高中数学运算能力的培养.doc

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理解“运算求解能力”　促进高三数学复习

一、引言

高考制度不改革，不废除高考，数学就总是处在高考的风口浪尖上，高考数学试题几乎离不开运算，早在1998年任子朝先生在《高考数学能力考查与题型设计》一书中就指出：

“运算量的大小以40％的考生在120分钟内能完成全卷的解答为标准”，而近几年江苏卷则连10％的考生都达不到，正确求解填空题与解答题的压轴题，则更是千里挑一、万里挑一，运算能力的培养成为高考成败的决定性因素，因为运算失误导致高考失败，改变一生命运成为部分考生永远的痛，今天我就高考数学复习中的运算求解能力培养抛砖引玉，谈一些认识和体会，敬请各位批评指正，本讲座主要参考任子朝先生主编的《高考数学能力考查与题型设计》一书及川大附中周祝先老师的讲座《对中学数学运算的认识》，同时得到省扬高中陈惠荣、卞国文、陆昌荣等老师的指导帮助，在此一并感谢。

二、当前运算能力培养的现状

1.初中课程改革弱化了运算能力要求。

（十字相乘法等乘法公式、因式分解、代数恒等变形、韦达定理、比例、平面几何……删减）

2.计算器的广泛使用削弱了运算意识和技能。

3.高中数学教学突出了知识模块弱化了运算教学、淡化了运算训练意识，没有补上初中去掉而高考又必考的一些运算内容，江苏省高中数学教学要求和教学参考书也很少提及运算要求，如苏教版教学参考书（必修2）第2章平面解析几何初步提及本章教育目标8，在知识和概念的形成过程中，培养学生的合情推理能力，数学交流能力，探索能力和逻辑思维能力，唯独不强调运算求解能力；而在选修1-1、2-1圆锥曲线一章也同样只字不提运算求解能力，导致部分教师在实际教学中重视知识教学和解题思想、方法，轻视运算过程，自己钻研解题不够，对解题过程中的运算算理、算法不甚了解，无法有效、高效地指导学生。

4.学生不明算理、机械套用运算公式，不顾运算目标，进行盲目的推理演算，运算过程中缺乏选择合理、简捷的运算途径的意识，运算过程繁琐，错误率高，对运算求解能力的内涵缺乏科学认识，误以为是“马虎”、“粗心”造成运算错误，平时复习解题认为“只要方法对，做错了不要紧”。

主要问题有：

①概念模糊不清（新增内容尤甚）学生容易因概念模糊而运算失误。

②公式、性质记忆不准确.不会熟练进行顺向等价变形，逆向回代、。

③数据处理能力差（计算、排序、筛选、分类等）.

④数学语言不过关，导致阅读习惯差，阅读能力差,运算无从下手.

⑤代数恒等变形常规方法不熟练.

⑥识别、驾驭图表的能力差.

⑦算法意识差，算理不清，对运算问题缺乏检验、反思、总结的意识.

⑧审题不仔细、表达能力差、书写不规范。

⑨运算习惯差，急于求成，粗枝大叶，说一套做一套,心里想的和手上写的不一致.

⑩心理素质差，演绎了从“不喜欢”到“害怕”到“恐惧”的运算悲剧.

5.高考对运算能力的考查力度不降反升，尽管有人坚持“多考想、少考算”，但“如何想”，很难有操作性的考查方法，况且江苏卷近几年的运算要求一直很高，因为考查运算求解能力是提高区分度的重要手段，且考查运算比较容易操作。

三、理解运算求解能力

数学能力是一种个性心理，它对数学活动的进程方式起着直接的、稳定的调节作用，数学能力是数学素质在数学活动中的外化，高考考查的数学能力主要包括空间想象、抽象概括、推理论证、运算求解、数据处理等能力，其中运算求解能力的考查要求是：

