高中立体几何证明垂直的专题训练.doc
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高中立体几何证明垂直的专题训练
立体几何中证明线面垂直或面面垂直都可转化为线线垂直，而证明线线垂直一般有以下的一些方法：
（1）通过“平移”。
（2）利用等腰三角形底边上的中线的性质。
（3）利用勾股定理。
（4）利用三角形全等或三角行相似。
（5）利用直径所对的圆周角是直角，等等。
第一类：
通过“平移”,根据若
P
E
D
C
B
A
1．在四棱锥P-ABCD中，△PBC为正三角形，AB⊥平面PBC，AB∥CD，AB=DC，.求证：
AE⊥平面PDC.（分析：
取PC的中点F，易证AE//BF，易证BF⊥平面PDC）
2．如图，四棱锥P－ABCD的底面是正方形，PA⊥底面ABCD，∠PDA=45°，点E为棱AB的中点．
求证：
平面PCE⊥平面PCD；
分析：
取PC的中点G，易证EG//AF，又易证AF⊥平面PDC于是EG⊥平面PCD,则平面PCE⊥平面PCD
（第2题图）
3、如图所示，在四棱锥中，,,,是的中点，是上的点，且,为中边上的高。
（1）证明：
；
（2）若求三棱锥的体积；
（3）证明：
.
分析：
要证，只要把FE平移到DG，也即是取AP的中点G，易证EF//GD,
易证DG⊥平面PAB
4.如图所示,四棱锥PABCD底面是直角梯形底面ABCD,E为PC的中点,PA＝AD。
证明:
;
分析：
取PD的中点F，易证AF//BE,易证AF⊥平面PDC
第二类：
利用等腰三角形底边上的中线的性质
A
C
B
P
5、在三棱锥中，，，，．
求证：
；
6、如图，在三棱锥中，⊿是等边三角形，∠PAC=∠PBC=90º证明：
AB⊥PC
第三类：
利用勾股定理
7、如图，四棱锥的底面是边长为1的正方形，
_
D
_
C
_
B
_
A
_
P
求证:
平面；
8、如图1，在直角梯形中，，，且．
现以为一边向形外作正方形，然后沿边将正方形翻折，使平面与平面垂直，为的中点，如图2．
（1）求证：
∥平面；
（2）求证：
平面；
9、如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，
求证：
平面BCD；
（1）证明：
连结OC
在中，由已知可得
而
即
平面
10、如图，四棱锥中，,，侧面为等边三角形，．证明：
解法一：
（I）取AB中点E，连结DE，则四边形BCDE为
矩形，DE=CB=2，连结SE，则
又SD=1，故，
所以为直角。
由，
得平面SDE，所以。
SD与两条相交直线AB、SE都垂直。
所以平面SAB。
第四类：
利用三角形全等或三角行相似
11．正方体ABCD—A1B1C1D1中O为正方形ABCD的中心，M为BB1的中点，
求证：
D1O⊥平面MAC.
分析：
法一：
取AB的中点E，连A1E,OE,易证△ABM≌A1AE,
于是AM⊥A1E,又∵OE⊥平面ABB1A1∴OE⊥AM,
∴AM⊥平面OEA1D1∴AM⊥D1O
法二：
连OM,易证△D1DO∽OBM,于是D1O⊥OM
12．如图，正三棱柱ABC—A1B1C1的所有棱长都为2，
D为CC 1中点.求证：
AB1⊥平面A1BD；
分析：
取BC的中点E，连AE,B1E,易证△DCB≌△EBB1，从而BD⊥EB1
13、.如图，已知正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，
过点B作B1C的垂线交侧棱CC1于点E，交B1C于点F，
求证：
A1C⊥平面BDE；
第五类：
利用直径所对的圆周角是直角
14、如图，AB是圆O的直径，C是圆周上一点，PA⊥平面ABC.
（1）求证：
平面PAC⊥平面PBC；
（2）若D也是圆周上一点，且与C分居直径AB的两侧，试写出图中所有互相垂直的各对平面.
15、如图，在圆锥中，已知=，⊙O的直径,C是狐AB的中点，为的中点．证明：
平面平面;
16、如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面．以的中点为球心、为直径的球面交于点．
求证：
平面⊥平面；
．
证：
依题设，Ｍ在以ＢＤ为直径的球面上，则ＢＭ⊥ＰＤ.
因为ＰＡ⊥平面ＡＢＣＤ，则ＰＡ⊥ＡＢ，又ＡＢ⊥ＡＤ，
所以ＡＢ⊥平面ＰＡＤ，则ＡＢ⊥ＰＤ，因此有ＰＤ⊥平面ＡＢＭ，所以平面ＡＢＭ⊥平面ＰＣＤ.
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