是原参考答案有误？
如将D={（x,y）||x|+|y|«
l}改为
D={（x,y）|>
|至]，则区域面积为200,结论为吧<
2
51
（4）由于D={（x,y）|x2+y24：
}的面积为，在其中1WsiiKx?
+y2）<
ez,而等号不恒成立,
1
.,JrTzre4
故一<
——.44
二级
Uni二ff
ioirr
先用积分中值定理，再利用函数的连续性，即得
lim±
fff（x,y）db=lim工f（J,〃）b=limf&
〃）=f（0,0）.
第九章第一节难度：
8.设gx,y）在有界闭区域D上非负连续，证明：
（1）若4X,y）不恒为零，则JJf（x,y）d（7>
0；
（2）若JJf（x,y）dcr=O,则f（x,y）三0D
（1）若Rx,y）不恒为零，则存在（5,%）£
D,f（%,%）>
0,利用连续函数的保号性，
存在（4,%）的一个邻域D]uD,在其上恒有f（x,y）>
0,于是JJf（x,y）b>
而
f（x,y）d*>
所以jjf（x,y）dcr=jjf（x,y）dcr+jjf（x,y）dcr>
DfDnDf
（2）假若gx,y）不恒为零，则由上题知Jjf（x,y）dcr>
0,矛盾，故f（x,y）=0.
9.计算下列二重积分:
（1）jjxsinydcr,D=1（x,y）|l<
2,0<
^!
；
（2）jj（xy2+ex+2y）dcr.D={（x,y）|-l<
1）;
（3）
JJxye^dcr,D={（x,y）|0<
1}:
（5）JJxdcr,D={（x,y）|x24-y2>
2^2+/<
2x）D
（1）jjxsinydcr=jdxj02xsinydy=jxdx=—；
D1°
（2）JJ（4+e*2y）dcr=LdxJo（到2D
jjxye^do-=J；
dxj；
xye*'
）dy=（弓仁、-l）dx=：
_1
D2~
£
）-1/
Jjx2ysi^xy2）db="
x2ysii^xy2）dy=£
2—（x-xcos4x）dx=一；
d216
⑸a=£
dyfxdx=f1TTFdy=1.
第九章第二节
10.画出下列各题中给出的区域D,并将二重积分“f（x,y）db化为两种次序不同的二次积分:
（1）D由曲线y=lnx,直线x=2及x轴所围成；
（2）D由抛物线尸X2与直线2x+y=3所围成；
（3）D由y=Q及卢sinx（0WxWJi）所围成：
（4）D由曲线y=x3,产x所围成：
（5）D由直线y=0,y=l,y=x,广x-2所围成
本题图略，建议画出
（1）J；
dxj：
f（x,y）dy=dyj；
f（x,y）dx:
（2）J：
收£
'
t（工y"
y=Jody《t（%丫）而+J：
dyf3'
⑴y）dx；
M
anx广］“一arcsiny
f（x,y）dy=jodyLyf（x,y）dx;
（4）
如将“D由曲线卢x3,卢x所围成”改为“D由曲线
y=x3,y=l,x=-l所围成”，则答案为原参考答案
J：
很J；
f（心丫曲=J：
dy（f（x,y）dx；
⑸JoMof（*y）dy+J；
f（%y）dy+J：
f（%y）dy=J；
dyj：
f（x,y）dx
第九章第二节难度：
11.计算下列二重积分：
（1）JJtdcr,D由曲线^2,y=x,xy=l所围成；
dy
（2）JJxcos（x+y）dxdy.D由点（0，0）,（兀，0）,（ti,兀）为顶点的三角形区域:
（3）JJxJQdb，D由抛物线y=返和y=W围成：
（4）JJxydxdy,D由抛物线『=x与直线产x-2所围成；
\
（5）sin—dcr,D由直线产x,产2和曲线x=『所用成d\y7
（1）,3db=J；
dxJ；
=dy=j：
（x3_x）dx=:
jjxcos（x+y）dxdy=£
xcos（x+y）dy=£
（xsiii2x-xsinx）dx=-—；
D2gx£
db=J；
x&
dy=虑（x工一x4）dx=*
jjxydxdy=j；
dyxydx=j；
—y（y2+4y+4-y4）dx=—；
D-F_28
jjsin（—）dcr=j'
dy/sin（—）dx=j（ycos1-ycosy^dy=30°
乳+疝1-疝4
dy1yy12
12.画出下列各题中的积分区域，并交换积分次序（假定&
x,y）在积分区域上连续）:
（1）f（“y）dx；
（2）£
dyj«
f（x,y）dx；
13.计算下列二次积分:
⑴JbyjTTTdx；
Q）fM「dy；
nx.
