北京课改版四年级上册数学全册知识小结Word下载.docx
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七亿七百四十五万五十五
正解:
七亿零七百四十五万零五十五
写亿以上数时,除了亿级外,万级和个级都要保证有四位数。
巧记
大数比较数数位,
数位相同看首位;
首位相同比下位,
比出大小巧解答。
“≈”是约等号,读作“约等于”。
只有整亿的数改写成以“亿”为单位的数时,才可以用“=”连接,而非整亿的数改写后是一个近似数,要用“≈”连接。
二 乘 法
一、三位数乘两位数的计算法则
1.三位数乘两位数（进位,因数中间和末尾没有0）
（1）较大的数写在上面,相同数位对齐。
（2）用两位数的个位与另一个因数的每一位依次相乘,所得积的末位与个位对齐。
（3）用两位数的十位与另一个因数的每一位依次相乘,所得积的末位与十位对齐。
（4）将两次乘得的积加起来。
2.三位数乘两位数（一个因数中间有0）
下面的两位数的个位或十位与0相乘后,加上进位数,写在相应位置,如果没有进位,就在这一位上写0。
3.三位数乘两位数（因数的末尾有0）
先将0前面的数相乘,再看两个因数末尾一共有几个0,就在积的末尾添上几个0。
二、三位数乘两位数（估算）
在进行三位数乘两位数的估算时,可以根据“四舍五入”法把三位数看成整百或整十数,两位数看成整十数来进行估算。
三、积的变化规律
在乘法算式中,一个因数不变,另一个因数乘（或除以）几（0除外）,积也乘（或除以）相同的数。
如:
18×
2=36 45×
3=135
180×
2=36045×
30=1350
20=3600450×
30=13500
三位数乘两位数,
竖式计算别马虎,
大数在上位对齐,
下面的数最辛苦,
个位乘完十位乘,
对准各自积尾数,
所得的积加一起,
就是最后的得数。
哪一位去乘上面的数,积的末位就和那一位对齐。
因数末尾有0,只需先乘0前面的数,再把0添上。
把三位数看成整百数时,要看十位上的数字是该“四舍”还是该“五入”。
乘法算式中,一个因数乘几（0除外）,另一个因数除以几（0除外）,积不变。
三 运算定律
一、加法运算定律
1.加法交换律
两个数相加,交换加数的位置,和不变,这叫做加法交换律。
用字母表示:
a+b=b+a
2.加法结合律
三个数相加,先把前两个数相加再加第三个数,或者先把后两个数相加再加第一个数,和不变,这叫做加法结合律。
（a+b）+c=a+（b+c）
3.加法算式中的简便计算
利用“加法交换律”和“加法结合律”可以使计算更简便。
简便计算的基本原则是“凑整”。
如下所示:
582+115+118+385
=582+118+115+385 ……（加法交换律）
=（582+118）+（115+385）……（加法结合律）
=700+500
=1200
二、乘法运算定律
1.乘法交换律
两个数相乘,交换因数的位置,积不变,这叫做乘法交换律。
a×
b=b×
a
2.乘法结合律
三个数相乘,先把前两个数相乘,再与第三个数相乘,或者先把后两个数相乘,再与第一个数相乘,积不变。
这叫做乘法结合律。
（a×
b）×
c=a×
（b×
c）
3.乘法分配律
两个数的和与一个数相乘,可以先用这两个加数分别与这个数相乘,再把两个积相加,结果不变。
这叫做乘法分配律。
（a+b）×
c+b×
c
4.乘法算式中的简便计算
（1） 25×
13×
4
=25×
4×
13
=100×
=1300 …………（乘法交换律和结合律）
（2） 102×
39
=（100+2）×
39+2×
=3900+78
=3978 …………（乘法分配律）
（3）35×
89+65×
89
=（35+65）×
=8900 …………（乘法分配律）
加法乘法运算律,
用的巧妙可简便,
交换加数、因数位,
所得结果不会变,
一个数乘两数和,
看看能否用简便,
如果可以凑成整,
分乘再加和不变。
一个数连续减去两个数,可以用这个数减去两个数的和。
不管运用什么定律,凑整数是简便计算最基本的原则。
要根据每一题的实际情况,判断应该用什么方法更简便。
四 线 与 角
一、线段、射线和直线
1.线段
线段有两个端点,可以量出长度。
2.射线
射线只有一个端点,可以向一端无限延长。
也可以将射线看作是把线段的一端无限延长,得到一条射线。
射线不能测量长度。
射线:
3.直线
直线没有端点,可以向两端无限延长。