能够根据法则、公式进行运算及变形；能够根据问题的条件与目标寻找与设计合理简捷的运算途径；能够根据要求对数据进行估计和近似计算。

要正确理解运算求解能力，必须弄清以下几个问题：

1.高中阶段常见运算形式：

⑴数的四则运算（含复数运算）

⑵代数式的运算（法则、运算律）

⑶幂、指、对数运算

⑷三角运算

⑸向量运算

⑹导数运算

⑺极限运算（非高考内容）

⑻方程与不等式运算（强调算法）

⑼概率运算

（10）矩阵运算

（11）抽象运算

2.运算的方法与技能要求：

⑴是否记住数学计算公式、法则，并能准确地运用公式和法则进行运算

⑵能否应用概念、性质、定理进行有关的运算

⑶能否在进行各种运算时，结果准确、速度迅速、过程合理

⑷能否进行各种查表和使用计算器计算（高考不要求）

3.运算的逻辑思维要求：

⑴是否合理使用公式、法则

⑵运算方法和过程是否简捷

⑶能否对自己的运算结果进行检查验算和判断

⑷能否自我改正运算中的各类错误

⑸能否简化运算过程，运用简缩思维进行“跳步”运算（填空题）

⑹能否较熟练地进行心算、速算、估算

⑺是否会进行推理计算

4.运算求解能力的五个要素：

⑴.运算的准确

运算的准确是对运算能力的基本要求，在运算求解过程中使用的概念要准确无误，使用的公式要准确无误，使用的法则要准确无误，运算的结果准确无误。

例1.　2009年江苏高考试题第13题。

如图，在平面直角坐标系中，为椭圆的四个顶点，为其右焦点，直线与直线相交于点，线段与椭圆的交点恰为线段的中点，则该椭圆的离心率为　　　　　　　.

解：

由已知条件可得：

直线的方程为……………①

直线的方程为……………②

联立①②可得两直线交点中的坐标为:

则线段的中点的坐标为:

代入椭圆可得:

，即得：

，

解之得：

，∵，∴.

在本题中，运算的目标是求离心率，运算程序是先求直线和的交点，再由中点公式得到点的坐标，代入椭圆方程得到关于的方程化归为关于离心率的方程从而求解出的值.要求学生对运算过程中的每一步都必须准确无误才能得到正确的结果，难度大，属于难题。

⑵.运算的熟练

运算的熟练是对考生思维敏捷性的考查，运算速度的快慢与定理、公式、结论掌握的熟练程度直接相关，熟练掌握各种公式、定理以及常用的恒等变形，熟练掌握一些常用的运算方法，记忆一些必要的补充公式和结论，对提高运算熟练程度是有益的。

例2.　1996年全国考试题：

等差数列的前项和为，前项的和为，则它的前项的和为　　　　　　.

法一：

由已知条件列出关于和的方程组：

，解之得：

，

进而求得：

.

如果学生对数式的恒等变形比较熟练，则可用此法求出结果，但最一般的方法不一定是最优的方法。

法二：

易知等差数列连续相等项的和所组成的数列仍然是等差数列，则运算

　　　量较小.设前项的和为，中间项的和为，后项和为.

　　　则，，，

∴.

本法熟练运用等差数列的定义和性质，计算量变得很小。

法三：

从已知条件可知：

结果与的取值无关，

令，得：

，，∴，

∴，

∴.

法三则是熟练运用简缩思维进行运算的结果。

熟练掌握常用的恒等变形，不仅可以提高运算的速度，还可以得到不同的结论，如两角和与差的正切公式的各种变形，半角的余弦公式，余弦定理的各种变形。

如椭圆方程的一种变形：

变形得，再变形为.这是一个有趣的结论：

椭圆上异于长轴端点的任一点与长轴端点的连线斜率之积为定值；在推导椭圆标准方程的过程中,也可由变形得：

.这一过程揭示了第一定义与第二定义的等价性.还可以把

分子有理化从而计算出

构造出二元方程组

然后两式相加得

最后两边平方，化简得（a2-c2）x2+a2y2=a2（a2-c2）

⑶.运算的合理

运算的合理性是运算能力的核心，一般一个较复杂的运算，往往是由多个较简单的运算组合而成的，如何合理确定运算目标？

设计运算程序，选择运算途径，并将各部分有机地联系在一起？

这是运算合理性的主要标志。

①运算的合理性表现在运算要符合算理，算理即理由、道理、依据，运算过程中的每一步变形都要有依据、或依据概念，或依据运算法则和运算律，或依据公式，可以说运算的每一步变形都是演绎法的体现，都必须步步有理，高考对算理的考查是通过变形过程中的正误来体现的。