/八「彳」sinx
⑶kdyJ;
-4X5
W
:
cosxVl+cos2xdx；
Mcsiny
（6）fdx'
si嗤dy+J：
dx（sin1^dy
（1）设DdxZ+VVR'
xNO.yNO,则
（3）由于积分区域关于x对称，被积函数是关于y的奇函数，故“（1+x+x2）arcsin?
dcr=0:
DR
（4）设D］：
x+y«
l,xNO,yNO,则
Jj（|x|+1y|）dxdy=2JJ|xdxdy=8jjxdxdy=8,dxfXxdy=—.ddn3
15.利用极坐标化二重积分JJf（x,y）db为二次积分，其中积分区域D为:
（1）Dix-^+y2<
ax,（a>
0）：
（2）D:
l<
x2+y2<
4；
（3）D:
l-x：
（4）D:
2（x+y）
（5）D>
xVx'
y2W4
。
）df（rcos^,rsin0rdi,：
d8Jf（rcos8,isin6）rdr：
Jo?
卜"
m"
f（rcosaisin9）idr：
J:
d〃Jf（rcos8,rsiii6）idr；
*4
d可,ef（rcos8,rsiiie）1dr+J/d6j；
f（rcos0,rsiii8）rdr55
16.利用极坐标计算下列二重积分：
（1）JJjRZ—xLfdxdy.Dix'
y2VRx：
（2）jj（x24-rJdxd^D:
（x2+y2）2^a2（x2-y2）；
（3）jjaictan—dxdy,D:
x2-i-y2<
4,y>
0,y<
x：
DX
本小题与第9大题第（5）小题相同.
（6）JJ（x2+y2）dxdy=Edej：
了drD6-4m
17.设r,6为极坐标，在下列积分中交换积分次序:
r—”cosd
（1）Rd"
f（r,^）dr（a>
0）；
-2
（2）gdej；
由f（r,e）dr（a>
（3）j；
deff（r,e）dr（0<
a<
2兀）：
na
（4）。
呵Ff（r,^）dr（a>
r
aqfafarccos-
（1）[±
f\f（r,O）d。
JOJ-areeos—
71.1
far-arcsin—r-
（2）J°
dWEf（r,e）d。
.
~'
U'
_arcsm—'
2a-
（3）J；
dr[f（r,8）d8；
⑷J>
gf（，⑼d6+J/町L/（『⑼d6.
T
18.计算下列二次积分:
）
严产'
dy；
『-dyjQ7aictan—dx：
⑶
J。
可尸后于dy；
』；
回¥
*+/产
⑴]汨74。
丫=]7网/疝=]7?
必若2
dxJ。
*xJx?
+fdy==1|cos3060=3：
（4）J；
dxJ：
E（x2+y2）-32dy=£
2d®
117dr=£
2（sin^+cos^-l）d^=2-y0°
un*co$6°
19.计算下列二重积分：
（1）JJewBAjxdy.D:
{（x,y）10<
l}；
（2）jj|x2+y2-4|dxdy,D:
{（x,y）|x2+y2^9}；
（3）jj|cos（x+y）Idxdy,D:
^,0<
^}；
d22
（4）jjy-x2|dxdy,D:
{（x,y）|-1<
1,0<
2}.D
（1）jjdxj^exdy+dy£
erdx=e-1；
|||x2+y2-41dxdy=J；
ddj；
（4-r2）rdr+『d^（r2-4）rdr=—^；
D°
°
JJ|cos（x+y）|dxdy=£
2dx£
2cos（x+y）dy-£
2dxpcos（x+y）dy=乃一2；
DFx
JJJy-x.|dxdy=2J；
dx「收-ydy+2J；
dx£
Jy&
dy=-^+|
D又~3
三级
20.选择适当坐标计算下列各题：
（1）JJ^rdcr,其中D是由双曲线xy=l与直线y=x,x=2围成:
（2）其中D={（x,y）|x2+y2WLxN0,yN0}：
（3）jj（x2+y2）dxdy,其中D是直线产x,y=x+a,1，y=3a（a>
0）围成;
（4）JJxydxdy,其中D={（*y）|yNO,x?
2l,x?
«
2x}.D
（1）Jj3db=「dxJ；
\dy=1（x3_x）dx=¥
dyxy-4
本小题与第u大题第（i）小题重复.
（3）||（x2+y2）dxdy=j^adyjX（x2+y2）dx=14a2；
（4）jjxydxdy=siii^cosOdr=（4cos5^sin--i-sin^cos=总所属章节：
21.用适当的变量变换，计算下列二重积分：
⑴JJsin（9x2+4y2）dxdy,中D是椭圆形闭区域9x?
idy241位于第一象限内的部分；
（2）JJx^Vdxdy,D是由双曲线xy=l,xy=2与直线x=y,x=4y所围成的在第一象限内的闭区D
域；
⑶JJ（3+《）dxdy,D是椭圆形闭区域—y+春■41；
（4）JJex'
ydxdy,D是闭区域冈+国0：
（5）jj（x+y）3cos2（x-y）dxdy,其中D是以（兀，0）,（3k,2兀），（2兀，3兀），（0,兀）为顶点的平行D
四边形；
参考答案：
（1）盘Q-cosl）（提示：
作变换x=；
tcose,y=；
isine）；
（2）1ln2（提示：
作变换xy=u,?