也可以将直线看作是将线段的两端无限延长,得到一条直线。
直线不能测量长度。
直线:
4.两点之间线段最短。
如下图:
通过观察,第③条路线最短,也就是两点之间线段最短。
二、角
从一点引出的两条射线所组成的图形叫做角。
角通常用符号“∠”来表示。
1.角的度量
（1）角的计量单位是“度”,用符号“°
”表示,把半圆分成180等份,每一份所对的角的大小是1度,记作1°
量角的工具是量角器。
（2）量角的步骤
①将角的顶点与量角器的中心点重合。
②让量角器的0刻度线与角的一条边重合。
③角的另一条边所对的量角器上的刻度就是角的度数。
2.角的分类
锐角是小于90°
的角;
直角是等于90°
钝角是大于90°
且小于180°
平角是等于180°
的角,平角的两条边在同一条直线上;
周角是等于360°
的角,周角的两条边互相重合,在同一条直线上。
1平角=2直角 1周角=2平角=4直角
3.画角
画角的步骤（以画一个65°
的角为例）:
（1）画一条射线。
（2）使量角器的中心点和射线的端点重合,0刻度线和射线重合。
（3）在量角器65°
刻度线的地方点一个点。
（4）以画的射线的端点为端点,通过刚画的点,再画一条射线。
射线一路跑到黑,
直线两端无头尾,
线段两端被固定,
要量长度不用愁。
是直的,没有端点。
有些曲线,虽然也没有端点,但不属于直线。
角的大小与角两边的长短无关。
角的顶点确定角的位置,角的两边叉开的大小确定角的大小。
角的分类看大小,
锐角直角和钝角,
还有平角和周角,
从小到大错不了。
一副三角尺有两个,其中一个三角尺是等腰直角三角形,分别是45°
、45°
、90°
的角,另一个三角尺分别是30°
、60°
的角,利用一副三角尺,可以画出很多特殊的角,比如:
15°
、105°
、135°
、150°
等。
用量角器量角时,一定要明确是读内刻度线,还是读外刻度线。
五 方向与位置
一、描述物体的方向
1.确定一个点的位置,除了知道方向,还要知道距离。
方向和距离是确定位置的两要素。
2.根据方向和距离确定物体位置
首先要确定方向;
再确定距离,在位置图中,可以用单位长度的线段表示较长的实际距离,根据实际距离确定图中线段的长度;
最后画出物体具体位置,标明名称。
如上图:
以学校为观测点,要确定小芳家、小红家、小刚家、小亮家的位置,就要分别确定它们的方向和距离,小芳家在学校的西北方向,距离是4个格,每格代表200米,即800米;
小红家在学校的西南方向,距离是1000米;
小刚家在学校的东北方向,距离是1000米;
小亮家在学校的东南方向,距离是800
二、描述路线图
描述路线图时,三个要素不能少,一是观测点,观测点是不同的;
二是方向要找准;
三是注意单位距离表示的实际距离。
按照先后顺序依次描述出行时走的方向和距离。
如上图中,要描述每个赛段所走的方向和路程,首先从起点出发,向1号点行进,1号点在起点的东北方向,要走5个单位长度,也就是250米;
然后从1号点向西北行进250米到达2号点;
再以2号点为观测点向西南行进200米到达终点。
三、用数对确定物体的位置
用数对确定物体的位置,主要是确定物体所在的“列数、行数”,确定了物体所在的列和行,就可以写出数对。
也可以根据数对表示出来的列数和行数,确定物体的位置。
A同学在教室中的位置是第3列、第5行,他的位置用数对表示为（3,5）;
B同学的位置用数对表示为（2,4）,那么他在教室中的位置是第2列、第4行。
四、魔术纸圈
莫比乌斯圈
德国有一位数学家叫莫比乌斯,在1858年发现了这样一个奇妙的纸圈。
所以人们就把这样的纸圈叫莫比乌斯圈。
莫比乌斯圈只有一个面,一只小虫可以爬遍整个曲面而不必跨过它的边缘。
沿着莫比乌斯圈的中心线剪开,不会像普通纸圈一样得到两个纸圈,而是得到一个更大的纸圈。
位置具有相对性,找准观测点很关键,在观测点处用虚线画出方向标,可以帮助确定方向。
在表述两个方向中间的方向时,通常把东、西放在前面,把南、北放在后面。
易错点:
观测点不是一成不变的,要随着行程的变化而变化。
描述行走路线时,要先描述起点,再描述方向,最后描述距离。
易错点:
虽然人们常习惯说“行、列”,但数对的格式是（列数,行数）。
莫比乌斯圈在实际生活中的应用非常广泛。
六 除 法
一、三位数除以两位数的计算
1.两、三位数除以整十数
可以先将被除数和除数都看作是几个十,然后按照除数是一位数的方法去口算。
比如:
150÷
30
想:
150是15个十,30是3个十,因为15÷