②运算的合理性表现在运算目标的确定，难度较大的试题，其运算目标通常比较复杂，需要经过多步运算才能达到最后结果，有时运算的目标模糊不能确定。

③运算的合理性还表现在运算途径的选择，合理选择运算途径不仅是运算迅速的需要，也是运算准确性的保证，是提高运算能力的关健，运算步骤越多、越繁琐、越容易出错。

必须灵活运用公式、法则和有关的运算律，掌握同一个问题的多种运算方法和途径，并善于通过观察、分析、比较，作出合理的选择。

运算求解的程序即算法、步骤，复杂的运算必须按照一定的算法实施，如解方程、解不等式就有比较明确规范的步骤，利用解析法解决几何问题也有清晰的步骤如建系、设点，把几何问题转化为代数问题、求解代数问题、回到几何问题验证等步骤

例３.已在等比数列中，已知是其前n项的和，，则的值为：

　　分析：

本题出现了三个条件：

等比数列，，结论是求前5项的倒数和

我们知道等比数列的各项倒数也成等比数列，因而问题化为求等比数列前5项的和，通法是运用求和公式，难点是不知首项和公比，关键是如何将表示，指导思想是运用整体思想，把和看做一个整体。

即：

此法常规简明，对于一般等比数列求和题具有普适性，比较以下方法：

此法表面上看构思新颖，构造了一个对称式，其实和法一都采用了共同的思想方法――整体思想，这一特法并未简化运算，在技巧上没有明显优势，相反下面方法更具技巧性，且思维方式有了新变化

法三，由是等比数列，可知也是等比数列，且公比是原数列的倒数，再利用等比数列性质：

此法逆向改变数列顺序，其公比与原数列各项的例数组成等比数列的公比一样，且求和形式仅是首项不同，但由等比中项的结论立刻转化，可为妙解，但同样运用转化与整体化思想，困此，特技仅是数学思想在解题过程中“灵光闪现”的定格，以上三法种掌握法和另两种方法中的一种即可。

例４.盐城市2013届高三第二次模拟试卷第20题：

⒛设是各项均为非零实数的数列的前项和，给出如下两个命题上：

命题：

是等差数列；命题：

等式对任意（）恒成立，其中是常数。

⑴若是的充分条件，求的值；

⑵对于⑴中的与，问是否为的必要条件，请说明理由；

⑶若为真命题，对于给定的正整数（）和正数M，数列满足条件，试求的最大值。

解：

（1）设的公差为，则原等式可化为

所以，

即对于恒成立，所以………………………………4分

（2）当时，假设是否为的必要条件，即“若①对于任意的恒成立，则为等差数列”.

当时，显然成立.………………………………………………6分

当时，②，由①-②得，

，即③.

当时，，即、、成等差数列，

当时，④，即.所以为等差数列，即是否为的必要条件.………………………………………………………………………………10分

（3）由，可设，所以.

设的公差为，则，所以，

所以，

，

所以的最大值为……………16分

（3）另解：

设的公差为，则

（*）

设

由

得

所以的最大值为

注：

（*）式也可由柯西不等式得到最大值。

⑷.运算的简捷

运算的简捷是指运算过程中所选择的运算路径短，运算步骤少，运算时间省，运算的简捷是运算合理性的标志，是运算速度的要求、运算的简捷主要体现在概念的灵活运用，公式的恰当选择，数学思想方法的合理使用。

例４.过双曲线的左焦点作圆的切线，切点为E，延长FE交双曲线右支于点P，若，则双曲线的离心率为______

解：

设，由知E为PF中点，

E在圆上，且

又点P在双曲线上，则

得

得或（舍）

另解：

由知E为PF中点，连接PF’（F’为右焦点）

则，又由可得

由OG=可得，

由

即，得

例6.2012年江苏高考试题第15题。

在中，已知.

（1）求证：

；

（2）若，求的值.

解：

（1）∵，

∴，即：

.

由正弦定理，得：

，∴.

又∵，∴，，

∴，即：

.

（2）∵，，

∴，∴.

∴，即：

∴

由

（1）得：

解之得：

或.

∵，∴

∴.

注意：

平时教学往往强调切化弦较多，但在什么条件下化弦为切强调不够，学生只会顺向思维，不