=v）；
3x
（3）-nab（提示：
作变换x=arcos&
y=brsin夕）：
一。
7（提示：
作变换x+y=ii,x-y=v）：
（5）78储（提示：
作变换x+y=u,x-y=v）
（1）作变换x=grcose,y=：
rsine,则|J|=：
r,
jjsin（9x2+4y2）dxdy=£
2dcjsinr2--rdr=—（1-cos1）；
d624
（2）作变换xy=u,）=v,则|J=—,x2v
jjx2y2dxdy=jduJ；
/^~dv=gIn2：
（3）作变换x=arcos“y=brsin，，则|j|=abi,
2,>
jj（鼻4-5）dxdy=J；
de]abr，dr=；
^ab:
（4）作变换x+y=u,x-y=v,则|J|=L
j|ex*ydxdy=eudv=e-e-1；
d-i-i2
（5）作变换x+y=u,x-y=v,则|j|=
jj（x+y）3cos2（x-y）dxdy=J：
du「u3cos2v・；
dv=39乃'
D-T
（原参考答案有误？
）所属章节：
22.利用二重积分求下列平面区域的面积:
（1）D由曲线y=e，,y=e-x&
x=l围成；
（2）D由曲线y=x+l,r=-x-l围成；
（3）D由双纽线（x^+y2）?
=4（"
一双）围成;
（4）D={（rcos^rsin^）|2<
r<
4sin^}；
（5）D={（rcos8、rsinO'
）<
1+cos0}；
（6）D由曲线（x^+y2）?
=2ax?
（a>
0）围成；
（7）D由曲线y=x\尸4x\x=y\\=4寸所用成的第一象限部分
（1）e+eT—2；
（2）-；
（3）4；
（4）—+273；
（5）当+坐;
（6）—a2：
（7）-
636888
解答:
）A=jjdxdy=dy=（ex-e-x）dx=e+e-1-2；
A=g嫡y=1：
dyj；
Jdx=J：
（—y2-y）dx=；
双纽线（x2+y2）2=4（x2-y2）用极坐标表示1=4cos28,
A=jjdxdy=2j7d6j：
m'
rdr=1J（4-8cos2^）d^=—+2>
/3；
DJ6263
A=Jjdxdy=212"
rdr=4a2£
2cos6MO=—a2
Doo°
8
（23）用二重积分求下列各题中的立体0的体积：
⑴0为第一象限中由圆柱面/+3=4与平面x=2y,x=0,z=0所围成：
（注：
象限应为卦限？
（24）Q由平面y=0,z=0,y=x及6x+2y+3z=6围成；
（25）X2={（x,y,z）|x2+y2<
z<
l+71-x2-y2}；
（26）/2={（x,y,z）|x2+y2<
1+z2,-l<
1：
（1）—;
（2）—；
（3）—；
（4）—
3463
（1）'
.=JJJ"
y^dxdy=J；
dy『J"
y?
dx=J：
2yj4-y?
dy=.；
n3
24.设f（x）在［U,1］上连续，D由点（U,U）、（1,。
）、（U,1）为顶点的三角形区域，证明:
Jjf（x+y）dcr=（u）du
将二重积分化为二次积分，再用积分变换u=x+y,然后交换积分顺序
jjf（x+y）db=£
xf（x+y）dy=£
dx/f（u）du=J；
duJ；
f（u）dx=1\if（u）dn.D
25.设f（x）连续，证明：
fjf（x+y）dxdy=J_f（u）j2-u2du
作变量变换x=L（u-v）,y=L（u+v）,则=L222
fff（x+y）dxdy=1
x2+r<
i2
JJf（u）dudv=1
u:
+^J<
72-u!
f（u）dv=f（u）j2-i/du.
26.设f（x）在［a,b］上连续，证明：
（「f（x）dx）<
（b-a）jbf2（x）dx
设区域D={（x,y）|a«
xKb,a«
yKb},则
（J：
f（x）d£
）=J：
f（x）djx（>
^x（f（£
dx=jjf（x）f（y）dx
f（X）：
fG）dxdy=：
JJf2（x）dxdy+-JJf2（y）dxdyd22d2d
=jjf2（x）dxdy=jbdxjbf2（x）dy=（b-a）jbf2（x）dx.