3=5,所以150÷
30=5。
2.除数不是整十数的笔算除法
把除数看作与它接近的整十数来试商,试得的商和除数相乘,如果余数比除数小,说明试得的商是合适的。
72÷
12
把12看作10,72看作70,试商7,然后用7×
12=84,发现商大了,调小一些,商6,6×
12=72,商正好,可得72÷
12=6。
3.三位数除以两位数
（1）从被除数的最高位除起。
（2）先用除数去试除被除数的前两位,如果比除数小,再试除前三位。
（3）除到哪一位,就在那一位上面写商。
（4）每次除得的余数都要比除数小。
4.试商法:
四舍法:
当除数的个位上是1、2、3、4时舍去,看作整十数去估计大概商几,此法试得初商通常大些,如不合适应调小。
五入法:
当除数的个位上是5、6、7、8、9时进一,看作整十数去估计大概商几,此法试得初商通常小些,如不合适应调大。
二、三位数除以两位数（估算）
在进行三位数除以两位数的估算时,可以根据“四舍五入”法把三位数看成整百或整十数,两位数看成整十数来进行估算。
812÷
91
把812看作810,91看作90,810÷
90=9,那么812÷
91≈9,但是有时候为了让商是整数,被除数不满5也要进一。
713÷
79,如果把79看作80,那么就要把713看作720,因为72是8的倍数,因为71不是8的倍数,所以即使713个位上的数字不满5,也要向十位进一。
同样的道理,为了方便计算,有些算式的被除数的个位满5也要舍去,比如:
216÷
29,估算时要把216看作210,把29看作30,216个位上的数字虽然大于5,也要舍去,因为21是3的倍数。
三、商不变的性质
除法算式中,被除数和除数同时乘或除以同一个不为0数,商不变,余数也跟着乘或除以同一个不为0的数。
59÷
8=7……3
590÷
80=7……30
5900÷
800=7……300
四、单价、数量和总价的关系
单价×
数量=总价 总价÷
单价=数量 总价÷
数量=单价
五、速度、时间和路程之间的关系
速度×
时间=路程 路程÷
速度=时间 路程÷
时间=速度
除法要从高位起,
除到哪里商哪里,
余数不能大除数,
这个道理别忘记。
用“四舍”法估计除数来试商,得到的商容易偏大;
用“五入”法估计除数来试商,得到的商容易偏小。
把三位数看成整百数时,要看十位上的数字是该“四舍”,还是该“五入”。
被除数和除数变化的倍数必须统一,余数也要跟被除数或除数有同样的变化。
如果题目中不止有一种商品,注意单价、数量和总价要相对应。
速度是指单位时间内行走的路程,单位时间可以是时、分、秒等其他时间单位。
七 用计算器探索规律
一、认识计算器
1.计算器是生活中比较普及的计算工具,它通常分为显示器与键盘区两部分。
开机键是ON,关机键是OFF,有时也用一个键开机和关机是ON/OFF,清除键是C或者AC,有时清除键和开机键是ON/C,还有数字键0~9,运算符号键“+、-、×
、÷
”以及“=”等其他功能键。
2.如何运用计算机进行计算。
27+39
（1）开机按ON/C键。
（2）按数字键2、7,显示屏显示27。
（3）按+,显示屏显示27。
（4）按数字键3、9,显示屏显示39。
（5）按=键,显示屏显示计算结果为66。
二、用计算器探索规律
计算过程中,我们可以先用计算器计算,然后通过观察、比较、归纳、类比发现并表达同组算式中的规律。
1×
1=1
11×
11=121
111×
111=12321
1111×
1111=1234321
首先我们可以用计算器计算前三个算式的结果,通过计算和观察规律,乘法算式的两个因数是相同的,由若干个1组成,因数有几个1,乘积就先从1排列到几,然后从几排到1,比如:
1111=1234321,两个因数由4个1组成,积就从1排到4再排到1,即1234321,这样我们就可以推断出下一个算式的乘积为11111×
11111=12345321。
计算器的种类和型号有很多种,不同种类和不同型号的计算器,其构造和作用也不一样,但均有最基本的运算能力。
用计算器计算时,输入运算符号,并不显示运算符号。
要找规律,可以从数字的个数,排列规律等方面去类比,看有什么变化。
八 条形统计图
一、认识条形统计图
1.用一个单位长度（如1厘米）表示一定的数量,根据数量的多少,画成长短相应成比例的直条,并按一定顺序排列起来,这样的统计图,称为条形统计图。
2.条形统计图的特点
