数轴标根法及习题文档格式.docx
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一定要保证x前的系数为正数)
例如:
将x^3-2x^2-x+2>
0化为(x-2)(x-1)(x+1)>
第二步:
将不等号换成等号解出所有根。
(x-2)(x-1)(x+1)=0的根为:
x1=2,x2=1,x3=-1
第三步:
在数轴上从左到右依次标出各根。
-112
第四步:
画穿根线:
以数轴为标准,从“最右根”的右上方穿过根,往左下画线,然后又穿过“次右根”上去,一上一下依次穿过各根。
第五步:
观察不等号,如果不等号为“>
”,则取数轴上方,穿根线以内的范围;
如果不等号为“<
”则取数轴下方,穿根线以内的范围。
x的次数若为偶数则不穿过,即奇过偶不过。
若求(x-2)(x-1)(x+1)>
0的根。
在数轴上标根得:
由右上方开始穿根。
因为不等号为“>
”则取数轴上方,穿跟线以内的范围。
即:
-1<
x<
1或x>
2。
(如下图所示)
三、奇过偶不过
就是当不等式中含有单独的x偶数幂项时,如(x^2)或(x^4)时,穿根线是不穿过0点的。
但是对于X奇数幂项,就要穿过0点了。
还有一种情况就是例如:
(X-1)^2.当不等式里出现这种部分时,线是不穿过1点的。
但是对于如(X-1)^3的式子,穿根线要过1点。
也是奇过偶不过。
可以简单记为“奇穿过,偶弹回”,一称“奇穿偶切”。
(如图三,为(X-1)^2)
四、注意事项
运用序轴标根法解不等式时,常犯以下的错误:
1.出现形如(a-x)的一次因式时,匆忙地“穿针引线”。
例1
解不等式x(3-x)(x+1)(x-2)>
0。
解x(3-x)(x+1)(x-2)>
0,将各根-1、0、2、3依次标在数轴上,由图1可得原不等式的解集为{x|x<
-1或0<
2或x>
3}。
事实上,只有将因式(a-x)变为(x-a)的形式后才能用序轴标根法,正确的解法是:
解原不等式变形为x(x-3)(x+1)(x-2)<
0,将各根-1、0、2、3依次标在数轴上,由图1,原不等式的解集为{x|-1<
0或2<
2.出现重根时,机械地“穿针引线”
例2
解不等式(x+1)(x-1)^2(x-4)^3<
解将三个根-1、1、4标在数轴上,由图2得,
原不等式的解集为{x|x<
-1或1<
4}。
(如图二)
这种解法也是错误的,错在不加分析地、机械地“穿针引线”。
出现几个相同的根时,所画的浪线遇到“偶次”点(即偶数个相同根所对应的点)不能过数轴,仍在数轴的同侧折回,只有遇到“奇次”点(即奇数个相同根所对应的点)才能穿过数轴,正确的解法如下:
解将三个根-1、1、4标在数轴上,如图3画出浪线图来穿过各根对应点,遇到x=1的点时浪线不穿过数轴,仍在数轴的同侧折回;
遇到x=4的点才穿过数轴,于是,可得到不等式的解集
{x|-1<
4且x≠1}(如图三)
3.出现不能再分解的二次因式时,简单地放弃“穿针引线”
例3
解不等式x(x+1)(x-2)(x^3-1)>
解原不等式变形为x(x+1)(x-2)(x-1)(x^2+x+1)>
0,有些同学同解变形到这里时认为不能用序轴标根法了,因为序轴标根法指明要分解成一次因式的积,事实上,根据这个二次因式的符号将其消去再运用序轴标根法即可。
解原不等式等价于
x(x+1)(x-2)(x-1)(x^2+x+1)>
0,
∵x^2+x+1>
0对一切x恒成立,
∴x(x-1)(x+1)(x-2)>
0,由图4可得原不等式的解集为{x|x<
2}
数轴标根法-练习题
1.不等式x2﹣6x+8≤0的解集为 _________ .
2.
的解集为________________
3.
的解集为_________________
4.
的解集为__________________
5.
的解集为___________________
6.
的解集为______________
7.
8.
9.
10.
11.
的解集为_______________
12.
13.
14.(2013•广东)不等式x2+x﹣2<0的解集为 _________ .
15.(2012•湖南)不等式x2﹣5x+6≤0的解集为 _________ .
16.(2008•北京)不等式
的解集是 _________ .
17.(2011•巢湖模拟)不等式
的解集为 _________ .
18.(2008•杨浦区二模)不等式
的解为 _________ .
19.(2008•卢湾区二模)不等式
20.不等式﹣x2+5x﹣6>0的解集为 _________ .
21.不等式2x2﹣3x﹣2<0的解集为 _________ .
22.不等式﹣x2﹣4x+5>0的解集是 _________ .
10.函数
的定义域是 _________ .
11.不等式
12.不等式
13.已知函数f(x)=
的定义域是一切实数,则m的取值范围是 _________ .
14.不等式
15.若不等式
的解集为{x|﹣3<x<﹣1或x>2},则a= _________ .
16.解不等式2x2﹣5x<3.
17.已知集合A={x|﹣x2+x+6>0},B={x|x2+2x﹣8>0},求A∩B.
18.解不等式:
.
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