27.设f（x）在［a,b］上连续，f（x）>
0,证明：
jbf（x）dxp^-ydx>
（b-a）2
设区域D={（x,y）|aWxWb,aWyWb},则
ff（x）M粉乂=ff（x）dx£
卷dy=J樵dxdy,
f蜂网：
焉dx=ff（y）dyj：
*dx="
^dxdy，
所以『f（x）dxjb-i-dx=JJj+=3）dxdy>
Jdxdy=（b-a）2.
Ja人f（x）2gf（y）f（y）年
28.在曲线族户《1-$）（00）中试选一条曲线，使这条曲线和它在（T,0）及（1,0）两点处的法线所围成的图形面积最小
曲线在（1,0）处的法线为y=-^x-L,由对称性知所闱图形面积为
2c2c
AJnrc（l-x2）41
A=2j0dxk-dy=,c+元,
2c2c,
令S=o,得唯一驻点。
=亚（负值舍去）de4
乂由于该实际问题的最小值存在，故当c=逅时，所围图形面积最小，为三布.43
29.设f（x）是连续函数，区域D由卢X、y=l,x=-l围成，计算二重积分JJx[l+yf（x24-y2）]dxdy
将D分成两块，记为
口={（羽丫）卜近4乂4方,04丫41},口2={（、丫）忖《丫4一乂3,-14乂40},则由函数的奇偶性与积分区域的对称性得
jjx[l+yf（x2+Jyjdxdy=jjx[l+yf（x2+y2）]dxdy+x[l+yf（x2+y2）]dxdy
D.
=JJxdxdy=2jdxJoxdy=
30.设耳x）、g（x）在[0,1]上连续且都是单调减少的，试证:
J；
f（x）g（x）dx>
j^f（x）dxj；
g（x）dx
®
D={（x,y）|O<
l,O<
l},WJ
I=J；
f（x）g（x）dx-£
f（x）dx^g（x）dx=jjf（x）g（x）dxdy-jjf（x）g（y）dxdyDD
=JJf（x）[g（x）-g（y）]dxdy.
类似地有I=JJf（y）[g（y）-g（x）]dxdy,两式相加，并利用条件*x）、g（x）在[0,1]上连续且都D
是单调减少的，就有
2I=JJ[f（x>
f（y）]i*）g攵虺，D
所以I20,即J；
f（x）dx£
g（x）dx.
31.设Rx）在[0,1]上连续，并设J；
f（x）dx=A,求（dxjf（x）f（y）dy解答：
设口={（%丫）|0«
乂41,0«
丫41},则
也£
f（x）f（y）dy=（dyj；
f（x）f（y）dx=J：
f（x）f（y）dy
=fl：
fl：
9用父「”（0x（1
f（x）f（y）dxdy=£
f（y）dy=A2.
2D
32.至少利用三种不同的积分次序计算三重积分Jjj（x2+yz）dv,其中0=[0,2]x[-3,0]x[-l,n
1]
|Jj（x2+yz）dv=Jodxj3dyj：
（x2+yz）dz=£
dxj32x%y=£
6x2dx=16,
类似Jff（X?
+yz）dv=f3dyj；
（x2+yz）dz=16,n
fjf（X2+yz）dv=J：
dzj：
dy]。
2（x?
+yz）dx=16.n
第九章第三节难度：
33.将三重积分口（f（x,y,z）dv化为累次积分（三次积分），其中积分区域。
分别是:
（1）Cx1V+z24R\zN0；
（2）Q由x2+y2=4,z=0,z=x+y4-10所围成;
（3）+y+Z2<
2,z>
x:
+y2（4）0：
由双曲抛物面z=xy及平面x+y-l=O,z=0所围成的闭区域解答:
⑴£
收1寓dy/kf（&
y,z）&
Q）f（x,y,z）dz；
⑶f户f（x,y,z）dz:
0）J；
dx『dyJ：
f（x,y,z）dz
34.计算下列三重积分：
⑴JJJydi,其中0是在平面z=x+2y下放，xOy平面上由尸X?
、尸0及x=l围成的平面区域上方的立体；
（2）JJjyTv,其中0是在平面x+>
z=l与三个坐标面围成；
n
（3）jjjxsiii（y+z）dxdydz,其中n
/2={（x,y,z）|O<
7y,0<
^-y}
（4）JJJzdv,其中Q是第一象限中由曲面y2+z2=9与平面x=0、尸3x和z=0所围成的空间立体:
（5）[[[————Tdxdydz,其中C={（x,y,z）|xNO,zNO,x?
+y2+z?
01}：
号l+x-+y*+z-
（6）JJJxdxdydz,其中0是由抛物面x=4y2+4z2与平面x=4围成n
参考答案:
（1）—:
（2）--1;
（3）--1；
（4）—；
（5）0：
（6）—7T
2824283
⑴—;
28
（3）H：
（4）O
⑸0：
（6）y7t
0相交时，截得的都是正三角形，物体的体
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