能清楚地表示出数量的多少,是统计图资料分析中最常用的图形。
按照排列方式的不同,可分为纵式条形统计图和横式条形统计图。
纵式条形统计图:
“图书角”图书统计图
横式条形统计图:
鸿丰商场2016年6月某周矿泉水销售量统计图
二、制作条形统计图
1.从同一顶点画出两条射线分别作为统计图的纵轴和横轴。
2.确定好纵轴或横轴代表的是什么,一般纵式条形统计图中都会用纵轴来表示变化的数据。
3.确定纵轴上1格代表几个单位。
4.在横轴上正确的位置画出长条,表示数据。
观察条形统计图,可以从图中读出我们需要的信息,要注意1格代表几个单位。
纵式条形统计图和横式条形统计图的原理是一样的,只是在不同情况下更为方便。
如果数据只是在一个范围内,而这个范围的最低值又比较大,统计图中起始格可以用曲线表示0至最低值,从最低值开始有规律地上升。
九 可 能 性
一、确定事件与不确定事件
1.确定事件
确定事件分两种,
一种是确定必然会发生的,描述时一般用到“一定”“必须”等词语。
太阳每天一定从东方升起。
一种是确定必然不会发生的,描述时一般用到“绝不”“不可能”等词语,比如:
地球不可能围绕月球转动。
2.不确定事件
不确定事件是指事件的结果有不同的可能性,描述不确定事件常用到“可能”“不一定”“也许”等词语。
雨后可能出现彩虹,雨后出现彩虹这个事件有可能发生,也有可能不发生。
二、事件发生的可能性大小
通过事件的实际条件,可以判断出某种情况出现的可能性大小。
投骰子,骰子有六个面,每个面上的点数是从1到6。
这六个面出现的可能性相同,机会均等。
确定事件或不确定事件,要根据实际情况来判断。
事件发生的可能性大小和游戏的公平性有关,要想让获胜的机会均等,必须有相等的机会。
十 数学百花园
一、重叠问题
1.当两个计数部分中有重复包含的内容时,我们称之为“重叠问题”。
2.数量关系
实际人（或物）数=第一类人（或物）数+第二类人（或物）数-重叠部分人（或物）数
解答重叠问题时,必须从条件入手认真分析,有时可以根据条件画图来帮助我们思考,找出哪些是重复的,重复了几次,明确求的是哪一部分,从而找出解题的方法。
四
（1）班同学每人至少参加一种课外活动小组,参加美术组的有18人,参加音乐组的有17人,两组都参加的有10人,求四
（1）班一共有多少人?
计算时确定关键的三个量:
第一类人数,就是参加美术组的人有18人;
第二类人数,就是参加音乐组的人有17人;
重叠人数,就是两组都参加的有10人。
根据关系式“实际人（或物）数=第一类人（或物）数+第二类人（或物）数-重叠部分人（或物）数”,列出算式为18+17-10=25（人）。
二、方阵问题
1.学生排队,士兵列队,横着排叫做行,竖着排叫做列。
如果行数与列数都相等,则正好排成一个正方形,这种图形就叫方队,也叫做方阵。
我们在这一部分主要研究最外层人（或物）数与每边人（或物）数的关系以及方阵总人数的问题。
2.数量关系:
每边人（或物）数=[四周总人（或物）数÷
4]+1
四周人（或物）数=[每边人（或物）数-1]×
方阵总人（或物）数=每行人（或物）数×
行数
三、编码
生活中,常用一些数字或字母等有规律的编排在一起,来表达一定的信息,如我们的身份证号、电话号码、商品编码等。
以身份证为例,排列顺序从左至右依次为:
六位数字地址码,八位数字出生日期码,三位数字顺序码和一位数字校验码。
地址码（身份证前六位）表示编码对象第一次申领居民身份证时的常住户口所在县（市、区）的行政区划代码。
出生日期码（身份证第7位到第14位）表示编码对象出生的年、月、日,其中年份用四位数字表示,年、月、日之间不用分隔符。
1981年05月11日就用19810511表示。
顺序码（身份证第15位到17位）是县、区级政府所管辖派出所的分配码,每个派出所分配码为10个连续号码,比如“000-009”或“060-069”,其中单数为男性分配码,双数为女性分配码。
身份证最后一位是校验码。
在解答重叠问题时,要找准关键的数量,尤其是重叠部分的数量,要明确求哪一部分。
如果是求重叠部分,需要用:
第一类人（或物）数+第二类人（或物）数-实际人（或物）数。
如果每个角上都有物体,那么这个物体在计算时可能会被重复计算,所以我们要先用每边人（或物）数减1,再去计算。
编码时,要用固定的某几位数字去表达固定的信息,才能形成有规律的编码。
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